天津市河西区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河西区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简：（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.下列说法正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.长方体是平行六面体C.用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形D.用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台〖答案〗B〖解析〗对于A，底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A错误；对于B，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱，所以长方体是平行六面体，故B正确；对于C，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C错误；对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误.故选：B.3.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以复数的共轭复数是.故选：C.4.已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则，所以，解得.故选：C.5.若单位向量，，满足，，则（）A.0 B. C.0或 D.0或〖答案〗D〖解析〗由题意知，，得，又，所以，则或，故或.故选：D.6.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误；对于C，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；对于D，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以此三角形只有唯一解，故D正确.故选：D.7.正六边形中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正六边形的性质可得，则以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为，则，，，，所以，，，设，则，所以，解得，所以．故选：B．8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，则，解得，由球的截面性质得：，解得，所以球的体积为.故选：D.9.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗锐角中，，，由正弦定理可得，所以，又，所以，解得，所以，所以．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分．10.已知是虚数单位，复数的虚部为___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以的虚部为.故〖答案〗为：.11.已知向量，，且，则实数______________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，因为，所以，解得.故〖答案〗为：.12.在中，，，，则BC边上的高为________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得（负值舍），设BC边上的高为h，则．故〖答案〗为：.13.已知是关于的实系数方程的两个虚根，则___________．〖答案〗〖解析〗因为，即，所以，，则，，所以.故〖答案〗为：.14.底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________．〖答案〗〖解析〗圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径，母线为，则，，所以，得：，如图，可知是正三角形，O是内切球球心，圆锥的内切球分别与边交于点，所以，是内切球半径，因为，则，又所以，即，所以内切球表面积，所以，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为.故〖答案〗为：.15.在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．〖答案〗．〖解析〗为的中点，，，，，，，；设，，，时，取得最小值为.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数.（1）求和的值；（2）若是纯虚数，求实数的值.解：（1）是方程的根，是方程的另一根，.（2）由（1）知：；是纯虚数，，解得：.17.已知向量，且．（1）求向量与的夹角；（2）求的值；（3）若向量与互相垂直，求k的值．解：（1）由得，，设向量与的夹角为，，解得，所以向量与的夹角．（2）．（3）由向量与互相垂直得，，所以，即，解得或．18.在中，内