上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷一.填空题1.不等式的解集为____________．〖答案〗〖解析〗或，即或，所以不等式的解集为或，故〖答案〗为：.2.已知向量，，则____________．〖答案〗〖解析〗由向量的夹角公式得，又因为，所以.故〖答案〗为：.3.已知复数，则____________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，故〖答案〗为：.4.的二项展开式中的常数项为______.〖答案〗〖解析〗因为的展开式通项为，展开式中常数项，必有，即，所以展开式中常数项为.故〖答案〗为：5.设随机变量服从正态分布，若，则实数_____．〖答案〗〖解析〗由正态分布的对称性，得，所以.故〖答案〗为：6.椭圆的离心率为，则____________．〖答案〗〖解析〗由题意得椭圆离心率为，解得，故〖答案〗为：2.7.已知直线倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为____________．〖答案〗〖解析〗由直线方程：得的倾斜角为，所以的倾斜角为，即的斜率为.故〖答案〗为：.8.已知，，若，则满足条件的的取值范围是____________．〖答案〗；〖解析〗因为，所以，即，解得或，所以的取值范围是，故〖答案〗为：.9.对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是____________．〖答案〗〖解析〗将函数向右平移1个单位得到，作出函数的图象如下：要关于方程有两个不同的根，则函数和函数有两个不同的交点，当过点时，，所以当函数和函数有两个不同的交点时，.故〖答案〗：.10.从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________．〖答案〗〖解析〗，．由条件概率公式得．故〖答案〗为：．11.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率__________．〖答案〗〖解析〗设时刻水的深度为，水面半径为，则，得，所以当水深为时，酒杯中水面的半径为，此时水的体积为，设当水深为的时刻为，可得，可得；又由题意可得，则，所以，所以当时，.故〖答案〗为：.12.如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________．〖答案〗〖解析〗以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，则，，，由三棱柱可知，即，所以，，，即，所以，，所以，所以，故这个三棱柱的侧棱长为，故〖答案〗为：.二、选择题13.函数的最小值是（）A.4 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.则的最小值是.故选：D.14.已知点是抛物线C：上一点到拋抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件，〖答案〗A〖解析〗由题意知，将点代入方程，即，得，则抛物线C的焦点．当点M的坐标为时，点M与拋物线的焦点重合，由抛物线的定义知必有；当时，点M的坐标不一定为，理由如下：如图，连接PF，当时，．因此“点M的坐标为”是“”的充分不必要条件.故选：A．15.设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（）．A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，即且，，且，两边都除以，得，可得．对于A，由，可得，故A项不正确；对于B，由于，所以不成立，故B不正确；对于C，因为，所以，可得．结合，可得，故C正确；对于D，根据且，当，时，，此时不成立，故D不正确．故选：C．16.如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（）．A.2个极大值点，1个极小值点 B.3个极大值点，2个极小值点C.2个极大值点，无极小值点 D.3个极大值点，无极小值点〖答案〗B〖解析〗，作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，在处的导数都等于，在上，,单调递增，在上，单调递减，因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.故选：B.三．解答题17.对于函数，其中，．（1）求函数的单调增区间；（2）在锐角三角形中，若，，求的面积．解：（1）令，则，函数为增函数，当时函数为增函数，即，得，所以函数的单调增区间是．（2）由已知，所以，因为，所以，即，所以，又，所以，所以的面积．18.如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．（1）求证：面面；（2）求二面角的余弦值大小．（1）证明：为棱中点，为正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；（2）解：由（1）得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值为．方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：则，，，设平面、平面的法向量分别为，，可以是可以是，二面角的余弦值为．19.垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：男生女生总计A等级402060B等级202040总计6040100（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？附：,其中,．（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．（i）求比赛只进行3局就结束的概率；（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．解：（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，确定显著性水平，由题意得，可得，由，且，所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为，故比赛只进行3局就结束的概率为；（ii）的可能取值为，，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故，，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，故，，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，故，，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，所以分布为0123故数学期望为.20.已知双曲线，，分别为其左、右焦点．（1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程；（2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；（3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为双曲线，所以，所以，即，，所以双曲线的渐近线方程是；（2）由题意可知，，，所以，，即是椭圆右顶点设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即，，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得直线的斜率为（3）假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，设,，,，中点为,，又，，由，可知△为等腰三角形，，且直线不与轴重合，于是，即，因此，，(I)，点，在双曲线上，所以，①②化简整理得：，，则，可得，(II)，联立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，得或（舍），所以，由，得，所以直线的方程为．21.若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．（1）若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；（2）若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．（1）解：因为，所以是周期为的周期数列．（2）解：①当时，，，所以当时，是周期为1的周期数列，②当时，记，则，，当且仅当时等号成立，即，所以在上严格增，若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．综上