上海市金山区2024届高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市金山区2024届高三二模数学试题一、填空题1.已知集合，，则___________．〖答案〗〖解析〗由，故.故〖答案〗为：.2.已知向量，，若，则实数的值为___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：.3.函数的定义域为__________．〖答案〗〖解析〗由题设，所以此函数的定义域为．故〖答案〗为：4.已知复数满足，则的模为___________．〖答案〗〖解析〗设，则，由，得，则，解得，所以，所以.故〖答案〗为：5.设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，故.故〖答案〗为：46.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.〖答案〗10〖解析〗因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.7.设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．〖答案〗〖解析〗函数是奇函数，则恒成立，而不恒为0，因此，，求导得，则，而，所以曲线在点处切线方程为.故〖答案〗为：8.已知双曲线(,),给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是___________．〖答案〗〖解析〗根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，若在双曲线上，则，方程组无解，故不在双曲线上，则在双曲线上，则，解得，所以双曲线的离心率.故〖答案〗为：.9.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：药物疾病合计未患病患病服用50未服用50合计8020100取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为___________．(参考公式：；参考值：）〖答案〗〖解析〗由题意可知，则，解得或，而，故m的最小值为44.故〖答案〗为：44.10.在的展开式中，记项的系数为，则___________．〖答案〗〖解析〗展开式的通项公式为，所以，则.故〖答案〗为：4011.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1m)〖答案〗〖解析〗作交于E，由题意可得如图：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故〖答案〗为：475.12.已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________．〖答案〗〖解析〗因，由可得，即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，又由可得，不妨设，则，，于是，因，则，因，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最小值.故〖答案〗为：.二、选择题13.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（）．A.2 B.3 C.4 D.8〖答案〗D〖解析〗由题意知，（）的焦点为，的右顶点为，所以，解得.故选：D14.下列说法不正确的是（）．A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14B.若随机变量服从正态分布，且，则C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高D.对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是〖答案〗A〖解析〗对A：因为，所以第百分位数为,A错误；对B：若随机变量服从正态分布，且，则，则，B正确；对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确；对于D，样本点的中心为，所以，，因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.故选：A15.如图，点为正方形的中心，△为正三角形,平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（）．A. B.C.A、、三点共线 D.直线与相交〖答案〗D〖解析〗取中点F，连接,取中点H，连接.又△为正三角形，则，，又平面⊥平面，平面平面，则平面，平面，又平面，平面，则，，设，则,则，则.故选项A判断错误；假设，又，，平面，则平面，又平面，则，这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直.故选项B判断错误；由平面，可得直线平面，假设A、、三点共线，则，则平面，这与平面矛盾，故假设不成立.故选项C判断错误；由，可得，，则四边形为梯形，则直线与相交.故选项D判断正确.故选：D.16.设，有如下两个命题：①函数的图象与圆有且只有两个公共点；②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上．则下列说法正确的是（）A.①正确，②正确 B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确 D.①不正确，②不正确〖答案〗B〖解析〗对①：令，当时，，当时，，则在、上单调递增，在上单调递减，又，，函数的图象与圆的图象如图所示：故函数的图象与圆有且只有两个公共点，故①正确；对②：由，故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，显然，当时，，点在函数图像外侧，则，此时；利用极限思想，时，，此时；时，，此时，如图所示，故至少两个正方形，故②错误.故选：B.三、解答题17.已知函数，记，，，.（1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值；（2）若，，函数有零点，求实数的取值范围.解：（1）因为函数的最小正周期，所以，则当时，，所以，得，因为，所以取得，（2）解法一：当，时，，，设，由题意得，在有解，化简得，又在上单调递减，所以，则.解法二：当，时，，，设，由题意得，在有解，记，对称轴为，则由根的分布可得，即，解得，所以.18.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．（1）求证：；（2）若，，求二面角的大小．（1）证明；因为，所以是直线与所成角，为，所以，得，又因为，且，平面，平面，所以平面，由平面，得．（2）解：解法一：取的中点，连接，，．因为，所以四边形为菱形，所以．取中点，连接，，．则，，所以为所求二面角的平面角．又，所以．在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，因此二面角E−AG−C的大小为．解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，，，，故，，，设是平面的一个法向量．由，可得，取，可得平面的一个法向量．设是平面一个法向量．由，可得，取，可得平面的一个法向量．所以．因此二面角E−AG−C的大小为．19.有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）．解：（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；（2）由题可知可取，，，，所以3号盒子里的红球的个数的分布列为：；猜想，理由如下：当时，设号盒子里有3个红球的概率为，有2个红球的概率为，则号盒子里有1个红球的概率为，则，，，则，由每个盒子中原本的红球与白球个数相等，故号盒子中红球个数为与白球个数为的概率相等，即，即有，故，当时，有，，，，故可得.20.已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、．（1）证明：点到右焦点的距离为；（2）设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程；（3）当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．（1）证明：由，得；（2）解：根据题意画出图象，如图，设直线的方程为，联立，消去，得，由，得，从而，，又，，由与平行，得，解得，故直线的方程为；（3）解：直线与圆相切，证明过程如下：设直线的方程为，联立消去，得，从而，由，得，即，又因为，即，化简，整理得，即，从而，又圆心到直线的距离，故直线与圆相切．21.已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．（1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；（2）若函数与均存在最大值与最小值,且函数是关于的“函数”,又是关于的“函数”,证明：；（3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．（1）解：不是关于的“函数”．解法一：当时，，所以不存，使得解法二：因为函数()的值域为，比