上海市奉贤区2024届高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市奉贤区2024届高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1.已知复数（为虚数单位），则____________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.2.不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗由得，解得，故不等式的解集为.故〖答案〗为：.3.抛物线上一点到点的距离最小值为____________．〖答案〗1〖解析〗设抛物线上一点，则点到点的距离为，因,则，故当时，抛物线上任一点到点的距离最小值为1.故〖答案〗为：1.4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为____________．〖答案〗〖解析〗因为圆锥的底面半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，故〖答案〗为：5.已知随机变量X服从正态分布，且,则____________．〖答案〗．〖解析〗因为，所以，因此．故〖答案〗为：．6.已知，且，则____________．〖答案〗〖解析〗已知，由倍角公式得，由，，解得，则.故〖答案〗为：.7.某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于____________时，平均成本最少.〖答案〗〖解析〗由题知，当且仅当，即时取等号，故〖答案〗为：.8.已知向量，，则在方向上的投影向量为____________．〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.9.已知多项式对一切实数恒成立，则____________.〖答案〗〖解析〗令可得，又展开式的通项为，令可得；令，可得，所以，所以，故〖答案〗为：1.10.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________.〖答案〗〖解析〗易知四棱锥的底面积，高为，所以四棱锥的体积为，长方体为，因此该模型的体积为，所以该模型所需原料的质量为.故〖答案〗为：.11.点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为____________．〖答案〗〖解析〗因为正方体的棱长为1，所以，又，所以点是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭球上的一点，且焦点分别为，所以点是椭球与正方体棱的交点，在以为顶点的棱上，所以共有6个，故〖答案〗为：6.12.函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为____________.(用，表示)〖答案〗〖解析〗由题意，，则，，，由得，则，，，，所以，又，所以，故〖答案〗为：．二、填空题13.设某大学女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg〖答案〗D〖解析〗根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．14.已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知是偶函数，是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A.，定义域为R，又，所以是奇函数，符合题意，故正确；B.，，不符合图象，故错误；C.，定义域为R，但，故函数是非奇非偶函数，故错误；D.，定义域为R，但，故函数是非奇非偶函数，故错误，故选：A15.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（）A.甲与乙相互独立 B.乙与丙相互独立C.甲与丙相互独立 D.乙与丁相互独立〖答案〗A〖解析〗由题意得，甲，乙，丙，丁.对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确；对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确；对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确；对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立故D不正确.故选：A.16.如图，在等腰梯形中，∥，，，.点是线段上一点，点在线段上，.命题①：若，则随着的增大而减少.命题②：设，若存在线段把梯形的面积分成上下相等的两个部分，那么，随着的增大而减少.则下列选项正确的是（）A.命题①不正确，命题②正确 B.命题①，命题②都不正确C.命题①正确，命题②不正确 D.命题①，命题②都正确〖答案〗A〖解析〗命题①错误，理由如下：的大小等价于在上的投影，由图可知，投影是不断增加的；命题②正确，理由如下：设因为，做，垂足为，所以，所以，，，，又，所以化简得到，求导可得恒成立，所以随着的增大而减少，故②正确；故选：A.三、解答题17.已知是公差的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，．（1）求和的通项公式；（2）设，计算．解：（1）∵，且，∴，∴．∵，且，∴，∴，∴．（2）由题可知，，等比数列求和，首项为，公比，∴．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级1（优）318252（良）6143（轻度污染）5564（中度污染）630（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平）人次≤400人次>400总计空气质量好空气质量不好总计附：，.解：（1）由题知，一天中到该公园锻炼的平均人次约为：，即一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为.（2）根据所给数据，计算出，则完成列联表为：人次≤400人次>400总计空气质量好363975空气质量不好19625总计5545100假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.，由可得，原假设不成立，即一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图是由两个三角形组成的图形，其中,，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如图．设是的中点，是的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）连接，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由．解：（1）过作于，连接，∵平面平面，且平面平面，，∴平面，∴为直线与平面所成角．∵，不妨设，在中，由正弦定理得．易知，，∴在中，，，∴直线与平面所成角的大小为．（2）∵是的中点，是的中点，∴DO∥PC；又∵，，∴DO∥平面PBC；又∵平面平面，∴∥，∴∥．20.已知曲线，是坐标原点，过点的直线与曲线交于，两点.（1）当与轴垂直时，求的面积；（2）过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两点，求证：；（3）过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为，当时，求证：与都是定值.（1）解：由题可知，直线为，代入椭圆方程，解得，所以.（2）证明：设，当时，，不妨取，，，则，，所以，即成立；当时，设，的斜率分别为，直线，由，因为直线与椭圆相切，所以，即，化简可得，化为关于的一元二次方程为，所以.因为在圆上，所以，代入上式可得，综上可得.（3）证明：设、、、，直线、的斜率分别为、，设直线，与椭圆联立得，则，，，由得，即，计算分子部分：，所以，设直线，与双曲线联立得，则，，，，所以，计算分子部分，所以，综上可得、均为定值.21.已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.（1）求函数在点的切线方程；（2）已知，当与满足什么条