辽宁省鞍山市一般高中协作校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省鞍山市一般高中协作校2022-2023学年高一下学期期中联考试题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗由扇形的周长公式得，解得，所以扇形的面积为.故选：A.2.在边长为1的正方形ABCD中，向量，则向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，则，，，则由知，，则，故向量的夹角为.故选：B.3.下列各式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，在第二象限是增函数，，错误；对于B，，，，错误；对于C，，在第一象限是增函数，，错误；对于D，，，，正确.故选：D.4.在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，整理可得：，由余弦定理可得：，由为三角形内角，即，可得：.故选：C．5.点A的坐标为，将点A绕原点逆时针旋转后到达点位置，则的横坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设点是终边上一点，则，，则点是终边上一点，则，所以.故选：D.6.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A.北偏东， B.北偏东，C.北偏东， D.北偏东，〖答案〗C〖解析〗据题意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因为为锐角，所以，所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.故选：C.7.函数，将图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若对任意，都有成立，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，，其中，∴的最大值为，依题意有，即，.故选：A.8.在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（）A.3 B. C.1或2 D.2或3〖答案〗C〖解析〗由得，∴，∵，∴，即，在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），当时，（*）式可解得，；当时，（*）式可解得，.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知函数，则下列说法正确的是（）A. B.的最小正周期为C.直线是函数的一条对称轴 D.的图象关于点中心对称〖答案〗ABC〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，的最小正周期为，故B正确；对于C，，所以直线是函数的一条对称轴，故C正确，D不正确.故选：ABC.10.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角为 D.向量在上的投影向量为〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD.11.已知函数，下列命题中的真命题有（）A.，为奇函数B.，对恒成立C.，，若，则的最小值为D.，，若，则〖答案〗BC〖解析〗由题意，∵的图象如图所示：函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，它不会是奇函数的，故A错误；若，∴，∴，∴，；又，∴取或时，∴对恒成立，故B正确；时，最小值为，故C正确；当时，，故D错误.故选：BC.12.△ABC的内角A、B、C的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则△ABC有两解B.若，则△ABC为直角三角形C.若，则D.若A=60°，，则△ABC面积的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗A：由正弦定理得，，角可以是锐角也可以是钝角，有两解，A正确；B：已知，由正弦定理及商数关系得，三角形中，所以，，或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错误；C：由正弦定理，，，C正确；D：由余弦定理，即，当且仅当时等号成立，，所以最大值为，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题纸上.）13.已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为______________．〖答案〗〖解析〗因为与的夹角为锐角，所以，解之得或，若与同向，则（），即，综上，的取值范围为.故〖答案〗为：.14.已知函数的部分图像如图所示，且，则__________.〖答案〗-〖解析〗由图可知：，，又，即，.故〖答案〗为：-.15.设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.〖答案〗4〖解析〗解法1：有题设及余弦定理得，故.解法2：如图，过点作，垂足为，则，，由题设得，又，联立解得，，故.解法3：由射影定理得，又，与上式联立解得，.故.故〖答案〗为：4.16.中，，，，是边上一点，，则______．〖答案〗〖解析〗设，则，因为，所以，解得，所以，则，所以.故〖答案〗为：.四、解答题（共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17.已知为锐角，.（1）求的值；（2）求函数的对称中心和单调区间.解：（1）∵，∴，又为锐角，∴.（2）由题知函数，由，得，∴函数的对称中心为；由，得，∴函数的单调增区间为，无减区间.18.的内角，，的对边分别是，，，已知．（1）求；（2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围．解：（1）由正弦定理得，，在中，，，故，∴，∴，，从而，，∵，∴.（2）由正弦定理得，，，其中为的外接圆半径，故，因为是锐角三角形，，，即且，故，，所以，从而，故，故三角形周长的取值范围为．19.在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，___________.（1）求角A﹔（2）若，面积为，求的周长.解：（1）若选择①，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．若选择②，因为，由正弦定理可得，又，所以，则，所以，由于，，所以，，故．（2）因为，，的面积为，所以，由余弦定理，可得，解得，所以的周长．20.如图，在中，已知（1）求；（2）已知点是上一点，满足点是边上一点，满足，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）在中，，，则，显然有，于是得，，所以.（2）假设存在非零实数，使得，由，得，则，又，则，于是得，而，解得，所以存在非零实数，使得.21.如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮，是圆弧上一点（不包括，），点，分别半径，上．（1）若四边形矩形，求其面积最大值；（2）若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．解：（1）连接OP，如图，令，因四边形为矩形，则，于是得矩形的面积，而，则当，即时，取最大值1，即有，所以矩形面积最大值为8.（2）由(1)知，，则，，和的面积和：，令，即，而，则，，则，显然在上单调递减，当，即时，，而，因此，，所以和的面积和的取值范围是：.22.函数图象的一条对称轴为，一个零点为