江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为复数，所以的虚部是.故选：D.3.已知向量，若，则实数的值为（）A. B. C.或 D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，解得或3，经检验，均满足要求.故选：C.4.四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知得，，设，因为，，四边形是复平面内的平行四边形，所以，解得，所以点对应的复数为.故选：A.5.高邮镇国寺是国家3A级旅游景区．地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖.实属龙地也，今有“运河佛城”之称.某同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高约为7.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为（）（参考数据：）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，在中，，在中，，，，由正弦定理得：，（m）.故选：B.6.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题可得，.故选：D.7.已知函数是上的偶函数，当时，有，关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则=（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，又因为偶函数，图象关于y轴对称，作出函数的图象，如图所示：由此可知，当时，方程有且仅有四个不同的实数根，又因为是四个根中的最大根，令，解得，所以，所以.故选：D.8.已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即，又因为，所以，所以，又的取值范围为，所以，解得，又，则，即，因为的最小值为，最大值为，所以，又，所以，即向量，的夹角的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（

）A.若，，则B.若复数为纯虚数，则C.若复数，满足，则D.若是的共轭复数，则〖答案〗AD〖解析〗由复数表示的唯一性知，A正确；若z是纯虚数，设，则，B错误；若，不妨设，则，但，C错误；设，则，D正确.故选：AD.10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（）A.函数图象的一个对称中心为B.函数图象的一条对称轴为直线C.函数在区间上单调递增D.将函数的图象向左平移个单位后的图象关于y轴对称〖答案〗AC〖解析〗，，故A正确；对选项B：当时，，故的图象不关于对称，B错误；，函数在区间上单调递增，C正确；将函数的图象向左平移个单位后得到，D错误.故选：AC.11.已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（）A.若点为的重心，则B.若点为的外心，则C.若点为的垂心，则D.若点为的内心，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，设BC的中点为D，则，点为的重心，，A正确，对于B，直角三角形满足，点为的外心，O为BC的中点，，B正确，对于C，直角三角形满足A=90°，点为的垂心，的垂心O与A重合，，C错误；对于D，设直角三角形内切圆的半径为r，，如下图，，OE=OF=1，四边形AEOF为正方形，，D正确．故选：ABD.12.已知锐角三角形三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（）A. B.的取值范围为C.的周长最小值为6 D.的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗因为在中，，，设外接圆的半径为，则，对于A选项，由正弦定理有：，又，所以，故A正确；对于B，由正弦定理有：，因为锐角三角形，且，则，解得，则，故，即，故B错误；对于C，的周长：，又，所以，故，则，故C错误；对于D，，又，所以，故，即，故D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上.13.用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是_________．〖答案〗1.5〖解析〗设函数，易得函数为严格增函数，因为，，所以下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故〖答案〗为：.14.已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故〖答案〗为：.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点的距离为_______．〖答案〗〖解析〗由题意可知，在中，，又，所以，即，所以，在中，，又，所以，由正弦定理可得，即，解得，在中，由余弦定理可得，所以可得.故〖答案〗为：.16.已知函数，其中，若函数在处取得最大值，则的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗由函数的对称性，设，，且，所以，此时，可得，所以，因为，所以，因为递增，所以递增，递减，且时，，时，，所以，即.故〖答案〗：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.17.已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).（1）求实数的值及复数的模；（2）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.解：（1）因为为纯虚数，所以，所以，此时，所以.（2），因为在复平面内所对应的点在第四象限，所以，解得，所以.18.已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，又因为为锐角，所以，，所以（2）因为，所以，又因为均为锐角，所以，，所以，所以.19.已知的内角A，B，C所对的边分别为．在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．①；②；③.若，且．（1）求角B及a的值；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）选条件①：对于，利用正弦定理得：，所以在中，因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以.选条件②：因为，所以，即，因为，所以，所以，即，选条件③：对于，利用正弦定理得：，利用余弦定理得：，因为，所以，在中，，，由余弦定理得：，解得：或（舍去）.（2）在中，，，，由三角形面积公式可得：，因为为角的平分线，所以，而，，所以，所以.20.在平行四边形中，，，，动点、分别在线段和上，且，，．（1）若，且，求的值；（2）若，求的取值范围．解：（1）以为原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，当时，，，所以，，，因，则，解得，所以，，所以.（2）由，，可得，，所以，，则，结合得，因为，由二次函数的对称轴为，开口向下，故在单调递减，故当时，取最大值6，当时，取最小值，故的取值范围为.21.高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.解：（1）因为三角形为直角三角形，，所以，在直角中，因为，所以，因为点为半圆上一点，所以，又因为，所以，所以，因为，所以当，即时，达最大值.（2）在直角中，因为，所以，因为，所以，又因为所以，在直角中，，所以，，所以当即时，达到最大值，答：当时，达到最大值.22.已知函数的最小正周期为．（1）求证：函数在上至少有两个零点；（2）若关于的方程在上恰有三个根，求实数的取值范围．解：（1）证明：，∵函数的最小正周期为，∴，解得，∴，由于图象在上连续，且，，，所以在上至少1个零点，在上至少1个零点，即函数在上至少有两个零点.（2）令，则方程可化，先研究函数在区间上单调性：当时，，所以单调递减，函数值由递减至，当时，，所以单调递增，函数值由递增至，可知，在区间上，当或时，方程有且仅有1