福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为直线的斜率为0，故其倾斜角为.故选：B2.已知等差数列满足，则数列的前4项和为（）A.30 B.20 C.16 D.12〖答案〗D〖解析〗设等差数列的公差为，则，故，故，故选：D.3.已知函数，则其单调增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）,所以单调增区间是故选：D.4.我国即将进入3航母时代，辽宁舰、山东舰、福建舰，航母编队的要求是每艘航母配1-2艘核潜艇，船厂现有4艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为（）A.36 B.72 C.12 D.24〖答案〗A〖解析〗先将4艘核潜艇分成3组，每组至少1艘核潜艇，再将这3组核潜艇分配给辽宁舰、山东舰、福建舰，每个航母配1组核潜艇，则得不同的组建方法种数为.故选：A5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递增；当时，，单调递减；则函数在和上单调递增，在单调递减.只有D选项满足.故选：D6.在所有不超过9且与9互质的正整数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为质数的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗所有不超过9且与9互质的正整数有1，2，4，5，7，8共6个，其中两数之和仍为质数的有1与2，1与4，2与5，4与7，5与8这5组，故所求概率为.故选：C7.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若P为线段中点，则点P到平面的距离为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为为直角三角形，且，故，而平面，平面，故，同理，.而平面，故平面，故，又，故，而，故，所以，故，其中为到平面的距离，故，而P为线段中点，故P到平面的距离为，故选：C.8.设，则，，的大小顺序为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，令，，则，令，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于函数，以下直线方程是曲线的切线方程的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗设切点为，，则切线的斜率，若，则，切点为，故切线方程为，所以A正确，B错误；若，则，切点为，故切线方程为，即，故C正确；若，则，切点为，故切线方程为，即，故D错误.故选：AC10.校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.福清融城中学准备引进5个不同颜色的自动体外除颤器（简称AED），则下面正确的是（）A.从5个AED中随机取出3个，共有10种不同的取法B.从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有60种选法C.把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，共有129种方法D.把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，共有150种方法〖答案〗ABD〖解析〗从5个AED中随机取出3个，共有种不同的取法，故A正确；从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有种选法，故B正确；把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，则每个AED都有3种安放方法，故共有种方法，故C错误；把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，可先将5个AED分成3组，每组至少1个，再把这3组AED放在宿舍、教学楼、体育馆三个地方，每个地方放1组，故共有方法，故D正确.故选：ABD11已知圆，直线，则（）A.直线与圆C相交B.直线过定点（2，1）C.圆C被y轴截得的弦长为D.圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1〖答案〗ACD〖解析〗可整理为，令，则，故直线过定点，故B错误.因为，故定点在圆的内部，故直线与圆C相交，故A正确.在圆的方程中令，则即，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确.因为直线过定点，该定点与圆心的距离为，故圆心到直线的距离，故圆C被直线截得的弦长为，当且仅当时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0，该连线垂直于直线，故直线的方程为，故D正确.故选：ACD.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A函数只有一个不动点B.若定义在R上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数C.函数只有一个不动点D.若函数在上存在两个不动点，则实数a满足〖答案〗ABD〖解析〗对于A，令，因为，，故在上存在零点，但，故在上为减函数，故在上仅有一个零点，故有且仅有一个实数解，即只有一个不动点，故A正确.对于B，若为奇函数的非零不动点，则，而，所以也为奇函数的非零不动点，故的非零不动点成对出现，而，故为奇函数的不动点，所以奇函数不动点个数是奇数，故B正确.对于C，设，则，时；时；故在上递增，在上递减，而，，，故在有两个不同的零点，故，故有两个不动点，故C错误.对于D，若函数在上存在两个不动点，则在上存在两个不同的解，故在上存在两个不同的解，设，，若，则，故在上为增函数，在上至多一个零点，与题设矛盾；若，时；时；故在上递增，在上递减，因为在上存在两个不同的零点，故，故.此时，，下证：当时，.设，则，故在上为减函数，故，故在上恒成立，故在上恒成立，故在上恒成立，令，则，故当时，有，故时，在上的确存在两个不同的零点，故D正确.故选:ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点P是点在坐标平面内的射影，则________.〖答案〗5〖解析〗因为点P是点在坐标平面内的射影，故，故，故〖答案〗为：5.14.福清融城中学高二（1）班一学生由教学楼五层走到一层去做课间操，每层均有两个楼梯，则他的走法有________种.〖答案〗16〖解析〗共分4步:五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2种，二层到一层2种，一共种.故〖答案〗为:16.15.写出一个同时满足下列三个性质的函数=_______.①若，则；②；③当时，〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，满足，的定义域为，且，当时，，恒成立.故〖答案〗为：16.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗依题意可得，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的这条渐近线方程为，由，得：或，所以，双曲线的左顶点为，则，所以，，因为，所以，化简得，所以，所以，所以，又，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知展开式中前三项系数成等差数列.（1）求n的值；（2）求的展开式中的系数.解：（1）的前三项分别为，它们的系数分别为，其中而前三项系数成等差数列，故，解得.（2），展开式的通项公式为，令，则；令，则；令，则；故展开式中的系数为.18.如图，圆是的外接圆，平面，是圆的直径，，，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）由题意及图证明如下，在圆中，直径，∴，∵平面,平面,平面,∴，，平面,面，∴平面,又平面,∴平面平面.（2）由题意及（1）得，在中，在中，，，∴，∵，∴建立空间直角坐标系如下图所示，∵，∴，则，在面中，其一个法向量为，在面中，设其一个法向量为，则，即，解得：，∴当时，，设面与面所成角为，19.已知数列的前n项和，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为等比数列，且，，求数列的前n项和.解：（1）因为成等差数列，故，故，所以，整理得到：，而，故，所以为等差数列，又，故，故.（2）因为等比数列且，故，而，故，故等比数列的公比满足，故，故，故，所以，故，故，，所以.20.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是.（1）由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式；（2）该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？解：（1）当时，，当，且时，，当时，符合上式，故，（且）.（2）依题意，这个汽车4S店在2023年的第个月的月利润（且），，令，得：或（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值为.故这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元.21.已知抛物线，过焦点且斜率为的直线交于，两点，且.（1）求的标准方程；（2）已知点是上一点，且点的纵坐标为，直线不经过点，且与交于，两点，若，证明：直线AB过定点.解：（1）由题知，则直线方程为，代入得，设，则，因为，所以，即，所以抛物线方程为.（2）由（1）知抛物线方程为，因为点的纵坐标为，所以，设直线的方程为，设，联立直线与抛物线，整理可得，则，①又，即，整理得，将①代入可得，即，所以或，即或，所以直线的方程为或，因为直线