安徽省宿州市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省宿州市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数列，，，，，的一个通项公式为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，，，……，所以数列，，，，，的一个通项公式可以为.故选：D2.在数列中，，，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗数列中，，,则，故，故选：D3.在数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，令，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以.故选：B4.已知函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，得到，所以，故选：C.5.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则（）A.115 B.117 C.119 D.121〖答案〗A〖解析〗被4除余3正整数为，被6除余1的正整数为，令，得，因为，所以，所以，所以.故选：A.6.若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（）A. B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，设和直线平行的曲线的切线的切点坐标为，则，则，则点到直线的距离即为点P到直线的最小距离，即为，故选：A7.正项等比数列中，，若，则的最小值等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由等比数列中，设公比为，且，由得，故，由得，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，故选：B8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗由函数，可得，因为函数在区间上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，设，可得，令，可得当时，，所以单调递增，又因为，所以，所以在上单调递减，所以，即实数的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等比数列中，满足，，则（）A.数列是等比数列 B.数列是递增数列C.数列是等差数列 D.数列中，，，仍成等比数列〖答案〗AC〖解析〗由题意可知，对于A,,所以，故，所以为等比数列，故A正确，对于B,，，所以为等比数列，且公比为，首项为1，故是递减数列，对于C,，所以为公差为1的等差数列，故C正确，对于D,，所以，成等比数列，，，不成等比数列，故D错误，故选：AC10.公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（）A. B.C.中最大 D.〖答案〗ABD〖解析〗等差数列中，，，即，，∴，，，，所以AB正确，C错误；，由且，有，所以，D选项正确.故选：ABD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数有极大值点C.D.若方程恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围是〖答案〗BC〖解析〗由函数，所以令，得，可得当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在时，取极大值，且极大值为，所以A错误，B正确；又，所以，C正确；又因为当时，，所以若方程恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围是，D错误.故选：BC12.已知函数，，，若，图象有公共点P，且在该点处的切线重合，则实数b的可能取值为（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗设函数与图象的公共点为，可得，即，又由与，可得与，又因为点处切线重合，可得，即，解得或，因为，所以，将代入，可得，其中，设，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数极小值，也是最小值，即为，即，所以，解得，结合选项，可得A、B符合题意.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设是公差为正数的等差数列，若，，则_____________．〖答案〗39〖解析〗由题意是公差为正数的等差数列，设公差为，，，则，则，故，故，故，故〖答案〗为：3914.已知等比数列的前项和为，且满足，则实数的值是_____________．〖答案〗－2〖解析〗因为，所以当时，，当时，，当时，，由，得到，由，得到，又因为数列是等比数列，所以，得到，解得.故〖答案〗为：.15.定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，记，则数列的前n项和为_____________．〖答案〗〖解析〗设数列的前n项和为，则，即，当时，，当时，，也适合该式，故，所以，则，故数列的前n项和为，故〖答案〗为：16.已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由对于任意的，且，都有，则对于任意的恒成立，令，则不等式等价于对于任意的恒成立，即在区间单调递增，又由，可得，则，即在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，可得恒成立，所以函数为单调递增函数，所以，则，解得，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.在等差数列中，已知首项，前n项和为，公差，，．（1）试求和k：（2）求数列的前n项和．解：（1）由，解得，或，，因为，所以，．（2）因为，，所以，则，且为等差数列，所以．18.已知数列的前n项和为，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）因为，所以，两式相减得，当时，，也满足，又因为，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以数列的通项公式为．（2）由（1）可得，所以，，两式相减得：，，.19.某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．（1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？（参考数据：，，，）解：（1）设由，可得，解得，所以，依题意得，．（2）由（1）得，，则，令，得，，得，所以上单调递增，在上单调递减，所以当时，有，答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．20.已知函数．（1）若在处取得极大值，求实数a的值；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）因为，，所以，因为在处取得极大值，所以，所以，即，此时，当时，当时，此时是的极大值点，符合题意，故.（2）因为，，所以，，①当时，，所以在上单调递增，所以当时，，不合题意；②当时，，令，得，令，得，（ⅰ）当，即时，所以时，，即单调递减，所以满足题意；（ⅱ）当，即时，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，当时，，不合题意.综上，实数a的取值范围是.21.已知数列的首项，，.（1）设，求数列的通项公式；（2）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.解：（1）因为，，所以，取倒得，所以，因为，所以，所以是，的等比数列，所以．（2）假设存在，则，，由（1）得，所以，化简得，因为，当且仅当时等号成立，又，，互不相等，所以，即不存在符合条件的，，.22.已知函数有两个不同的零点，且．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：．解：（1）由题意得，，当时，，所以在上单调递减，不可能有两个零点，所以不符合题意，当时，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调