安徽省六安市舒城县干汊河中学高三数学文摸底试卷含解析

安徽省六安市舒城县干汊河中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，且，则集合可能是A.B.C.D.参考答案：A2.下列命题：①经过三点可以确定一个平面；②复数在复平面上对应的点在第四象限；③已知平面④若回归直线方程的斜率的估计值是样本的中心点为，则回归直线的方程是：以上命题中错误的命题个数是（

）

参考答案：D3.若直线与圆有公共点，则实数a取值范围是（

）A.[－3,－1]B.[－1,3]C.[－3,1]D.（－∞,－3]∪[1,+∞）参考答案：C4.如图是导函数的图像，则下列命题错误的是 A．导函数在处有极小值B．导函数在处有极大值C．函数处有极小值D．函数处有极小值参考答案：C5.已知是虚数单位，则等于 A B C D参考答案：A略6.函数的零点所在的区间为A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：由于，，因此，故函数在区间内有零点，故答案为B.考点：函数零点的判断.7.函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足在D内是单调函数且存在[m，n]D使f(x)在[m，n]上的值域为，那么就称y=f(x)为“半保值函数”，若函数，（且）是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是（

）A.(0,] B.(0,) C.(0,+∞) D.(,+∞)参考答案：B【分析】根据题意求出函数的值域，可得t的范围.【详解】当时，均为增函数，所以为增函数；当时，均为减函数，所以为增函数；所以当时，，根据题意可得，所以是方程的两个不等的实数根，所以有，结合为正实数，即有，故选B.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，信息提供型题目，注意对题意的准确理解上.侧重考查数学建模的核心素养.8.已知点,则直线的倾斜角是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作，若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（

）A.36 B. C. D.参考答案：D【分析】画出点集S={P|d（P，l）≤1}所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.【详解】点集S={P|d（P，l）≤1}所表示图形如图中的阴影部分所示：其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为，等边三角形ABC外的三个矩形面积为6，等边三角形ABC内的部分面积为-=18-故面积和为，故选D.【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．10.设函数，则的单调减区间（▲）A.

B.，

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足，则的最小值是

．参考答案：－112.已知是定义在上的函数，且满足时，，则等于

.参考答案：1.5

13.不等式的解集为

.参考答案：

【知识点】绝对值不等式的解法E2解析：原不等式转化为或或，解得其解集为，故答案为。【思路点拨】利用分类讨论去掉题中的绝对值，得到相应的不等式组，解不等式组，求出不等式组解集的交集，得到本题结论．14.已知复数(a∈R)的实部为1，则a=，|z|=．参考答案：1，

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为1求得a值，再由复数模的求法求得|z|．【解答】解：∵z=的实部为1，∴a=1，则z=1﹣i，|z|=．故答案为：1，．15.若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为________．参考答案：2略16.已知为奇函数，

．参考答案：6本题考查抽象函数求值问题，难度中等。由题知，，，所以。17.在平行四边形中，对角线与交于点，，则_________.参考答案：2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．

⑴设，求证是等腰三角形；⑵设向量,，且∥,若，求的值．参考答案：19.(本小题满分12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．参考答案：当a＝0时，f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时解得1≤a≤5或.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时或解得a≥5或.综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为20.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．21.如图，CD为△ABC外接圆的切线，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，AB的延长线交直线CD于点D，且BC?AE=DC?AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解答： （1）证明：∵BC?AE=DC?AF，∴…又DC为圆的切线∴∠DCB=∠EAF…∴△AFE∽△CBD…∴∠AFE=∠CBD…又B，E，F，C四点共圆∴∠AFE=∠CBE…∴∠CBD=∠CBE=90°∴CA是△ABC外接圆的直径…（Ⅱ）解：连结CE，∵∠CBE=90°∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…∵DB=BE，且BC⊥DE∴CD=CE…∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径∴AC⊥DC…设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，CD2=BD?DA=3a2，AC2=AB?AD=6a2，∴=，∴=，∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为．点评：本题考查三角形外接圆直径的证明，考查两圆半径比值的求法，四点共圆的性质的灵活运用是关键．22.如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，，，，，，M是BC中点，N是SA上的点.（1）求证：MN∥平面SDC；（2）求A点到平面MDN的距离.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）利用面面平行的