考向16 利用导数研究函数的极值与最值（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向16利用导数研究函数的极值与最值1．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合对进行分类讨论，画出图象，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.依题意，为函数的极大值点，当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.2．（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．【答案】1；证明见详解【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，假设能取到，则，故；当时，，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点。2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【知识拓展】常用结论：（1）．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．（3）．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文））已知函数在处有极值10，则（）A． B．0 C．或0 D．或62．（2021·全国高三其他模拟（理））函数的最小值为（）A． B． C． D．03．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·江苏高三其他模拟）已知若，则的最小值为（）A． B． C． D．1．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（）A．f（x）无极大值，也无极小值B．f（x）有极大值，也有极小值C．f（x）有极大值，无极小值D．f（x）无极小值，有极大值2．（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数，则（）A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1C．的极大值为 D．的最小值为3．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（）A． B．-1 C．0 D．4．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））若是函数的极值点，则（）A． B．C． D．5．（2021·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三其他模拟（文））设函数，若，则函数的各极大值之和为（）A． B． C． D．6．（2021·四川石室中学高三一模（文））在中，，，分别为，，所对的边，若函数有极值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（）A． B． C． D．8．（2021·全国高三其他模拟（理））函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．9．（2020·江苏省滨海中学高三一模）已知函数，对任意的，使得，则___________.10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数f(x)=，g(x)=，且满足，则g(x)-f(x)的最大值为__________．11．（2021·四川高三零模（文））已知函数，其中.若函数的图象在点处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）求函数的极值.12．（2021·宁波中学高三其他模拟）定义域为D的函数，若对给定的实数y，函数有最大值，我们称为的变换.（1）设，，求此时的变换；（2）求证：若，，则.1．（2017·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为．A． B． C． D．2．（2016·四川高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A．–4 B．–2 C．4 D．23．（2011·浙江高考真题（文））设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是A．B．C．D．4．（2011·湖南高考真题（理））设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为A．1 B． C． D．5．（2009·辽宁高考真题（文））若函数在处取极值，则_______6．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.7．（2018·江苏高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．8．（2018·全国高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．9．（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．10．（2020·北京高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．1．【答案】A【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案.【详解】由函数有.函数在处有极小值10.所以，即解得:或当时，令得或，得所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.显然满足函数在处有极小值10.当时，所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.所以故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题.2．【答案】B【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间即可得到最小值.【详解】，令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．故选：B3．【答案】A【分析】先分析极值点的最多个数，然后根据极值点的最多个数确定出极值点个数的分布情况，由此得到关于的不等式组，从而求解出的取值范围.【详解】设，，令，所以，设，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，且当时，，时，，所以方程最多仅有两个解，又因为在上最多仅有一个极值点，所以有两个极值点，有一个极值点；当方程有两个解时，，所以，当在有一个极值点时，，所以，综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则，故选：A.4．【答案】A【分析】令，则，构造函数，通过求导，分析单调性求出最值，即可求得的最小值．【详解】令，则，，所以令，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则所以，则的最小值为故选：A1．【答案】C【分析】求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.【详解】因为，所以，令，，因为，所以，即，故，所以在上单调递减，又因为，，所以存在唯一的，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以f（x）有极大值，无极小值.故选：C.2．【答案】C【分析】先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而，从而可求出的单调区间和极值【详解】.令，则，所以在上单调递减.因为，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故的极大值点为1，的极大值为故选：C3．【答案】B【分析】求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：B.4．【答案】C【分析】求导，根据是函数的极值点，由求解.【详解】因为函数，所以，因为是函数的极值点，所以，即，两边取以e为底的对数得：，即，令，即，因为，所以在上递增，所以，即，故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是将两边取以e为底的对数变形为，构造函数，由其单调性而得解.5．【答案】C【分析】根据求导可得，求得极值点为（），代入求和即可得解.【详解】令，当时，为增函数，当时，为减函数当（）时取极大值，此时，所以数列首项为，公比为共项的等比数列，故和为，故选：C6．【答案】B【分析】先求出，根据条件可得有两个不同的实数根，从而其，得到，由余弦定理得出的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.【详解】由，根据有极值点，则有两个不同的实数根.所以，即由余弦定理可得，由，所以，由，则所以的范围是故选：B【点睛】关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出有两个不同的实数根，从而其，得到，由余弦定理得出的范围，属于中档题.7．【答案】A【分析】设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，研究函数的最值即可得答案.【详解】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个不相等的实根，不妨设，则，作出的图象，函数与三个不等实根，且，那么，可得，，所以，构造新函数当时，在单调递减；当时，在单调递增；∴当时，取得最小值为，即的最小值为；故选：A【点睛】本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法，是难题.本题解题的关键在于设，进而，，再结合的图像可得，，，将问题转化为求函数的最值问题.8．【答案】．【分析】将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.【详解】解：∵函数（）在内不存在极值点，∴函数在内单调递增或单调递减，∴或在内恒成立，∵，令，二次函数的对称轴为，∴，，当时，需满足，即，当时，需满足，即，综上所述，a的取值范围为．故答案为：．9．【答案】-3【分析】由题设易知为奇函数且，当由导数研究单调性并确定最值，可得，结合已知判断是否符合题设；当由导数确定的零点，讨论、判断是否符合题设，若符合结合恒成立，列不等式组求参数m、n即可.【详解】由题意，令，易知是奇函数，，1、当时，，即单调递增，，，∴，任意的，使得，当时，，不合题意；当时，，不合题意；2、当时，有，∴当，则上，即单调递减，故，同1可知不合题意；当，则、上，即单调递增，上，即单调递减，∴①得，或②得，∴，代入①得，故.故答案为：【点睛】关键点点睛：构造奇函数并利用导数研究单调性，进而确定的范围，结合分类讨论及不等式恒成立，列不等式组求参数.10．【答案】【分析】令，通过二次求导研究函数的单调性，从而求得最大值.【详解】令，则，令则，易知单调递减，则，则必存在一点，使，即，即在单调递增，在单调递减，则函数在处取最大值，且，易知单调递增，则，则，在时，恒成立，即故单调递减，从而故答案为：11．【答案】（1）；（2）极大值，极小值.【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）由导数研究函数的单调性，进而求得极值即可.【详解】（1）由已知，可得.函数的图象在点处的切线与直线平行，，解得.经验证，符合题意.（2）由（1）得，求导.令，得或当变化时，与的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减极小值单挑递增当时，取得极大值，且；当时，取得极小值，且.【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．12．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得的表达式，利用导数求得.（2）由（1）得到，对进行赋值，得到与，两式相加证得不等式成立.【详解】（1），，则，.因为，所以时，单调递增，时，单调递减，故此时有最大值：.（2）因为是的最大值，所以，由（1）得，.因为，，故可取，，及，得，，两式相加移项得.【点睛】对于新定义的题目，关键在于将新定义对应与所学的数学知识进行对应.在本题中，关键点就是利用导数求最值.1．【答案】A【详解】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2．【答案】D【详解】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.3．【答案】D【详解】，令则，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即于是，，则故A、B可能；对于D，，，则，与图矛盾，不可能，故选D4．【答案】D【详解】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．5．【答案】3【详解】试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3.考点：利用导数研究函数的极值．6．【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.7．【答案】.【详解】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．【答案】【详解】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.9．【答案】（1）；（2）的极小