辽宁省本溪市第二十中学高三数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省本溪市第二十中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A、B、C、D是同一球面上的四点，且每两点间距离都等于2，则球心到平面BCD的距离是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:B2.已知变量满足则的最大值是（

）A．

B．3

C．

D．参考答案：A令，则表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图形可知，联立方程可以求出，所以，故的最大值为.选A.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3.执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是A．

B．

C．

D．参考答案：C第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，此时满足条件输出，选C.4.半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x=0和x+y=2均相切，则该圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=4 B．（x﹣2）2+（y+2）2=2C．（x﹣2）2+（y+2）2=4 D．（x﹣2）2+（y+2）2=4参考答案：C【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心坐标为（a，﹣2）（a＞0），则圆心到直线的距离d==2，求出a，即可求出圆的标准方程．【解答】解：设圆心坐标为（a，﹣2）（a＞0），则圆心到直线的距离d==2，∴a=2，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2=4，故选C．5.函数的反函数为

（

）A．

B．C．

D．参考答案：B6.集合，,,则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.（5分）（2007?广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．?参考答案：C【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．8.设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，则

②若，则

③若，则

④若，则

其中，真命题的个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A9.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点A的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切,则两球在正方体的面上的正投影是参考答案：10.已知全集则集合{1,6}=

（

）

A．M

B．N

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则在[0,10]内任取一个实数，使得的概率是

.参考答案：0.6

12.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆的圆心到直线的距离是

参考答案：113.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,为坐标原点.若是抛物线的准线与轴的交点,则

．参考答案：45°由抛物线的对称性不妨设，则，得，法一：，在中，，所以.法二：因为，所以，可得，，所以.

14.若函数是奇函数，则______．参考答案：因为函数为奇函数，所以，即。15.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_______m3.参考答案：16.已知球O的表面积为，点A，B，C为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC的距离等于__________________．参考答案：

2

17.复数满足，则=_________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知，CD＝4，。（Ⅰ）若，求证：CE⊥平面PDE；

（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积．参考答案：考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，，，

∴

又AB＝CD＝4，∴BE＝3．

在Rt△EBC中，，∴，∴．

又，∴，即CE⊥DE．

∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD，

∴PD⊥CE．

∴CE⊥平面PDE．

（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE，

∴平面PDE⊥平面ABCD．

如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，

∴AF就是点A到平面PDE的距离，即．

在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得

，解得AE＝2．

∴，

，

∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，

∵PA平面PAD，∴BA⊥PA．

在Rt△PAE中，AE＝2，，

∴．

∴三棱锥A-PDE的侧面积．

19.已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，

（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．

（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．20.[选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8.参考答案：证明：由柯西不等式可得：，因为所以， 因此.

21.设实数a，b满足a+2b=9．（1）若|9﹣2b|+|a+1|＜3，求a的取值范围；（2）若a，b＞0，且z=ab2，求z的最大值．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）由条件原不等式变为|a|+|a+1|＜3，对a讨论，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab2=a?b?b，运用三元基本不等式，即可得到得到最大值；方法二、由条件可得a=9﹣2b，求得b的范围，求出z关于b的函数，求出导数，单调区间，可得极大值，且为最大值．【解答】解：（1）由a+2b=9得a=9﹣2b，即|a|=|9﹣2b|，若|9﹣2b|+|a+1|＜3，则|a|+|a+1|＜3，即有或或，解得0＜a＜1或﹣2＜a＜﹣1或﹣1≤a≤0，解得﹣2＜a＜1，所以a的取值范围为（﹣2，1）；（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab2=a?b?b≤（）3=（）3=33=27，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．方法二、a+2b=9，可得a=9﹣2b，由a＞0，可得0＜b＜，z=ab2=（9﹣2b）b2=9b2﹣2b3，z的导数为z′=18b﹣6