构造函数利用导数解决函数问题

构造函数利用导数解决函数问题PAGEPAGE14构造函数解决不等式问题例：[2011·辽宁卷]函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f’(x)>2，所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.训练：1.已知函数的图象关于y轴对称,且当成

立，，,则a,b,c的大小关系是()A. B. C.D.解：因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,所以当时,,函数单调递减,当时,函数单调递减.因为,,,所以,所以,选A.2.已知为上的可导函数，且，均有，则有A．，B．，C．，D．，解：构造函数则，因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即也就是，故选D．6.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）A.B.C.D.解：构造新函数, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.3.[2013·绥化一模]已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝(30.3)·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>aD．a>c>b解：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)关于(0，0)中心对称为奇函数，所以函数g(x)=xf(x)为偶函数．又当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，故g(x)=xf(x)在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,9)))>30.3>logπ3>0，所以c>a>b.例：巳知函数f（x）=ax2－bx－1nx，其中a，b∈R。（I）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f(e））处的切线方程为2x－3y－e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1>x2≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围；【知识点】导数的综合应用解：因为，所以，令，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，则f(x)在处取得最小值为；（Ⅱ）因为①，又因为切点(e，f(e))在直线2x－3y－e=0上，所以切点为，所以②，联立①②解得.（Ⅲ）由题意，对于任意，总有成立，令，则函数p(x)在x∈[4，＋∞)上单调递增，所以上恒成立.构造函数，则，只要在上单调递增即可.…………10分而当时，，此时在上单调递增；……11分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.综上.………14分2.函数，（1）求函数的极值；（2）讨论的零点的个数；（3）对恒成立，求的取值范围。解：3.已知函数（1）若直线y=x+m与函数的图像相切，求实数m的值。（2）证明函数与曲线有唯一的交点。（3）设，比较的大小，并说明理由4.设函数f(x)＝2lnx＋mx－x2.(1)若曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y＝2x＋n,求实数m,n的值；(2)若m>－4,求证：当a>b>0时,有eq\f(fa－fb,a2－b2)>－2；(3)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),且x0＝eq\f(x1＋x2,2),求证：f′(x0)<0.解：(1)由f(x)＝2lnx＋mx－x2得f′(x)＝m＋eq\f(2,x)－2x,故由题意可得f′(1)＝m＋eq\f(2,1)－2＝2,即m＝2.从而f(1)＝2ln1＋2－1.又知f(1)＝2×1＋n,∴2＋n＝1,∴n＝－1.∴实数m,n的值分别为m＝2,n＝－1.(2)由于a>b>0,设函数g(x)＝f(x)＋2x2＝x2＋mx＋2lnx,则有g’(x)＝2x＋m＋eq\f(2,x).由于x>0,且m>－4,∴g′(x)＝2x＋m＋eq\f(2,x)≥2eq\r(2x·\f(2,x))＋m＝4＋m>0,故g(x)在(0,＋∞)上递增,∴g(a)>g(b),∴f(a)＋2a2>f(b)＋2b2,∴(3)由x1,x2(x1<x2)是f(x)的零点可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2lnx1＋mx1－x\o\al(2,1)＝0，,2lnx2＋mx2－x\o\al(2,2)＝0，))故m＝x1＋x2－2·eq\f(lnx1－lnx2,x1－x2).又由f′(x)＝m＋eq\f(2,x)－2x,x0＝eq\f(x1＋x2,2),可得f′(x0)＝m＋eq\f(4,x1＋x2)－(x1＋x2)＝2eq\f(2,x1＋x2)－eq\f(lnx1－lnx2,x1－x2),进而可得f′(x0)＝eq\f(2,x