概率论与数理统计总结(同名22548)

概率论与数理统计总结(同名22548)随机事件与概率随机事件及其运算随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω表示基本结果，又称为样本点。随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。时间的表示有多种：用集合表示，这是最基本形式用准确的语言表示用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件A发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B;（2）相等关系：若A⊂B且B⊃

A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。（3）互不相容：如果A∩B=∅，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为A∪B。（2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩B或AB。（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为A－B。用交并补可以表示为。（4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”，记为。对立事件的性质：。8、事件运算性质：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω

，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2)若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3）若An∈ξ，n=1,2，···，则可列并ξ

。10、两个常用的事件域：（1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；（2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足：（1）非负性公理：若A∈ξ，则P(A)≥0；（2）正则性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有，即，则称P（A）为时间A的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是：（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称fn(A)=，为事件A出现的频率；频率的稳定值就是概率；当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；每个样本点发生的可能性相等（等可能性）；若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P（A）=。4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用Sn表示；任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；若事件A为中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为P（A）=.5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。第三节概率的性质：P(Φ)＝0有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容，则有，对立事件的概率：对任一事件A，有减法公式（特定场合）：若AB,则P(A－B)＝P(A)－P(B)单调性：若AB，则P（A）P（B）减法公式（一般场合）：对任意两个事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB)加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。对任意n个事件A1，A2，···，An，有半可加性：对任意两个事件A、B，有.事件序列的极限：对ξ

中任一单调不减的事件序列，称为可列并为极限{Fn}的极限事件，记为。对ξ

中任一单调不增的事件序列，称为可列交为极限{En}的极限事件，记为。若,则称概率P是上连续的概率的连续性：若P为事件域ξ

上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的若P是ξ上满足P（Ω）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。第四节条件概率1、条件概率：设A、B是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。2、乘法公式：（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)（2）若P(A1A2…An-1)>0…………。3、全概率公式：设事件互不相容，且，如果，则对任一事件A有，i=1,2,···，n。。4、贝叶斯共公式：设事件，，…，互不相容，且，如果P（A）>0，,则，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。，（，，…，），通常叫Bi的先验概率。，（，，…，），通常称为Bi的后验概率。第五节独立性1、两个事件的独立性：如果满足，则称事件、是相互独立的，简称A与B独立。否则称A与B不独立或相依。若事件、相互独立，且，则有2、若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，···，An，如果对任意的1I<j<k<···n，以下等式均成立则称此n个事件A1，A2，···，An相互独立。4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。5、试验的独立性：假如实验E1的任一结果（事件）与试验E2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。6、n重独立重复试验：假如一个试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A与，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量连续随机变量:取值充满某个空间（a，b）的随机变量。这里a可为-∞，b可为+∞。2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数为X的分布函数，记为X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质：单调性：F（x）是单调非减函数，即对任意的x1<x2,有F(x1)F(x2)；右连续性：F（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有，即F(x0+0)=F(x0)；有界性:对任意的x，有0≤F(x)≤1，且F(-∞)==0，F(+∞)==1可以证明：具有上述三条性质的函数F（x）一定是某一个随机变量的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的概率3、离散型随机变量的概率分布列:若离散型随机变量的可能取值为xn(n=1,2,…)则称X取xi的概率为Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：。分布列具有两条基本性质：非负性;，（2）正则性:。离散随机变量X的分布函数，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量X取值于区间（a，b]上的概率为P(a<X≤b)=F(a)-F(b).常数c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X=c)=1，它的分布常称为单点分布或退化分布。4、连续随机变量的概率密度函数:记连续随机变量X的分布函数是F(x)，若存在非负可积函数p（x），对任意实数x，有，则称为连续型随机变量。p（x）称为的概率密度函数，简称密度函数。密度函数p（x）具有下面2个基本性质：非负性:;正则性：。5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。6、设随机变量X的分布函数F(x)，则可用F(x)表示下列概率：（1）P(X≤a)=F(a)；（2）P(X<a)=F(a-0)；（3）P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)；(4)P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a)-F(a-0);(5)P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0);(6)P(|X|<a)=P(-a<X<a)=P(X<a)-P(X≤-a)=F(a-0)-F(-a).第二节随机变量的数学期望数学期望：设随机变量X的分布列p（xi）或用密度函数p（x）表示，若，则称E(X)=为X的数学期望，简称期望或均值，且称X的数学期望存在。否则数学期望不存在。数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征。如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的。期望相当于重心。数学期望的性质：假设数学期望存在，X的某一函数g（X）的数学期望为若C为常数，则E(C)=C对任意常数C，有E(CX)=CE(X)对任意的两个函数g1（x）和g2（x），E[g1（x）±g2（x）]=E[g1（x）]±E[g2（x）]E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。第三节随机变量的方差与标准差方差：随机变量X对其期望E（X）的偏差平方的数学期望（设其存在）Var（X）=E[X-E(X)]2称为X的方差，方差的正平方根σ（X）=σX=称为X的标准差。方差是由分布决定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布就越集中。标准差与方差的功能相似，只是量纲不同。方差的性质：假设方差存在，Var（X）=E(X2)-[E(X)]2若c是常数，则Var（c）=0Var（aX+b）=a2Var（X）若随机变量X的方差存在，则Var（X）=0的充要条件是X几乎处处为某个常数a，即P（X=a）=1若X,Y相互独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)切比雪夫不等式:设X的数学期望和方差都存在，则对任意常数ε>0,有,或。切比雪夫不等式给出随机变量取值的大偏差（指事件{|X-E(X)|≥ε}）发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比。随机变量的标准化：对任意随机变量X，如果X的数学期望和方差存在，则称为X的标准化随机变量，此时有E(X*)=0，Var（X*）=1。第四节常用离散分布二项分布：设随机变量X的概率分布列为，，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。背景：重贝努里试验中成功的次数服从参数为，的二项分布。记为，其中p为一次伯努利试验中成功发生的概率。n=1时的二项分布B（1，p）称为二点分布，或0-1分布，（0-1）分布是二项分布的特例。当X～B（1，p）时，X可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。二项分布B（1，p）的数学期望和方差分别是：E(X)=np，Var（X）=np（1-p）。若，则Y=n-X～B（n，1-p），其中Y=n-X是n重伯努利试验中失败的次数。泊松分布：设随机变量的概率分布列为，k=0,1,2，···，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为X～P()，其中参数。背景：单位时间（或单位面积、单位产品等）上某稀有事件（这里的稀有事件是指不经常发生的事件）发生的次数服从泊松分布P()，其中为该稀有事件发生的强度。泊松分布P()的数学期望和方差分别是：E(X)=,Var（X）=。二项分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为pn（与试验次数n有关），如果当n+∞时，有npn，则。超几何分布若X的概率分布列为，k=0,1，···，r。则称X服从超几何分布，记为X～h（n，N,M）,其中r=min{M，n}，且M≤N，n≤N。n，N,M均为正整数。背景：设有N个产品，其中有M个不合格品。若从中不放回的随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布h（n，N,M）。超几何分布h（n，N,M）的数学期望和方差分别是:E（X）=,Var（X）=。超几何分布的二项近似：当n<<N时，超几何分布h（n，N,M）可用二项分布b（n，M/N）近似，即，其中p=M/N。实际应用中，再不返回抽样时，常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数的分布；在返回抽样时，常用二项分布b（n，p）描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量N较大，而抽出样品数n较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。几何分布：若X的概率分布列为P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，···，则称为X服从几何分布，记为X～Ge（p），其中0<p<1.背景：在伯努利试验序列中，成功事件A首次出现时的试验次数X服从几何分布Ge（p），其中p为每次试验中事件A发生的概率。几何分布Ge（p）的数学期望和方差分别是;E(X)=,Var(X)=。几何分布的无记忆性：若X～Ge（p），则对任意正整数m与n有P(X>m+n|X>m)=P(X>n)。负二项分布：若X的概率分布列为，k=r，r+1，···。则称X服从负二项分布或巴斯卡分布，记为X～Nb（r，p），其中r为正整数，0<p<1。背景：在伯努利试验序列中，成功事件A第r次出现时的试验次数X服从负二项分布Nb（r，p），其中p为每次试验中事件A发生的概率。r=1时的负二项分布为几何分布，即Nb（r，p）=Ge（p）。负二项分布Nb（r，p）的数学期望和方差分别是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p2。负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若X～Nb（r，p），则X=X1+X2+···+Xr，其中X1，X2，···，Xr是相互独立、服从几何分布Ge（p）的随机变量。常用离散分布表分布列pk期望方差0-1分布pk=pk（1-p）1-k，k=0,1p二项分布pk=k=0,1，···，nnp泊松分布pk=k=0,1，···几何分布pk=P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，···，超几何分布pk=k=0,1，···，r。r=min{M，n}负二项分布Nb（r，p）pk=k=r，r+1，···。r/pr(1-p)/p2第五节常用连续分布正态分布若X的密度函数和分布函数分别为，-∞<x<+∞;,-∞<x<+∞;则称X服从正态分布，记作X～N（μ，σ2），其中参数-∞<μ<+∞，σ>0。（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。关于参数μ：μ是正态分布的数学期望，即E（X）=μ，称μ为正态分布的位置参数。μ是正态分布的对称中心，在μ的左侧和p（x）下的面积为0.5；在μ的右侧和p（x）下的面积为0.5；所以μ也是正态分布的中位数若X～N（μ，σ2），则X在离μ越近取值的可能性越大，离μ越远取值的可能性越小关于参数σ：σ2是正态分布的方差，即Var（X）=σ2；σ是正态分布的标准差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正态分布越分散；σ又称为正态分布的尺度参数若X～N（μ，σ2），则其密度函数p（x）在μ±σ处有两个拐点标准正态分布：称μ=0，σ=1时的正态分布N（0,1）；记U为标准正态变量，φ(u)和Φ(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。φ(u)和Φ(u)满足：φ(-u)=φ(u)Φ(-u)=1-Φ(u)。对u>0,Φ(u)的值有表可查标准化变换：若X～N（μ，σ2），则U=（X-μ）/σ～N（0,1），其中U=（X-μ）/σ称为X的标准化变换若X～N（μ，σ2），则对任意实数a与b，有P（X≤b）=，P（a<X）=1-,P（a<X≤b）=-。正态分布的3σ原则：设X～N（μ，σ2），则P（|X-μ|<kσ）=Φ(k)—Φ(-k)=均匀分布若X的密度函数和分布函数分别为则称X服从区间（a，b）上的均匀分布，记作X～U（a，b）。背景：向区间（a，b）随机投点，落点坐标X一定服从均匀分布U（a，b）。“随即投点”指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。均匀分布U（a，b）的数学期望和方差分别是E（X）=，Var（X）=。称区间（0,1）上的均匀分布U（0,1）为标准均匀分布，它是导出其他分布随机数的桥梁指数分布若X的密度函数和分布函数分别为则称为X服从指数分布，记作X～Exp（λ），其中参数λ>0。背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间X（寿命）服从指数分布。指数分布Exp（λ）的数学期望和方差分别是E(X)=,Var(X)=。指数分布的无记忆性：若X～Exp（λ），则对任意s>0,t>0,有P（X>s+t|X>s）=P(X>t)。伽玛分布伽玛函数：称（）=为伽玛函数，其中参数>0。伽玛函数具有如下性质：（1）=1；（1/2）=；（+1）=（）；（n+1）=n（n）=n！（n为自然数）。伽玛分布：若X的密度函数为即称X服从伽玛分布，记作X～Ga（，λ），其中>0为形状参数，λ>0为尺度参数。背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击时即告失效，则第k次冲击来到的时间X（寿命）服从形状参数为k的伽玛分布Ga（k，λ）。伽玛分布Ga（，λ）的数学期望和方差分别为E（X）=，Var（X）=。伽玛分布的两个特例:=1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga（1，λ）=Exp（λ）。称=n/2，λ=1/2时的伽玛分布为自由度为n的χ2（卡方）分布，记为χ2（n），其密度函数为，χ2（n）分布的期望