高考数学一轮复习考点规范练40直线平面平行的判定与性质含解析新人教A版文

考点规范练40直线、平面平行的判定与性质基础巩固1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m∥n D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n答案:D解析:对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④答案:C解析:对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α答案:D解析:对于选项A,B,C,由已知条件,可得平面α,β可能平行,也可能相交,所以选项A,B,C不是α∥β的一个充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.4.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α答案:C解析:如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.∵n∥α,∴n与α无公共点,∵m⊂α,∴n与m无公共点,又m,n共面,∴m∥n,故选C.6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是()A.MC⊥ANB.GB∥平面AMNC.平面CMN⊥平面AMND.平面DCM∥平面ABN答案:C解析:显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;由题意易得GB∥MH,又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,所以GB∥平面AMN,所以B正确;因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.7.已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.

答案:245解析:如图(1),∵AC∩BD=P,∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,∴AB∥CD.∴PAAC=PBBD,即6图(1)图(2)如图(2),同理可证AB∥CD.∴PAPC=PBPD,即6综上所述,BD=245或248.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.

答案:6解析:过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.

答案:平行解析:取PD的中点F,连接EF,AF,在△PCD中,EF12CD∵AB∥CD且CD=2AB,∴EFAB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ∥平面PAO.

答案:Q为CC1的中点解析:如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.答案：(1)证明如图①,取BC中点N,连接MN,C1N.∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,∴M,N,C1,A1共面.∵BE=3EC,∴E是NC的中点.又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,∴DE∥平面A1MC1.(2)解如图②,当AA1=1时,AM=1,A1M=2,A1C1=2.∴三棱锥A-MA1C1的体积VA-A1MC1=VC1-图①图②12.(2020广西桂林一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,E为BB1的中点,F为AC1的中点.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)求点E到平面AB1C1的距离.答案：(1)证明如图,连接AC,BD,交于点O,连接OF,∵OF为△ACC1的中位线,∴OF∥CC1,OF=12CC1.又BB1∥CC1,且BB1=CC1,∴OF∥BB1,2OF=BB1.又E为BB1的中点,∴OF∥BE,OF=BE∴四边形BEFO为平行四边形.∴EF∥BO.∵BO⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解连接AE,EC1.由题意知B1C1⊥平面ABB1A1,∴B1C1是点C1到平面ABB1A1的距离.又AB1⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥AB1.设点E到平面AB1C1的距离为h.∵VC1-AB1E=VE-AB即13×12×1×1×1=13×12故点E到平面AB1C1的距离为55能力提升13.(2020广西南宁二模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AC,A1B的中点,则下列说法错误的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.直线MN与平面ABCD所成的角为45°D.异面直线MN与DD1所成的角为60°答案:D解析:如图,连接BD,A1D,则BD过点M,且M为BD的中点.由N为A1B的中点,知MN为△A1BD的中位线,∴MN∥A1D,∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,则AB⊥A1D,∵MN∥A1D,∴MN⊥AB,故B正确;直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°,故C正确;而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角,应为45°,故D错误.故选D.14.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.

①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③答案:C解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.15.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.答案:2解析:如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD.又平面PQNM∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PQNM,∴MN∥PQ.又MN∥AC,∴PQ∥AC.∵AP=a3,∴PDAD=DQCD=PQAC16.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,在A1B上取一点M,在B1C上取一点N,使得直线MN∥平面A1ACC1,则线段MN的最小值为.

答案:2解析:作MM1⊥AB于点M1,作NN1⊥BC于点N1,连接M1N1,如图.∵平面ABB1A1⊥平面ABCD,且交线为AB,∴MM1⊥平面ABCD.同理NN1⊥平面ABCD.∴MM1∥NN1.∴M,N,N1,M1四点共面,且四边形MNN1M1为直角梯形.由作图可知,MM1∥AA1,∵AA1⊂平面A1ACC1,MM1⊄平面A1ACC1,∴MM1∥平面A1ACC1.∵MN∥平面A1ACC1,且MN∩MM1=M,MN,MM1⊂平面MM1N1N,∴平面MM1N1N∥平面A1ACC1.∵平面MM1N1N,平面A1ACC1与平面ABCD的交线分别为M1N1,AC,∴M1N1∥AC.设BM1=BN1=x,则MM1=2x,NN1=2-2x.在直角梯形MNN1M1中,MN2=(2x)2+(2-4x)2=18x-492+∴当x=49时,MN取得最小值为217.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.答案：(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,知AB1∥DC1,A1D∥B1C.∵AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面AB1C,A1D∩DC1=D,A1D,DC1⊂平面DA1C1,∴平面AB1C∥平面DA1C1.(2)解存在这样的点P满足题意.如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,∵B1BCC1,∴BB1CP,∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,∴BP∥平面DA1C1.高考预测18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=26.(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.解：(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD.从而平面A'HC⊥平面ABCD,且交线为CH.过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD.因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,所以A'H=22,CH=42,所以cos∠A'H