江西省上饶市南屏中学高三数学理月考试题含解析

江西省上饶市南屏中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是A.满足的点P必为BC的中点 B.满足的点P有且只有一个C.的最大值为3 D.的最小值不存在参考答案：C2.已知，，函数，下列四个命题：①是周期函数，其最小正周期为；②当时，有最小值；③是函数的一个单调递增区间；④点是函数的一个对称中心.正确命题的个数是

（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D②③④试题分析：函数的周期为，①为错误的；当时，取得最小值，此时，即，当时，，②为正确的；令，解得，函数的增区间为，当时，函数的增区间为，③为正确的；令，解得，函数的对称中心为，当时，得点是函数的一个对称中心，④为正确的；综上所述，②③④是正确的命题.故答案为②③④.考点：命题的真假；三角函数的性质.3.若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线

的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略4.已知z=（i为虚数单位），则复数z=（）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：z==．故选：C．5.设集合，，则=

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A因为，，则，选A.6.在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则?等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出角B的大小，然后根据直角三角形的性质得到CD，再数量积公式计算可得．【解答】解：由题意，如图：因为2×sin30°=3=AB，所以∠C=90°，因为+2=0，则AD=2，BD=1，则BC=，

所以tan∠BCD=，所以∠BCD=30°，所以∠DCA=30°，得到CD=2，所以?=2×2×cos150°=﹣6．故选：D．【点评】本题考查了平面图形中向量的数量积的计算；充分利用平面图形的性质是解答的前提．7.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入，则输出的的值为（

）A．5

B．25

C.45

D．35参考答案：8.已知集合A={x|2x2﹣7x≥0}，B={x|x＞3}，则集合A∩B=（）A．（3，+∞） B．[，+∞） C．（﹣∞，0}]∪[，+∞） D．（﹣∞，0]∪（3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（2x﹣7）≥0，解得：x≤0或x≥，即A=（﹣∞，0]∪[，+∞），∵B=（3，+∞），∴A∩B=[，+∞），故选：B．9.在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，,，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为A．1∶2

B．1∶3

C．1∶4

D．1∶5参考答案：B10.设，则a，b，c的大小关系是(

)A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：A【考点】对数值大小的比较；不等式比较大小．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．【解答】解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是参考答案：12.定义平面向量之间的一种运算（?）如下：对任意的，令，下面说法正确的序号为

．（把所有正确命题的序号都写上）①若共线，则②③对任意的④．参考答案：①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由向量共线的坐标表示结合新定义可得①正确；由新定义求出?与?，说明不一定相等；直接利用新定义计算可得③④成立．解答： 解：①若共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq﹣np=0，而=0，正确；②由题目定义可得，，?=pn﹣mq，不一定相等，错误；③对任意的λ∈R，?=λmq﹣λnp=λ（mq﹣np）=λ（?）正确；④=（mq﹣np）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=，正确．故答案为：①③④．点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量共线的坐标表示，考查了向量模的求法，是中档题．13.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_____________.参考答案：略14.在中，分别是的对边，若,则

．参考答案：15.设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是

.参考答案：略16.已知，则

.参考答案：-4函数的导数为，所以，解得，所以，所以，所以。17.已知一组抛物线，其中a为1、3、5、7中任取的一个数，b为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）已知奇函数，的图象在x=2处的切线方程为(I)求的解析式；(II)是否存在实数,m,n使得函数在区间上的最小值为m，最大值为n.若存在，求出这样一组实数m,n,若不存在，则说明理由.参考答案：解：（1）∵的图象关于原点对称，∴恒成立，即，∴，又的图象在处的切线方程为，………2分∴，且，而，∴解得故所求的解析式为

……6分

（2）解得或又，由得，且当或时，；……8分当时，，∴在和递增；在上递减.∴在上的极大值和极小值分别为，。而故存在这样一组实数满足题意.

……………12分略19.已知抛物线的焦点为，点在上，.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线与交于另一点，求的值.参考答案：【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查直观想象、数学运算等．【试题简析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义，得， 2分解得， 3分所以的方程为. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得，因为在上，所以，解得或（舍去）， 5分故直线的方程为， 6分由消去，得， 7分解得，， 8分由抛物线的定义，得， 9分所以. 10分解法二：（Ⅰ）由题意，可得 2分解得 3分所以的方程为. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得，故直线的方程为， 6分由消去，得， 7分由韦达定理，得，又，所以， 8分故，从而， 9分所以. 10分【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文10）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=，则x0=A．1

B．2

C．4

D．820.已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（Ⅰ）设，，求证：（1）（2）数列是等差数列，并求出其公差；（Ⅱ）设，，且是等比数列，求和的值．参考答案：解：（Ⅰ）（1）∵，∴。

∴。

------（3分）（2）

。

∴数列是以1为公差的等差数列。

--ks5u-（2分）（Ⅱ）∵，∴。

∴。（﹡）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。∴综上所述，。∴，∴。

又∵，∴是公比是的等比数列。

若，则，于是。

又由即，得。

∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

∴。

∴。

---（5分）21.已知函数f（x）=x3+x2+|x﹣a|．（a是常数，且a≤）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当﹣2≤x≤1时，f（x）的最小值为g（a），求证：对任意x∈[﹣2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．参考答案：考点：函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）去绝对值，通过求导，判断导数符号从而判断f（x）的单调性，并最后得出：a≤﹣1时，f（x）在R上是增函数；﹣1＜a≤时，f（x）在（﹣∞，﹣1），[a，+∞）上是增函数，在（﹣1，a）上是减函数；（Ⅱ）根据上面的结论，分别求在a≤﹣1，﹣1＜a≤时的最小值g（a），和最大值，只要证明g（a）+9大于等于f（x）的最大值即可．解答： 解：（Ⅰ）①当x≥a时，f（x）=x3+x2+x﹣a，f′（x）=3x2+2x+1＞0；∴此时f（x）是增函数；②当x＜a时，f（x）=x3+x2﹣x+a，f′（x）=3x2+2x﹣1；解3x2+2x﹣1=0得，x=﹣1，或；∴x＜﹣1，或x时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数；﹣1＜x＜时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；∴当a≤﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；当时，f（x）在（﹣∞，﹣1），[a，+∞）上是增函数，在[﹣1，a）上是减函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）当a≤﹣1时，f（x）在[﹣2，1]上是增函数；∴g（a）=f（﹣2）=|a+2|﹣4；最大值为f（1）=2+|1﹣a|=3﹣a；①当﹣2＜a≤﹣1时，a+2＞0，2a+4＞0；∴g（a）+9﹣f（x）≥g（a）+9﹣f（1）=a+7﹣3+a=2a+4＞0；∴对任意x∈[﹣2，1]，f（x）＜g（a）+9；②当a≤﹣2时，a+2≤0；g（a）+9﹣f（x）≥g（a）+9﹣f（1）=﹣a+3﹣3+a=0；∴对任意x∈[﹣2，1]，f（x）≤g（a）+9；（2）当﹣1＜a≤时，f（x）在[﹣2，﹣1]，[a，1]上是增函数，在[﹣1，a]上是减函数；f（a）﹣f（﹣2）=a3+a2+2﹣a=a2（a+1）+（2﹣a）＞0；f（1）﹣f（﹣1）=3﹣a﹣1﹣a=2﹣2a=2（1﹣a）＞0；∴g（a）=a﹣2，最大值为f（1）=3﹣a；∴g（a）+9﹣f（x）≥g（a）+9﹣f（1）=a+7﹣3+a=2（a+2）＞0；∴对任意x∈[﹣2，1]，f（x）＜g（a）+9；由（1）（2）知对任意x∈[﹣2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．点评：考查处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，根据函数的单调性求函数的最值．22.已知抛物线和的焦点分别为F1，F2，点且为坐标原点）．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求面积的最小值．参考答案：（1）；（2）8.【分析】（1）根据为坐标原点），利用坐标运算即可求出，写出抛物线方程；（2）联立直线与抛物线方程求出的坐标，写出弦长，求出到直线的距离，