湖南省益阳市樊家庙乡中学2022年高二数学文期末试卷含解析

湖南省益阳市樊家庙乡中学2022年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.展开式中含项的系数为A．

B．

C．

D．参考答案：A2.给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是(

)参考答案：①3.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC参考答案：C略4.函数＝log2(3x－1)的定义域为

(

)A．(0，＋∞)

B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞)

D．[1，＋∞)参考答案：A5.已知有两个极值点、，且在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A6.下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数参考答案：C【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．【解答】解：对于A：众数有两个4和5，A是错误；对于B：B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，故B错误；对于C：可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C正确，对于D：频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故D错误；故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7.已知双曲线在左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是（）A．16 B．18 C．21 D．26参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得，利用双曲线的定义可求得|AF2|﹣|AF1|=2a=8，|BF2|﹣|BF1|=2a=8，从而可求得△ABF2的周长．【解答】解：依题意，|AF2|﹣|AF1|=2a=8，|BF2|﹣|BF1|=2a=8，∴（|AF2|﹣|AF1|）+（|BF2|﹣|BF1|）=16，又|AB|=5，∴（|AF2|+|BF2|）=16+（|AF1|+|BF1|）=16+|AB|=16+5=21．∴|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26．即△ABF2的周长是26．故选：D．8.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是(

)A.f:x→y=|x|

B.f:x→y=C.f:x→y=3－x

D.f:x→y=log2（1+|x|）参考答案：C9.过点作圆的弦,其中弦长为整数的共有（）A．16条 B．17条 C．32条 D．34条参考答案：C10.有编号为1，2，3的三个盒子和10个相同的小球，把这10个小球全部装入3个盒子，使得每个盒子所装小球数不小于盒子的编号数，这种装法共有（

）A.9

B.12

C.15

D.18

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x2+3，则f（x）在（2，f（2））处的切线方程为

．参考答案：4x﹣y﹣1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导函数，得到f′（2），再求出f（2），代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x2+3，得f′（x）=2x，∴f′（2）=4，又f（2）=7，∴f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=4（x﹣2），即4x﹣y﹣1=0．故答案为：4x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．12.若直线的倾斜角为则的取值范围为

;参考答案：略13.数列{an}中的前n项和Sn=n2﹣2n+2，则通项公式an=．参考答案：考点： 数列递推式．

专题： 等差数列与等比数列．分析： 由已知条件利用公式求解．解答： 解：∵数列{an}中的前n项和Sn=n2﹣2n+2，∴当n=1时，a1=S1=1；当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1时，2n﹣3≠a1，所以有an=．故答案为：．点评： 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意公式的合理运用．14.用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有

种。参考答案：240试题分析：先涂（3）有5种方法，再涂（2）有4种方法，再涂（1）有3种方法，最后涂（4）有4种方法，所以共有5×4×3×4=240种涂色方法。考点：排列、组合.15.若复数，则的虚部为_____．参考答案：2【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，复数，所以，所以的虚部为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，其中解答熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16.甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率_____参考答案：17.已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．参考答案：【考点】轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题意可知|BP|+|PF|正好为圆的半径，而PB|=|PA|，进而可知|AP|+|PF|=2．根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，根据A，F求得a，c，进而求得b，答案可得．【解答】解：依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示．（1）求证：AB1⊥平面B1CD；（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积VB1﹣ABC．参考答案：解：（1）平面ABCD，平面ABCD，

，又CDAD，AD=O

平面，又平面

，又，且

平面 ………………6分（2）由于平面，平面ABCD，所以

在中，，

又由得，

所以

………12分略19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．【分析】（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．【解答】解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA2的方程是：y=（x﹣r）．…解得．…解得．…于是直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为．…上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…化简得

（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．

①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2y=0．

③…在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…20.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：

资

金[Z。xx。单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成

本3020300劳动力（工资）510110单位利润68

试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?参考答案：解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，约束条件为

可行域如图所示：可化为，可看作一组斜率为的直线，由图知直线y=－x+P过点M时，纵截距最大这时P也取最大值，由

解得Pmax=6×4+8×9=96（百元）故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润96百元略21.（本小题满分13分）已知圆和点．（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求正数的值，并求出切线方程；（2）若，过点的圆的两条弦，互相垂直．①求四边形面积的最大值；②求的最大值．参考答案：（1）由条件知点在圆上，所以，则…1分当时，点为，，此时切线方程为，即当时，点为，，此时切线方程为，即所以所求的切线方程为或。………4分（2）设到直线，的距离分别为，（，），则于是①，当且仅当时取等号即四边形面积的最大值为………8分②，则

因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以所以即的最大值为………13分22.已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题