2024年九年级中考数学中考探究之最值问题讲义

课程主题中考探究之最值问题1、线段最值问题包括：由包含动点构成的线段的最值、单独线段最值、两条或多条线段之和的最值，常与动态几何、函数图像、存在性问题相结合，难度较大.解答时应用的几何性质主要有：两点之间线段最短；连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；在定圆的所有弦中，直径最长；轴对称的性质.2、线段最值问题常见的解决方法：(1)利用函数模型设出关键点的未知数(通常是某一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过函数的性质求解.任意两点A(xA，yA),B(xB,yB)的距离为x(2)利用轴对称模型这类问题的一般形式是寻找一个动点，使其到两个定点的距离最小.通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值.①在直线l上求点P,使AP+PB最小,如图1;②在直线l₁,l₂上分别求点M、N,使△PMN周长最小,如图2;③在直线l₁,l₂上分别求点M、N,使四边形PMNQ周长最小,如图3;④在直线l上求两点M、N(M在左),使得MN=a,并使AM+MN+NB最小,如图4;⑤在直线l上求点P,使|PA-PB|最大,如图5;⑥在直线l上求点P,使|PA-PB|最大,如图6.考点一一条线段最值问题【例1】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,,点P是BC边上任意一点(B、C除外),.PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF的最小值为.【例2】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是()A.2B.2C.2D.6【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(-1，0)，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)图象经过A、B、C三点.(1)求A,C两点的坐标;(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.考点二三角形、四边形周长最小值问题【例1】如图,菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E为BC的中点,在对角线AC上存在一点P,使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为.【例2】如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,点E,F是线段AC的三等分点,点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC=3，则四边形EPQF周长的最小值是.【例3】如图，抛物线y=−x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个?并求出所有点P的坐标；(3)设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.考点三线段和差最值问题【例1】如图,直线y=23A.(-3,0)B.(-6,0)C.−32【例2】如图，一元二次方程x²+2x−3=0的两根x₁,x₂(x₁<x₂)是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标.【例3】如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标.一、选择题1.如图,抛物线y=1A.3B.412c.2.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()A.2B.1C.2.D.2二、填空题3.如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q、R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为.4.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是CD、BC的中点,点P是线段AD上的动点,点Q是线段AB上的动点,若AB=8,BC=6,则四边形EPQF周长的最小值是.5.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则线段AP+BP+PD的最小值为三、解答题6.抛物线的解析式为y=−x²+2x+3,交x轴与A与B,交y轴于C,(1)在其对称轴上是否存在一点P，使△APC周长最小，若存在，求其坐标；(2)在其对称轴上是否存在一点Q，使|QB−QC|的值最大，若存在，求其坐标.7.如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A−3(1)求抛物线的表达式；(2)点E、F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点(点E在点F上方)，且EF=1,求使四边形BDEF的周长最小时的点E、F坐标及最小值.8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P为圆上一动点,连接AP,BP,求AP+19.二次函数y=ax²−2x+c的图象与x轴交于A、C两点,点C(3,0),与y轴交于点B1(2)P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,求2PD+PC10.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证:△AMB≌△ENB;(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;(3)当AM+BM+CM的最小值为3+11.如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A2−3,B2.如图,直线.y=−x−1与抛物线y=ax²+bx−4都经过点A(1)求抛物线的解析式；(2)动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值.3.如图所示，抛物线y=−x²+2x+3交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D,点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，求四边形EDFG周长的最小值. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于