广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（二）数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页【新结构】(广州二模)2024年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则(

)A. B. C. D.2.已知一批沙糖桔的果实横径单位：服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为(

)若，则，A. B. C. D.3.某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有(

)A.24种 B.48种 C.60种 D.96种4.某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了;乙说：甲做对了;丙说：我做错了;丁说：我和乙中有人做对.已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.已知，，是三个不重合的平面，且，，则下列命题正确的是(

)A.若，，则 B.若，则

C.若，，则 D.若，则6.若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”.若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a的取值范围为(

)A. B. C. D.7.已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像向右平移个单位后所得曲线关于y轴对称，则的最小值为(

)

A. B. C. D.8.已知函数的定义域为R，且，，则(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数，则(

)A.的定义域为

B.的图像在处的切线斜率为

C.

D.有两个零点，，且10.在梯形ABCD中，，，，，，则(

)A. B.

C. D.11.已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点为，点P是C的右支上一点，则(

)A.的最小值为8B.若直线与C交于另一点Q，则的最小值为6

C.为定值D.若I为的内心，则为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数的实部为0，则__________.13.已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为__________.14.用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台.根据祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，推导出球台的体积，其中，分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，h是两个平行平面之间的距离.已知圆台的上、下底面的圆周都在球O的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球O所得的球台的体积比圆台O的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈;服用传统药的400名患者中有120名未治愈.补全列联表单位：人，并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统药好;药物疗效合计治愈未治愈创新药传统药合计从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用X表示回访中治愈者的人数，求X的分布列及均值.附：，16.本小题15分已知等差数列的前n项和为，，且为等差数列.求的通项公式;在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和为，求证：17.本小题15分

如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，E，F分别是上、下底面圆周上的点，且

求证：若四边形BEDF为正方形，求平面ABF与平面ADE夹角的正弦值18.本小题17分已知点F是抛物线的焦点，C的两条切线交于点，A，B是切点.若，，求直线AB的方程;若点P在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值;证明：19.本小题17分已知函数讨论的零点个数;若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了交集及其补集的运算，属于基础题.求出B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出，即可答案．【解答】

解：由B中的不等式解得：或，即或，

，

，

故选：2.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查的是正态分布的概率的求法，属于基础题.

结合正态分布的性质求解即可.【解答】

解：因为所种植沙糖桔的果实横径单位：服从正态分布，

其中，

所以果实横径在的概率为

，

故选3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查排列问题，属于基础题.

由2天相连的情况有4种，利用排列数即可求解.【解答】

解：由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，

则不同的安排方法共有种4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查逻辑推理，考查学生的计算能力，属于中档题.

利用矛盾律得出结论.【解答】

解：若甲做对了，则甲说错了，乙说对，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；

若乙做对了，则甲说对了，乙说错误，丙也说对了，2人说对了，不满足条件；

若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件；

若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件；

故做对的是丙，说对的是甲.

故选：5.【答案】C

【解析】【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误．

本题考查了空间中直线与平面的位置关系的判断，属于基础题．【解答】

解：若，，则或l与m相交，故A错误；

若，则或与相交，故B错误；

若，，则，故C正确；

若，则

与

相交，不一定是垂直，故D错误.

故选：6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性，二次方程根的分布，属于中档题.

即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可.【解答】

解：且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，

即有两个不同实根，

令，则在上有两个不同实根，

，

则a的取值范围为

故选：7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了函数的图象与性质，属于中档题.

由题意，则，根据图像过点，可求，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性可得，进而可解.【解答】

解：由图象可知，，，则，

，则

，，，

若将函数的图像向右平移个单位后，

得到，则，

即，

所以当时，取得最小值为，

故选8.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性，对称性，周期性以及赋值法求函数值，属于较难题.

先根据已知，去判定函数为周期函数，进而求出结果.【解答】

解：当，则有，因为，所以，

令，则有，又因为，所以。

令，则有，，

令，可得，，

令，可得，，

令，可得，，

所以，函数是从开始，以4为周期的周期函数，

则，

，

所以

故选9.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查了函数的定义域，导数的几何意义，函数的零点问题，属于中档题.

根据题意直接求出x的范围即可判断A；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断【解答】

解：由题意，，对于A，且，故A错误；

对于B，因为，则，故B正确；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，由题意和A可知，在和上单调递增，因为，，所以，使得，结合C，又因为，则且，即也是的零点，则，，故，故D正确.10.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查向量的数量积计算，以及数量积与垂直的关系，属中档题.

在中由正弦定理求解AD判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断利用数量接计算判断【解答】

解：中，，，

则，，

由正弦定理知，

即，故A正确；

，

，，

，故B正确；

，故C错误；

，

故，，故D正确.11.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的定义，圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.

根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式化简判断C；根据双曲线的定义判断D。

【解答】

解：由

得

，

所以

，

，

所以

，当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号，

即

的最小值为8，故A正确；

若直线l经过，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，

与双曲线C的两个交点为

，此时

，故B错误；

因为

，

，

所以

，

，

两式相加得，

，

所以

，故C正确；

因为I为的内心，则I不恒在双曲线C上，

不为定值，故D错误。

故选：12.【答案】

【解析】【分析】本题考查复数的除法、复数的概念，考查了二倍角的正切公式，属于基础题．

利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论．

【解答】

解：复数的实部为0，

，

故答案为13.【答案】

【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，考查圆的标准方程，属于中档题.

利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，

再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解.【解答】

解：由已知可得：，，，

线段AF的垂直平分线方程为，

过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，

所以圆心坐标为，圆的半径为，

所以经过过A，B，F三点的圆的圆的方程为，

在圆上，

所以，

整理得：，

所以，

所以，

化为：，

解得

负值已舍

故答案为

14.【答案】

【解析】【分析】本题考查圆台的外接球有关的新定义问题，考查圆台的体积、侧面积计算，属较难题.

设圆台的上下底面半径分别为，，根据母线与底面所成的角为，可得圆台的高为，母线长为，表示出圆台体积，由题意，可求得，进而可得，求值域即可得解.

【解答】

解：设圆台的一条母线为AB，

过点A作的垂线，垂足为C，

则即为母线与底面所成的角为，

设圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，，

则，，

即，即，，

，

，

由题意，

则，

即，

即，即，

设圆台外接球的球心为O，半径为R，则O在所在直线上，

设，则，

由，

解得，，

则，

，

故

，

由，可得，则，则，

故的取值范围为，

故答案为15.【答案】解：补充列联表如下所示：药物疗效合计治愈未治愈创新药401050传统药280120400合计320130450因为，所以根据小概率值的独立性检验，创新药的疗效没有比传统药好；

按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，要求抽取8人回访，所以，6，5，则，，，故分布列为：X765P均值

【解析】本题考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列及均值，属于中档题.

根据已知条件补充列联表；计算出的值即可判断；

按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，6，5，进而可求.16.【答案】解：因为等差数列中，，

又，

所以，即①，

因为为等差数列，所以，

令时，，即②，

结合①②，解出，

则，

所以的通项公式为

由题设得，

即，

所以①，则②，由①-②得：，

所以，

因为，所以，所以，即证.

【解析】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查错位相减法求和，属于中等题.

利用等差数列的通项公式和前n项和公式，带入数据直接计算可得答案；

利用等差数列的性质可得，利用错位相减法求出，即证.17.【答案】证明：因为矩形ABCD是圆柱的轴截面，E，F分别是上、下底面圆周上的点，且，

所以，

因为，

所以，

所以

解：过E作底面，连接，以为坐标原点建立坐标系，则

利用四边形BEDF为正方形，，，结合勾股定理求出，

平面ADE的法向量为

设平面ABF的法向量为，

又，

所以，取，

所以平面ABF与平面ADE夹角的余弦值为，

所以平面ABF与平面ADE夹角的正弦值为

【解析】本题考查线线平行的判定，考查面面角，属于中档题.

利用等角定理进行证明；

建立坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式得出结论.18.【答案】解：由题知，

设切线为，

与联立，得，

，解得或3，

时，，则，，切点为；

时，，则，，切点为，

故直线AB方程为，即

，设，，

由题意易知抛物线的切线不与y轴垂直，设切线为，

与联立，得，

，则，

即，，

故抛物线在点A处的切线方程为，

在点B处的切线方程为，

联立可得，

又P在直线上，故，即①，

点F到PA的距离为，

，

故

，

同理可得，

故

，

将①式代入可得：

，

令，则，

则

，

故当时，有最小值为

由知，

则

，

由抛物线定义可得

，

故，即

，

，

，

，

，

则，

又与范围均为，

故，

结合，可得

【解析】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，考查面积最值问题，以及斜率有关的定值问题，属难题.

由题得P坐标，设出切线方程，与抛物线方程联立可得参数的值，进而求解A、B坐标，即可得AB方程；

求得抛物线在点A、B处的切线方程，化简得，由点P在直线上可得A、B纵坐标的和、积关系，进而利用两点间距离公式结合点到直线距离公式，表示出，化简结合配方法可求得最小值；

利用两点间距离公式结合抛物线定义可得，利用两角差的正切公式求得，即，即可证得结论.19.【答案】解：因为，

当时，，此时有一个零点;

当时，，所以不是函数的零点，

令，，

故只需讨论与的交点个数即可，

，

因为，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

由题的图象如图所示：

故当，与有一个交点，

当时，与有2个交点；

综上，时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点.

函数，，

当时，，所以函