相似三角形知识点与习题

相似三角形知识点与习题(一)相似三角形1、定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形(强调:?当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可;?相似三角形的特征:形状一样，但大小不一定相等;相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质:对应角相等，对应边成比例(?2、相似三角形对应边的比叫做相似比(强调:?全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1(所以全等三角形是相似三角形的特例(其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例(?相似比具有顺序性(例如?ABC??A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则?A′B′C′??ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1(?相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出(3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形(4、相似三角形的预备定理:平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似(强调:?定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言:?DE?BC，??ABC??ADE;(双A型)?这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理(它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”;?有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”((二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成:两角对应相等，两三角形相似。例1、已知:如图，?1=?2=?3，求证:?ABC??ADE(例2、如图，E、F分别是?ABC的边BC上的点，DE?AB,DF?AC,求证:?ABC??DEF.ADCBEF第4题判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。简单说成:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(2例1、?ABC中，点D在AB上，如果AC=AD•AB，那么?ACD与?ABC相似吗,说说你的理由(例2、如图，点C、D在线段AB上，?PCD是等边三角形。(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，?ACP??PDB,(2)当?ACP??PDB时，求?APB的度数。如图在正方形网格上有和，,ABC,ABC111222它们相似吗,如果相似，求出相似比;如果不相似，请说明理由。判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成:三边对应成比例，两三角形相似(强调:?有平行线时，用预备定理;?已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2;?已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3(但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等(2、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似(例1、已知:如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP,3PC，Q是CD的中点(求证:?ADQ??QCP(A例2、如图,AB?BD,CD?BD,P为BD上一动点,AB=60Ecm,CD=40cm,BD=140cm,当P点在BD上由B点向D点运动F时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说BCD明理由.例3、如图AD?AB于D，CE?AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有对。例4、已知:AD是Rt?ABC中?A的平分线，?C=90?，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证:(1)?AME??NMD2(2)ND=NC?NB强调:?由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;?如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛((直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似)?如图，可简单记为:在Rt?ABC中，CD?AB，则?ABC??CBD??ACD(?补充射影定理。特殊情况:第一:顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似。第二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定AAS(ASA)SASSSSHL两边对应成一条直角边相似三角形三边对应成两角对应相比例夹角相与斜边对应的判定比例等等成比例二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功(通常有以下几种方法:(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角;相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角;相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边;(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角((3)对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。2、常见的相似三角形的基本图形:学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来;对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆;对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法(如:(1)平行型:(A型，X型)AAA(2)交错型:EEDDDBCBCCBCAEDBC(3)旋转型:(4)母子三角形:BAD(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图(“见平行，想相似”是解这类题的基本思路;(2)“相交线型”相似三角形，如上图(其中各图中都有一个公共角或对顶角(“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路;(3)“旋转型”相似三角形，如图(若图中?1=?2，?B=?D(或?C=?E)，则?ADE??ABC，该图可看成把第一个图中的?ADE绕点A旋转某一角度而形成的(强调:从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线(以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形(练习:1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。2、如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,?ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个?ABC,使?ABC??ABC(相似比不为1),且点A,B,C都在单位111111111正方形的顶点上.图27-2-1-12练习题相似三角形的判定,ABC1.如图，锐角的高CD和BE相交于点O，图中A,ODB与相似的三角形有()DA4个B3个C2个D1个EOCB,ABC，ABC,2，C，ABC2.如图，在中，，BD平分，试说明:AB?BC=AC?CD003.已知:ΔACB为等腰直角三角形，?ACB=90延长BA至E，延长AB至F，?ECF=135求证:ΔEAC?ΔCBF4.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,?1=?2.求证:ΔABC?ΔEAD.5.、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP?ΔPDB;(2)当ΔPDB?ΔACP时，试求?APB的度数.，1,，3，，B,，D，AB,DE,5，BC,46.如图，,ABC,ADE(1)?吗,说明理由。(2)求AD的长。7.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG?AP.2求证:CE=EDEP.?8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE?BC于E，AF?CD于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗,说明理由.(2)ΔAEF与ΔABC相似吗,说说你的理由.9.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且?1=?2，?3=?4.(1)ΔABD与ΔCBE相似吗,请说明理由.(2)ΔABC与ΔDBE相似吗,请说明理由.10.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG?AP.2求证:CE=EDEP.?相似三角形提高训练一(填空题(共2小题)1(如图所示，已知AB?EF?CD，若AB=6厘米，CD=9厘米(求EF(2(如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F(若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________(二(解答题(共17小题)3(如图所示(在?ABC中，?BAC=120?，AD平分?BAC交BC于D(求证:(4(如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G(求证:(5(一条直线截?ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F(求证:(6(如图所示(P为?ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425(求d(7(如图所示(梯形ABCD中，AD?BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF?BC(AD=12厘米，BC=20厘米(求EF(8(已知:P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证:(9(如图所示，梯形ABCD中，AD?BC，MN?BC，且MN与对角线BD交于O(若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN(10(P为?ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图所示)(求证:(11(如图所示(在梯形ABCD中，AB?CD，AB,CD(一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I(已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC:AB(12(已知P为?ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F(求证:(1)(2)三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2(13(如图所示(在?ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分?BAC，BD?AE的延长线于D，且交AM延长线于F(求证:EF?AB(14(如图所示(P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH?PC于H(求证:QH?DH(15(已知M是Rt?ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM?QM(求证:222PQ=PB+QC(16(如图所示(在?ABC中，?ACB=90?，CD?AB于D，AE平分?CAB，CF平分?BCD(求证:EF?BC(17(如图所示(在?ABC内有一点P，满足?APB=?BPC=?CPA(若2?B=?A+?C，求2证:PB=PA•PC((提示:设法证明?PAB??PBC()18(已知:如图，?ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE:EB=2:1(求证:CE?AD(19(如图所示，?ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF:FG:GE的值(20.在?ABC中，?A??B??C=1?2?4(求证提示:要证明如几何题的常用方法:?比例法:将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。?通分法:将原等式变为，利用相关定理将两个个比通分即:2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一(填空题(共2小题)1(如图所示，已知AB?EF?CD，若AB=6厘米，CD=9厘米(求EF(考点:平行线分线段成比例(专题:计算题(分析:由于BC是?ABC与?DBC的公共边，且AB?EF?CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF(解答:解:在?ABC中，因为EF?AB，所以EF:AB=CF:CB?，同样，在?DBC中有EF:CD=BF:CB?，?+?得EF:AB+EF:CD=CF:CB+BF:CB=1?(设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入?得x:6+x:9=1，解得x=(故EF=厘米(点评:考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算(2(如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F(若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=(考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质(专题:计算题(分析:首先作辅助线:取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得:?EFB??EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值(解答:解:取AB的中点M，连接OM，?四边形ABCD是平行四边形，?AD?BC，OB=OD，?OM?AD?BC，OM=AD=c，??EFB??EOM，?，?AB=a，AD=c，BE=b，?ME=MB+BE=AB+BE=a+b，?，?BF=(故答案为:(点评:此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识(解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题(二(解答题(共17小题)(如图所示(在?ABC中，?BAC=120?，AD平分?BAC交BC于D(求证:(3考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定(专题:证明题(分析:过D引DE?AB，交AC于E，因为AD平分?BAC(=120?)，所以?BAD=?EAD=60?(若引DE?AB，交AC于E，则?ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用?CED??CAB，可实现求证的目标(解答:证明:过D引DE?AB，交AC于E(?AD是?BAC的平分线，?BAC=120?，??BAD=?CAD=60?(又?BAD=?EDA=60?，所以??ADE是正三角形，?EA=ED=AD(?由于DE?AB，所以?CED??CAB，?===1,(?由?，?得=1,，从而+=(点评:本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证?CED??CAB是解题的关键(4(如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G(求证:(考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质(专题:证明题(分析:应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证(解答:证明:延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB(在?EIH中，由于DF?IH，?=(?IH=AB，?=，从而，,=,===1+(?在?OED与?OBH中，?DOE=?BOH，?OED=?OHB，OD=OB，??OED??OBH(AAS)(从而DE=BH=AI，?=1(?由?，?得,=2(点评:此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB(这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题(5(一条直线截?ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F(求证:(考点:三角形的面积(专题:证明题(分析:连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证(解答:证明:如图，连接BE、AD，??BDE与?DCE等高，?=，??DCE与?ADE等高，?=，??ADF与?BDF等高，?=，??AEF与?BEF等高，?=，?=，?••=••=1(点评:此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比(6(如图所示(P为?ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425(求d(考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质(专题:计算题(分析:由FG?BC，HI?CA，ED?AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得?IHB??AFG??ABC，于是=，=，再结合=，先计算式子右边的和，易求++==2，从而有++=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可(解答:解:?FG?BC，HI?CA，ED?AB，?四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，??IHB??AFG??ABC，?=，=，?++=，又?DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，?DE+AF+BI=2×(AI+IF+FB)=2AB，?++==2，?DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，?++=++=2，?++=2，解得d=306(点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质(7(如图所示(梯形ABCD中，AD?BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF?BC(AD=12厘米，BC=20厘米(求EF(考点:平行线分线段成比例(分析:由平行线的性质可得===，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长(解答:解:?AD?BC，EF?BC，?===，又==，==，?OE=BC=，OF=AD=，?EF=OE+OF=15(点评:本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题(8(已知:P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证:(考点:相似三角形的判定与性质(专题:证明题(分析:由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可(解答:证明:在平行四边形ABCD中，则AD?BC，AB?CD，?==?,=,==1(点评:本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握(9(如图所示，梯形ABCD中，AD?BC，MN?BC，且MN与对角线BD交于O(若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN(考点:相似三角形的判定与性质;梯形(专题:计算题(分析:由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长(解答:解:?MN?BC，?在?ABD中，=，即OM==，同理ON==，?MN=OM+ON=(点评:本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握(10(P为?ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图所示)(求证:(考点:平行线分线段成比例(专题:证明题(分析:(1)由平行线可得?PIF??CAB，得出对应线段成比例，即==，同理得出==，即可证明结论;(2)证明方法与(1)相同(解答:证明:(1)?DE?AB，IH?AC，FG?BC，?可得?PIF??CAB，?==，同理==，++=++=1((2)仿(1)可得==，===，?++=++=1(点评:本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论(11(如图所示(在梯形ABCD中，AB?CD，AB,CD(一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I(已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC:AB(考点:相似三角形的判定与性质;梯形(专题:计算题(分析:由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论(解答:解:?AB?CD，EF=FG=CH=HI=IJ，?==，?==，==，?DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，?AB=CJ，EB=4CJ，==，CD=5CJ，?AB:CD=:5=1:2(点评:本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握(12(已知P为?ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F(求证:(1)(2)三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2(考点:平行线分线段成比例(专题:证明题(分析:(1)第一问可由三角形的面积入手，即?PBC+?PAC+?PAB=?ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解((2)由(1)中得出，则其中至少有一个不大于，可设?，即3AD?PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论(解答:解:(1)由面积概念得:S+S+S=S??PBC?PAC?PAB?ABC整理等式得:++=1，?由面积概念得:=，=，?=，即=?同理得:=?=?把式?、?、?、代入式?得:;(2)由，知，，中至少有一个不大于，不妨设?即3AD?PD(而AD=AP+PD，?AP?2PD，??2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2(点评:本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题(13(如图所示(在?ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分?BAC，BD?AE的延长线于D，且交AM延长线于F(求证:EF?AB(考点:相似三角形的判定与性质;角平分线的性质(专题:证明题(分析:利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明?MEF??MAB，从而EF?AB解答:证明:过B作BG?AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H(?AE是?BAC的平分线，??BAE=?CAE(?BG?AC，??CAE=?G，??BAE=?G，?BA=BG(又BD?AG，??ABG是等腰三角形，?ABF=?HBF，?F到AB与BH的距离相等，?S:S=AB:BH，?ABF?HBF?S:S=AF:FH，?ABF?HBF?AB:BH=AF:FH(又M是BC边的中点，且BH?AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，?AB:AC=AF:FH(?AE是?ABC中?BAC的平分线，?AB:AC=BE:EC，AF:FH=BE:EC，即(AM+MF):(AM,MF)=(BM+ME):(BM,ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC)(由合分比定理，上式变为AM:MB=FM:ME(在?MEF与?MAB中，?EMF=?AMB，??MEF??MAB??ABM=?FEM，所以EF?AB(点评:此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B引BG?AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H(和利用合分比定理(14(如图所示(P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH?PC于H(求证:QH?DH(考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形的性质;正方形的性质(专题:证明题(分析:要证QH?DH，只要证明?BHQ=?CHD(由于?PBC是直角三角形，且BH?PC，熟知?PBH=?PCB，从而?HBQ=?HCD，因而?BHQ与?DHC相似(解答:证明:在Rt?PBC中，?BH?PC，??PBC=?PHB=90?，??PBH=?PCB(显然，Rt?PBC?Rt?BHC，?=，由已知，BP=BQ，BC=DC，?=，?=(??ABC=?BCD=90?，?PBH=?PCB，??HBQ=?HCD(在?HBQ与?HCD中，?=，?HBQ=?HCD，??HBQ??HCD，??BHQ=?DHC，?BHQ+?QHC=?DHC+?QHC(又??BHQ+?QHC=90?，??QHD=?QHC+DHC=90?，即DH?HQ(点评:本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法(15(已知M是Rt?ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM?QM(求证:222PQ=PB+QC(考点:直角三角形斜边上的中线;勾股定理(专题:证明题(分析:以M点为中心，?MCQ顺时针旋转180?至?MBN，根据旋转的旋转可得?MCQ与?MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形对应角相等可得，?MBN=?C，再连接PN，可以证明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后证明?PBN为直角三角形，根据勾股定理即可证明(解答:证明:如图，以M点为中心，?MCQ顺时针旋转180?至?MBN，??MCQ??MBN，?BN=QC，MN=MQ，?MBN=?C，连接PN，?PM?QM，?PM垂直平分NQ，?PN=PQ，??ABC是直角三角形，BC是斜边，??ABC+?C=90?，??ABC+?MBN=90?，即?PBN是直角三角形，222根据勾股定理可得，PN=PB+BN，222?PQ=PB+QC(点评:本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键(16(如图所示(在?ABC中，?ACB=90?，CD?AB于D，AE平分?CAB，CF平分?BCD(求证:EF?BC(考点:相似三角形的判定与性质;平行线的判定(专题:证明题(分析:由题中条件可得AC=AF，即?ACF是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出?ECF=?EFC，结论得证(解答:证明:??ACB=90?，CD?AB，??CAD=?BCD，又AE平分?CAB，CF平分?BCD，??BCF=?CAE，?B=?ACD，??B+?ECF=?B+?BCF，即?ACF=?AFC，又AE平分?CAB，?AC=AF，?CE=EF，即?ECF=?EFC，??EFC=?BCF，即EF?BC(点评:本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握(17(如图所示(在?ABC内有一点P，满足?APB=?BPC=?CPA(若2?B=?A+?C，求2证:PB=PA•PC((提示:设法证明?PAB??PBC()考点:相似三角形的判定与性质(专题:证明题(分析:用?APB=?APC=120?，?CBP=?BAP两个对应角相等证明?PAB??PBC，根据相似比可证到结论(解答:证明:??APB=120?，??ABP+?BAP=60?，又??ABC=60?，??ABP+?CBP=60?，??CBP=?BAP，又??APB=?APC=120?，??ABP??BCP，?=，2?BP=PA•PC(点评:本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比