广东省人教版高中数学必修2第二章知识点与典型试题分析

广东省人教版高中数学必修2第二章知识点与典型试题分析第二章点、直线、平面之间的位置关系第9讲?2.1.1平面?学习目标:能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”;理解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理.?知识要点:1.点A在直线上,记作;点A在平面内,记作;直线在平面内,记作.Aa,A,,,a,a,,2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:公理1公理2公理3图形语言如果一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点，有如果两个不重合的平面有一个公文字一个平面内，那么这条直线且只有一个平面.共点，那么它们有且只有一条过该语言在此平面内.点的公共直线.AlBl,,,,,,lABC,,不共线,,,符号,PP,,,l,,,,,,,语言AB,,,Pl,,,,ABC,,确定平面,,3.公理2的三条推论:推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面;推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面;推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.?例题精讲:【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面,(PA组5题)56解:根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证:EF、GH、AC三线共点.(同PB组3题)58,解:?PEF，EF面ABC，?P面ABC.同理P面ADC.,,,?P在面ABC与面ADC的交线上，又?面ABC?面ADC=AC，?PAC，即EF、HG、AC三线共点.,C【例3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.AB已知:直线ABBCCA,,两两相交，交点分别为ABC,,，,求证:直线ABBCCA,,共面.证明:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α(因为A?α，B?α，所以ABα(同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面(点评:先依据公理2,由不共线的三点确定一个平面～再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题～先根据题意画出图形～然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理～进行“共面”问题的证明.【例4】在正方体中，ABCDABCD,1111(1)与是否在同一平面内,(2)点是否在同一平面内,CCAABCD,,111(3)画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.ACBCDACDBDC1111解:(1)在正方体中，ABCDABCD,1111?，?由公理2的推论可知，与可确定平面，AACCACAACC//11111?与在同一平面内.AACC11(2)?点不共线，由公理3可知，点可确定平面，BCD,,BCD,,BCD111?点在同一平面内.BCD,,1ACBDO,(3)?，，?点平面，平面，O,O,DCDCE,ACBCD1111又平面，平面，C,ACC,BCD1111?平面平面，ACBCD,OC111同理平面平面(ACDBDCOE,11点评:确定平面的依据有公理2,不在同一条直线上的三点,和一些推论,两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点,.对几条公理的作用～我们必须十分熟练.-1-第9练?2.1.1平面※基础达标1(两个平面若有三个公共点，则这两个平面(C).A(相交B(重合C(相交或重合D(以上都不对2(下列推断中，错误的是(C).A(AlABlBl,,,,,,,,,,,,AABBAB,,,,,,,,,,,,,,,B(C(lAlA,,,,,,,,,,,ABCABC,,,,,,,,,D(，且A、B、C不共线重合3(E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P(B).A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内(用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是(C).4A.三B.四C.六D.八5(下列说法中正确的是(D).A.空间不同的三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内(给出下列说法:?梯形的四个顶点共面;?三条平行直线共面;?有三个公共点的两个平面重合;6?每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.其中说法正确的序号依次是.??7(已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是.4※能力提高A1GD1ABCDABCD,DCDDAD、、、8(正方体中,E、F、G、H、K、L分别是H1111111BC1ABBBBC、、1的中点.求证:这六点共面(111F证明:连结和，因为是的中点，所以(BDKFELBD//EL、CDCB、KBDDB又矩形中，所以，KFBD//KFEL//11AD所以可确定平面，所以共面，KFEL、EFKL、、、,,EBC,同理，故共面(EHKL//EHKL、、、L,又平面与平面都经过不共线的三点，EKL、、,,故平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面(,,同理可证，所以，E、F、G、H、K、L六点共面(G,,(证明共面问题常有如下两个方法:直接法:先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上;间接法:先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合()BCQ,,9((1)在平面α外，ABP,,，，ACR,,，求证:P，Q，R三点共线.,ABC(2)已知四边形ABCD中，AB?CD，四条边AB，BC，DC，AD(或其延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证:四点E，F，G，H共线.证明:(1)根据公理2易知确定平面β，且与α有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直,ABC线l上，即三点共线.？(2)AB?CD，AB，CD确定一个平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α与β的交线上，所以四点E，F，G，H共线.※探究创新10(在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA与CD的中点，由于某种原因，在D，M，N三111点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置,此时水的上表面的形状怎样,解:使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截面的形状.连结DM并延长DM交DA的延长线于P，则点P既在截面内又在底面11ABCD内，连结PN交AB于E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，易证ME?DN111111且MEDN，因而它是一个梯形.,-2-第二章点、直线、平面之间的位置关系第10讲?2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系?学习目标:了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.?知识要点:,相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点;,共面直线,,1.空间两条直线的位置关系:平行直线:同一平面内，没有公共点;,,,异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点.,,,,,2.已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角(或直角)叫异面ab,aabb//,//ab,O,,直线所成的角(或夹角).所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的ab,ab,OO(0,90]:一条上;异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点?平移?定角?计算.ab,?例题精讲:【例1】已知异面直线a和b所成的角为50?，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30?的直线有且仅有().A.1条B.2条C.3条D.4条,,,,?a，?b，若P?a，则取a为，若P?b，则取b为(这时解:过P作abab,,，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50?和130?.ab,,,,记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30?的直线(abab,,,,过点P与a，b都成30?角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a，b所成对顶角的平分线(其,中射影是50?对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130?对顶角平分线的直线不存在(故答案选B.l【例2】如图正方体中，E、F分别为DC和BC的中点，P、Q分别为AC与BD、ACABCDABCD,1111111111E与EF的交点.(1)求证:D、B、F、E四点共面;DC11(2)若AC与面DBFE交于点R，求证:P、Q、R三点共线.1QF证明:(1)?正方体中，//，?BD//.ABCDABCD,BBDDBD11111111A1B1又?中，E、F为中点，BDC111CD1BDEF?//.?,即D、B、F、E四点共面.EFBD//11P2AB(2)?，，，PBE,平面，QAC,平面QBE,平面PAC,平面11?.平面平面ACBEPQ,1新疆王新敞奎屯RPQ,又，?，RBE,平面，?.即P、Q、R三点共线ACBER平面,RAC,平面11【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证:a、b、c、d四线共面.ab,,,,,证明:因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.,c又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.d,,c'CB,假设，则cC,,,在平面内过点C作，bcb//c,,,Aa,d,,ccC,因为b//c，则，此与矛盾.故直线.cc//c,,综上述，a、b、c、d四线共面.点评:证明一个图形属于平面图形～需要紧扣公理2及其三条推论～寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面～然后从假设出发～推出矛盾～矛盾的原因是假设不成立～这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCD—ABCD，E、F分别是AD、AA的中点.11111(1)求直线AB和CC所成的角的大小;11(2)求直线AB和EF所成的角的大小.1解:(1)如图，连结DC，?DC?AB，111?DC和CC所成的锐角?CCD就是AB和CC所成的角.11111??CCD=45?，?AB和CC所成的角是45?.111(2)如图，连结DA、AC，111?EF?AD，AB?DC，??ADC是直线AB和EF所成的角.111111?ΔADC是等边三角形，??ADC=60º，即直线AB和EF所成的角是60º.11111点评:求解异面直线所成角时～需紧扣概念～结合平移的思想～发挥空间想象力～把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角～即将异面问题转化为共面问题～运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何模型本身的性质～依照选点、平移、定角、计算的步骤～逐步寻找出解答思路.-3-第10练?2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系※基础达标1(分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(D).A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2(教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线(B).A(平行B(垂直C(相交但不垂直D(异面3(两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是(D).A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线4(把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为(B).A.12B.24C.36D.485(正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线与DD'BM'ABCDABCD,''''CN所成的角是(B).A(30?B(90?C(45?D(60?ABCDABCD,6(如图，正方体中，直线与所成角为______度..60?ABBC111111N7(右图是正方体平面展开图，在这个正方体中:?BM与ED平行;?CN与BE是异面直线;DCMº角;?DM与BN垂直.?CN与BM成60以上四个说法中，正确说法的序号依次是.??EBA※能力提高F8(已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小.解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N.连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN?AB，PM?CD，于是?MPN就是异面直线AB和CD成的角，如右图所示.32连结MN、DN，设AB=2，?PM=PN=1.而AN=DN=，则MN?AD，AM=1，得MN=，222?MN=MP+NP，??MPN=90?，即异面直线AB、CD成90?角.9(空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，BEF、GH、AC三线共点.已知EF和GH交于P点，求证:,,,,证明:?PEF，EF面ABC，?P面ABC，同理P面ADC，EF?P在面ABC与面ADC的交线上，又面ABC?面ADC=AC，,?PAC，即EF、HG、AC三线共点.CPAGHD※探究创新(090):,,:,10(设异面直线a与b所成角为50?，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ的直线l有且仅有几条?解:过点O作a?a，b?b，则相交直线a、b确定一平面α.a与b夹角为50?或130?，设直线OA与a、1111111b均为θ角，1故当θ<25?时，直线l不存在;当θ=25?时，直线l有且仅有1条;当25?<θ<65?时，直线l有且仅有2条;当θ=65?时，直线l有且仅有3条;当65?<θ<90?时，直线l有且仅有4条;当θ=90?时，直线l有且仅有1条.-4-第二章点、直线、平面之间的位置关系第11讲?2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系?学习目标:了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.?知识要点:1.直线与平面的位置关系:(1)直线在平面内(有无数个公共点);(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线与平面平行(没有公共点).分别记作:;;.lP,,l,,l//,,,,l//,,2.两平面的位置关系:平行(没有公共点);相交(有一条公共直线).分别记作;.?例题精讲:【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN?AB，PM?CD，于是?MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).连结MN、DN，设AB=2，?PM=PN=1.而AN=DN=，由MN?AD，AM=1，得MN=，32A222?MN=MP+NP，??MPN=90?.?异面直线AB、CD成90?角.EH【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分22,EGFH，别是CB、CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求.BD解:四边形EFGH是平行四边形，FG112222222EGFH，()(2)ACBDab，,,=2=.()EFFG，C22【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、GCFCG2,,分别是BC、CD上的点，且.CBCD3A求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.EH证明:(1)在?ABD和?CBD中，D1G?E、H分别是AB和CD的中点，?EH//BD.2BFCCFCG22,,又?，?FG//BD.3CBCD3?EH?FG.所以，EFGH四点共面.、、、(2)由(1)可知，EH?FG，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，,所以它们的延长线必相交于一点P.?AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，,?由公理3知PAC.所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.点评:一般地～证明三线共点～可证明两条直线的交点在第三条直线上～而第三条直线又往往是两平面的交线.【例4】如下图，设?ABC和?ABC的三对对应顶点的连线AA、BB、CC相交于一点O，且1111112SBOCOAO,ABC===.试求的值.3OBOASOC111,ABC111BOCOAO解:依题意，因为AA、BB、CC相交于一点O，且==，111OBOAOC111所以AB?AB，AC?AC，BC?BC.111111由平移角定理得?BAC=?BAC，?ABC=?ABC，?ABC??ABC，11111111124S2,ABC所以=()=.39S,ABC111点评:利用平移角定理～可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等,利用平行公理～可证明空间两条直线平行～从而解决相关问题.-5-第11练?2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系※基础达标1(直线与平面不平行，则(C).,,,A.与相交B.C.与相交或D.以上结论都不对,,,,2(正方体各面所在平面将空间分成(D)个部分.A.7B.15C.21D.273(若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数(D).A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个4(E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则点P(B).A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内(一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面(D).5A.平行B.相交C.平行或垂合D.平行或相交6(若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是.平行、在平面内7(一个平面把空间分成部分，两个平面可以把空间分成部分，三个平面可以把空间分成部分(2;3、4;4、6、7、8.※能力提高8(A是?BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC?BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.解:(1)证明:用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是?BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)取CD的中点G，连结EG、FG，则EG?BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt?EGF中，求得?FEG=45?，即异面直线EF与BD所成的角为45?.9(已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点(如右图)，求证:(1)对角线AC、BD是异面直线;(2)直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.证明:(1)假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，?AC、BD是异面直线.1(2)?E、H分别是AB、AD的中点，?EHBD.//22又F、G分别是BC、DC的三等分点，?FGBD.?EH?FG，且EH,FG.?//3FE与GH相交.设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，?O在平面ADC内.同理，O在平面ABC内.从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.※探究创新10(空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形PQRH是平行四边形;(2)若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形,(3)若AC?BD，则四边形PQRH是什么四边形,(4)空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形,解:(1)在?ABD中，P、H分别为AB、AD的中点，即PH为中位线.1,PHBD//?,,2.?四边形PQRH为平行四边形,PHQR//,1,QRBD//同理,2,11(2)在?ABC中，P、Q为AB、BC中点，PQ//AC，又PH//BD，AC=BD.22?PH=PQ.?平行四边形PQRH为菱形.-6-第二章点、直线、平面之间的位置关系(3)?AC?BD，?异面直线AC与BD所成角为直角.?PH?BD，PQ?AC,??HPQ为AC与BD所成的角.??HPQ=90?,即四边形PQRH为矩形(4)由(2)、(3)的证明可知，当AC=BD且AC?BD时，四边形PQRH为正方形.第12讲?2.2.1直线与平面平行的判定?学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行线面平行”.,?知识要点:1.定义:直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行..图形如右图所示.符号表示为:ababa,,,,,,,,////?例题精讲:【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证:AF?平面PEC证明:设PC的中点为G，连接EG、FG.1?F为PD中点，?GF?CD且GF=CD.2?AB?CD，AB=CD，E为AB中点，?GF?AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形.?EG?AF，,又?AF平面PEC，EG平面PEC，?AF?平面PEC.,【例2】在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱BC、CD的中点.求证:111111EF?平面BBDD.111证明:连接AC交BD于O，连接OE，则OE?DC，OE=DC.2?DC?DC，DC=DC，F为DC的中点，111111?OE?DF，OE=DF，四边形DFEO为平行四边形.111?EF?DO.1,又?EF平面BBDD，DO平面BBDD，,11111?EF?平面BBDD.11EFMADBD【例3】如图，已知、、G、分别是四面体的棱、、、CDBCAAM的中点，求证:?平面.EFGDM证明:如右图，连结，交于O点，连结，GFOEEFBD在中，G、分别是、中点，?，,BCDCDGFBC//BDMD?G为中点，?O为中点，DBGEADMD在,AMD中，?、O为、中点，?，EOAM//OF又?AM,平面，平面，EFGEO,EFGMAM??平面.EFGC点评:要证明直线和平面平行～只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线～重视中位线在解题中的应用.新疆王新敞奎屯【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证:MN//平面PAD;(2)若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.MNBC,,4PA,43解:(1)取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，1////DC?NH.由M是AB的中点，?NHAM，,,2即AMNH为平行四边形.?MNAH//.MNPADAHPAD,,平面平面,MNPAD//平面由，?.(2)连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，11////?OMBC，ONPA，,,22-7-所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO?NO.，ONM新疆王新敞奎屯由，,得OM=2，ON=MNBC,,423PA,430新疆王新敞奎屯所以，,ONM30，即异面直线PA与MN成30?的角点评:已知中点～牢牢抓住中位线得到线线平行～通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角～方法的关键也是平移其中一条或者两条直线～得到相交的线线角～通过解三角形而得.第12练?2.2.1直线与平面平行的判定※基础达标(已知直线、,平面α,?,?α,那么与平面α的关系是(C).1llllll121212,,A.?αB.αC.?α或αD.与α相交lllll122222(以下说法(其中a，b表示直线，,表示平面)?若a?b，b,,，则a?,?若a?,，b?,，则a?b?若a?b，b?,，则a?,?若a?,，b,,，则a?b其中正确说法的个数是(A).A.0个B.1个C.2个D.3个3(已知a，b是两条相交直线，a?,，则b与,的位置关系是(D).,A.b?,B.b与,相交C.bαD.b?,或b与,相交4(如果平面,外有两点A、B，它们到平面,的距离都是a，则直线AB和平面,的位置关系一定是(C).C.平行或相交D.AB,,A.平行B.相交5(如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面(A).A.只有一个B.恰有两个C.或没有，或只有一个D.有无数个6(已知P是正方体ABCD-ABCD棱DD上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的11111是.DC、DC、AB11117(过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是;若AC与BD成90?角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是.BD、AC;12.※能力提高8(平面,与?ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD?DB=AE?EC，求证:BCB?平面,.C证明:在?ABC中，?AD?DB=AE?EC，?.BCDE//D又?，?.BCDE,,,,,BC//,E,A9(P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点.(1)求证:EO‖平面PCD;(2)图中EO还与哪个平面平行,解:(1)证明:?在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的交点，?O为BD的中点.又?在?PBD中，E为PB的中点，?EO//PD.?EOPCDPDPCD,,平面平面,，?EO‖平面PCD.(2)图中EO还与平面PAD平行.※探究创新10(三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理.在四面体ABCD中，M、N分别是面?ACD、?BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面,试证明你的结论.解:连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可EN1EM知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN?AB，NB2MA因此，MN?平面ABC且MN?平面ABD.-8-第二章点、直线、平面之间的位置关系第13讲?2.2.2平面与平面平行的判定?学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.?知识要点:面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(用符号ababP,,,,,,,,,//表示为:,,.,ab//,//,,,?例题精讲:【例1】如右图，在正方体ABCD—ABCD中，M、N、P分别是CC、BC、CD111111111的中点，求证:平面MNP?平面ABD.1C、BC的中点，?PN?BD.证明:连结BD，?P、N分别是D11111111又BD?BD，?PN?BD.11又PN不在平面ABD上，?PN?平面ABD.11D同理，MN?平面ABD.又PN?MN=N，?平面PMN?平面ABD.111C1【例2】正方体ABCD—ABCD中((1)求证:平面ABD?平面BDC;1111111B(2)若E、F分别是AA，CC的中点，求证:平面EBD?平面FBD(11111A1//证明:(1)由BBDD，得四边形BBDD是平行四边形，?BD?BD，111111F,又BD,平面BDC，BD平面BDC，?BD?平面BDC(,11111111EG同理AD?平面BDC(而AD?BD,D，?平面ABD?平面BCD(111111CD(2)由BD?BD，得BD?平面EBD(取BB中点G，?AE?BG(111111从而得BE?AG，同理GF?AD(?AG?DF(?BE?DF(11AB?DF?平面EBD(?平面EBD?平面FBD(1111【例3】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点PM、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求证:平面MNQ?平面PBC.Q证明:PM:MA=BN:ND=PQ:QD.M?MQ//AD，NQ//BP，C,而BP平面PBC，NQ平面PBC,?NQ//平面PBC.,D又ABCD为平行四边形，BC//AD，?MQ//BC，N,而BC平面PBC，MQ平面PBC,?MQ//平面PBC.,BA由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，?平面MNQ?平面PBC.点评:由比例线段得到线线平行～依据线面平行的判定定理得到线面平行～证得两条相交直线平行于一个平面后～转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.ABCDABCD,【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为AB、AA,31111111AD的中点，E、F分别是BC、CD的中点.111111(1)求证:平面AMN?平面EFDB;(2)求平面AMN与平面EFDB的距离.证:(1)连接,分别交MN、EF于P、Q.连接AC交BD于O，连接AP、OQ.AC11由已知可得，?MNEFDB//平面.MNEF//PQAO//PQAO,由已知可得，且.APOQ//?,?APEFDB//平面.?平面AMN?平面EFDB.AHAP111解:(2)过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H’，易得.A,,1HHPQ'222382222APAAAP,，,，,3()由,根据VV,,则11AAMNAAMN,,114238，23196191111，2，解得.所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.AH,，，,，，AH31119193232点评:第,1,问证面面平行～转化途径为“线线平行?线面平行?面面平行”.第,2,问求面面距离～巧妙将中间两个平面的距离～转化为平面另一侧某点到平面距离的比例～然后利用等体积法求距离.等价转化-9-的思想在本题中十分突出～我们可以用同样的转化思维～将此例中的两个平面的距离～转化为求点B到平面AB’C的距离.第13练?2.2.2平面与平面平行的判定※基础达标1(下列说法正确的是(D).A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行2(在下列条件中，可判断平面α与β平行的是(D).A.α、β都平行于直线lB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l、m是α内两条直线，且l?β，m?βD.l、m是两条异面直线，且l?α，m?α，l?β，m?β3(下列说法正确的是(D).A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.平行于同一个平面的两个平面平行4(经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作(C).A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个5(不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且Aα，则(B).,A.α?平面ABCB.?ABC中至少有一边平行于αC.?ABC中至多有两边平行于αD.?ABC中只可能有一条边与α平行6(已知直线a、b，平面α、β,且a//b，a//α，α//β，则直线b与平面β的位置关系为直线b//平面β或直线b在平面β内;.7(已知a、b、c是三条不重合直线，,、,、,是三个不重合的平面，下列说法中:?a?c，b?ca?b;?a?,，b?,a?b;?c?,，c?,,?,;,,,?,?,，,?,,?,;?a?c，,?ca?,;?a?,，,?,a?,.,,,其中正确的说法依次是.(1)、(4).※能力提高8(在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，E，F，G，M，N，Q分别是棱AA，AB，AD，CB，CC，1111111111CD的中点，求证:平面EFG?平面MNQ.证明:由已知EF?AB，AB?DC，DC?QN，EF?QN，同理FG?MQ，,1111所以，平面EFG?平面MNQ.9(两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M?AC，N?FB，且AM=FN，过M作MH?AB于H，求证:(1)平面MNH//平面BCE;(2)MN?平面BCE.证明:(1)?正方形ABCD中，MH?AB，?则MH?BC，?.FNAH,连结NH，由BF=AC，FN=AM，得，?NH//AF//BE.BFAB由MH//BC，NH//BE，?平面MNH//平面BCE.(2)?平面MNH，平面MNH//平面BCE，?MN?平面BCE.MN,※探究创新'''ABC、、10(P是所在平面外一点，分别是的重心，,ABC,,,PBCPCAPAB、、'''ABCABC//平面(1)求证:平面;(2)求SS:.''',ABC,ABC证明:分别连PA’，PB’，PC’并延长分别交BC，AC，AB于D，E，F.PAPC'2',,则D，E，F分别是BC，CA，AB的中点.?，?A’C’//FD.PDPF3'''ABCABC//平面同理,?平面.ABDE''//ABPA'''21,,(2)?，?,又DE=AB.ABDE''//2DEPD3AB''1,?，易证?.?=1:9.SS:,ABC,ABC'''''',ABC,ABCAB3-10-第二章点、直线、平面之间的位置关系第14讲?2.2.3直线与平面平行的性质?学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.?知识要点:线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平a//,,aβ,面相交，那么这条直线和交线平行.即:.aab,,//,,b,,b,,,,?例题精讲:新疆王新敞奎屯【例1】经过正方体ABCD-ABCD的棱BB作一平面交平面AADD于EE，求证:EE?BB1111111111AABBAABEEBBBBEEB//,,,,平面平面证明:?，11111111DC11?.AABEEB//平面E1111AAAADDAADDABEEBEE,,平面，平面平面又，1B111111111?.AAEE//11DCAABB//,11E,BBEE//则.,11AAEE//AB11,【例2】如图，，，，，求证:.AB//,ACBD//C,,D,,ACBD,证明:连结，CD?，ACBD//AB,?直线和BD可以确定一个平面，记为，ACβCD,,,,,,CD?CD,,,，，?，DC,,,,CDAB,,?，，AB//,?，ABCD//又?，ACBD//?四边形为平行四边形，?.ACDBACBD,【例3】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证:BD//平面EFGH.证明:?,平面，平面，EHFG//EH,BCDFG,BCD?EHBCD//平面.平面平面BCDABDBD,又?EHABD,平面，,?.EHBD//又?EHEFGH,平面,BDEFGH,平面,?BDEFGH//平面.点评:转化思维链是“由已知线线平行?线面平行?线线平行?线面平行”.此题属于教材,必修?人教A版,中第64页的3题的演变,同样还可证平面.AC//EFGH【例4】已知直线?平面α，直线?平面β，平面α平面β=，求证(ba//baa证明:经过作两个平面和，与平面α和β分别相交于直线和，,,dacd??平面α，?平面β，aa??，?，daca,b_??，dc,,,又?平面β，平面β，d,ca_,??平面β，c,又平面α，平面α?平面β=，bcc??b，c??，??(baca点评:利用公理4～寻求一条直线分别与a～b均平行～从而达到a?b的目的～这里借用已知条件中的a?α及a?β来实现(证线线平行～可由公理4进行平行传递～也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的-11-性质得到线线平行.这里采用作辅助平面～利用线面平行的性质得到线线平行.第14练?2.2.3直线与平面平行的性质※基础达标1(已知直线l//平面α，m为平面α内任一直线，则直线l与直线m的位置关系是(D).A.平行B.异面C.相交D.平行或异面,2(梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是,(B).A.平行B.平行和异面C.平行和相交D.异面和相交3(一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(C).A.异面B.相交C.平行D.不能确定4(若直线、b均平行于平面α，则与b的关系是(D).aaA.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面5(已知l是过正方体ABCD—ABCD的顶点的平面ABD与下底面ABCD所在平面111111的交线，下列结论错误的是(D).A.DB?lB.BD//平面ADBC.l?平面ADBD.l?BC111111111ABCD6(已知正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的ACAADD11111112PQ//PQ对角线上一点，且平面，则线段的长为.BDAABB111127(设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法:?a?α，b?α，则a?b;?a?α,a?β,则α?β;,?α?γ，β?γ，则α?β;?a?b,bα,则a?α.其中说法正确的序号依次是.?A※能力提高E8(如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形.(1)求证:CD?平面EFGH;(2)如果AB?CD，AB=a，CD=b是定值，求截面EFGH的面积.FHBD解:(1)证明:?EFGH是平行四边形，?EF//GH，,又?EF平面BDC，GH平面BDC，?EH//平面BDC.,G,?EF平面ADC，平面ADC?平面BDC=DC，?EF//DC，?CD?平面EFGH.C1BA(2)截面EFGH的面积为.Sab,49(如右图，直线AB和是异面直线，，，，，ACM,,BDN,,CDAB//,CD//,M,AMBNN,求证:.MCNDNCQMQQN证明:如图，连结交平面于点，连结、.AD,DBAAB//,,AQBN,,,,,平面ABABDABQN//，,NQMQDND,,平面平面ABDQN,,,CD//,,NCAQAM,CDACDCDMQ,,,,平面//，D,QDMC,平面平面ACDMQ,,,NAMBN,?.MCND※探究创新110(如下图，在正四棱柱ABCD—ABCD中，AA=AB，点E、M分别为AB、1111112CC的中点，过点A、B、M三点的平面ABMN交CD于点N.11111(1)求证:EM?平面ABCD;(2)设截面ABMN把该正四棱柱截成两个11111几何体的体积分别为V、V(V,V，求V?V的值.)121212解:(1)证明:设AB的中点为F，连结EF、FC.111-12-第二章点、直线、平面之间的位置关系11?E为AB的中点，?EFBB.又CMBB，?EFMC.//////1111122?四边形EMCF为平行四边形.1?EM?FC.?EM平面ABCD，FC平面ABCD，,,1111111111?EM?平面ABCD.1111(2)延长AN与BC交于P，则P?平面ABMN，且P?平面BBCC.111111又?平面ABMN?平面BBCC=BM，?P?BM，即直线AN、BC、111111BM交于一点P.又?平面MNC?平面BAB，?几何体MNC—BAB为棱台.111111111122?S=?2a?a=a，S=?a?a=a，2224棱台MNC—BAB的高为BC=2a，11111V1771771122333221V=?2a?(a++a)=a，?V=2a?2a?a,a=a.?=.aa,126173664V42第15讲?2.2.4平面与平面平行的性质?学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.?知识要点:1.面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线,,,,,,//,,//,,,abab平行.用符号语言表示为:.,,,,//,//ll,,,,,,//,ll,,,2.其它性质:?;?;?夹在平行平面间的平行线段相等.A?例题精讲:C【例1】如图，设平面α?平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、,CD的中点，且A、C?α，B、D?β.求证:MN?α.M证明:连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，NE则ME?AC，?ME?平面α，D又NE?BD，?NE?β，,B又ME?NE=E，?平面MEN?平面α，,?MN平面MEN，?MN?α.【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面,，,外，它们在,内的射影A，B，C，D是平行四边形的四1111个顶点，在,内的射影A，B，C，D在一条直线上，求证:ABCD是平行四边形(2222证明:?A，B，C，D四点在,内的射影A，B，C，D在一条直线上，2222?A，B，C，D四点共面(又A，B，C，D四点在,内的射影A，B，C，D是平行四边形的四个顶点，1111?平面ABBA?平面CDDC(1111?AB，CD是平面ABCD与平面ABBA，平面CDDC的交线(1111?AB?CD(同理AD?BC(?四边形ABCD是平行四边形(【例3】如图，在正三棱柱ABC—ABC中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证:BECFAG,,111平面EFG?平面ABC.EPBB,证明:作于P，连接PF.在正三棱柱ABC—ABC的侧面中，ABBA111111BEBPABBB,EPBB,EPABAB////易知，又，所以.?，平面ABC.EP//,111111BABB11CFBPBACB,又?，，?，?，则平面ABC.BECF,PFBC//PF//,11CBBB11?EPPFP,，?平面PEF//平面ABC.EF,?平面PEF，?EF//平面ABC.同理，GF//平面ABC.EFGFF,?，?平面EFG//平面ABC.点评:将空间问题转化为平面问题～是解决立体几何问题的重要策略～关键在于选择或添加适当的平面或线～并抓住一些平面图形的几何性质～如比例线段等.此题通过巧作垂线～得到所作平面与底面平行～由性质-13-,,,,//,//ll,,易得线面平行～进而转化出待证的面面平行～突出了平行问题中转化思想.ABCDABCD,BECF,】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点EF，且.【例4、ABBC11111111求证:EF?平面ABCD.证明:过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN.?BB?平面ABCD，?BB?AB，BB?BC，?EM?BB，FN?BB，?EM?FN，11111CD11?AB=BC，BE=CF，?AE=BF，又?BAB=?CBC=45?，111111B?Rt?AME?Rt?BNF，?EM=FN.1A1F?四边形MNFE是平行四边形，?EF?MN.EG,又MN平面ABCD，?EF?平面ABCD.EDC证法二:过E作EG?AB交BB于G，连接GF，1NBEBGCFBG1111BECF,BACB,?，，，?，?FG?BC?BC.,,11B1111MABABBCBBB1111又?EG=G，ABBC=B，?平面EFG?平面ABCD.FG,b又EF平面EFG，?EF?平面ABCD.点评:在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后～空间平行问题的证明～紧紧抓住“线线平行线,面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明.,第15练?2.2.4平面与平面平行的性质※基础达标1(下列说法正确的是(C).A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行,aB,,,,,,,2(已知?，则在内过点B的所有直线中(D).,A(不一定存在与平行的直线B(只有两条与平行的直线aaC(存在无数条与平行的直线D(存在唯一一条与平行的直线aa3(下列说法正确的是(D).A.直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B.经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行4(在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(B).ABCDABCD,''''A.BDCBDC'''与B.ABCACD'''与C.BDDBDA'''与D.ADCADC'''与,,,,,,,PPAC,P5(已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与,//mn,,,BD,分别交于点，且，，，则BD的长为(B).PA,6AC,9PD,82414A.B.24或C.D.162056(已知平面α?β，，有下列说法:?a与β内的所有直线平行;?a与β内无数条直线平行;a,,?a与β内的任意一条直线都不垂直.其中正确的序号依次是.?7(设平面α?β，A、C?α，B、D?β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC=_.6868或3※能力提高8(如图，设平面α?平面β，AB、CD是两异面直线，且A、C?α，B、D?β，A,,//AC?BD，AC=6，BD=8.M是AB的中点，过点M作一个平面γ，交CD与N，且，C,求线段MN的长.解:连接BC，与平面γ交于点E，分别连接ME、NE.MNE易知平面MEN//平面α，平面MEN//平面β.由于平面ABC、平面BDC分别与三个平行平面相交，D所以，ME//AC，EN//BD.,B?M是AB的中点，?E、N分别是BC、CD的中点.11MEAC,,3ENBD,,4?，，22-14-第二章点、直线、平面之间的位置关系22又?AC?BD，?ME?EN，所以.MN,，,345,,,,,,,//,,//,,//9(已知平面，且，，求证:(a证明:在平面内取两条相交直线，ab,,,b,,分别过作平面，使它们分别与平面交于两相交直线，,,,,ab,ab,,,,,//?，?，aabb//,//,a,,,,又?,,//，同理在平面内存在两相交直线，使得ab,,,b,,,,,,,，aabb//,//,,a,,,,,,//?，?(aabb//,//,,,b※探究创新10(如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—ABCD容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地1111面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法:?水的部分始终呈棱柱状;?水面四边形EFGH的面积不改变;?棱AD始终与水面EFGH平行;11?当容器倾斜如图乙时，EF?BF是定值.其中正确说法的序号是_____________.解:对于命题?，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD?EH?FG?BC，且平面AEFB?平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱或三棱柱、五棱柱)，且BC为棱柱的一条侧棱，命题?正确.对于命题?，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等;当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故?不正确.?是正确的(请给出证明).?是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是???.第16讲?2.3.1直线与平面垂直的判定?学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.掌握线面角的定义及求解.?知识要点:1.定义:如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.,平llll,,,,P面的垂线，,直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.(线线垂直线面垂直)l,,,2.判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为:若?，?，?,B，,，,，则?lllmnmnm,n,,3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作(作出线面角)?证(证所作为所求)?求(解直角三角形)”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.?例题精讲:2，,BDC90ACBDEF,,,ADBC,【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证:ABCDEFAC,2BD,平面.ACD11////ACFGBDEGFG,EF,ADBC,证明:取GCD的中点，连结，?分别为的中点，?EG，.,,22112222FGAC,EGFGACEF，,,ACBD,,又?，?在中，，,EFG22，,BDC90ACCDC,?，?，又，即，，EGFG,BDAC,BDCD,BD,?平面.ACD【例2】已知棱长为1的正方体ABCD,ABCD中，E是AB的中点，求直线AE与平面ABCD所成11111111的角的正弦值.解:取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.ABCD11由已知正方体，易知平面，所以为所求.EO,，EAOABCD111511222在RtEOA,中，，，AE,，,()1EOEFAD,,,122222-15-EO10.sin，,,EAOAE510所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.ABCD115【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，PABC,PO,PABCPBAC,,，求证:O为底面?ABC的垂心.证明:连接OA、OB、OC，?平面ABC，?.PO,POBCPOAC,,,又?，PABCPBAC,,，BCPAOACPBO,,平面，平面?，得,AOBCBOAC,,，?O为底面?ABC的垂心.点评:此例可以变式为“已知～求证”～其思路PCAB,PABCPBAC,,，是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明.三条侧棱两两垂直时～也可按同样的思路证出.OCAB,【例4】已知，斜边BC//平面，AB，AC分别与A,,,Rt,ABC,C平面成30?和45?的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.,,BB,,CC,,解:作于，于，则由，得BC//,BC1111BCBBCC,，且就是BC到平面的距离，CC,1111B1AABAC,设，连结，则，，,，,BABCAC30,45CCx,11111,?，ACxABx,,2,222BCBAC,，,6,903624,，xx在中，，?，?，即BC到平面的距离为(RtABC,,x,66点评:由直线与平面的平行～直接作平面的垂线段即为线面距离.此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出～利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.第16练?2.3.1直线与平面垂直的判定※基础达标1(若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(C).A(平面OABB(平面OACC(平面OBCD(平面ABC2(若直线平面，直线，则(A).l,,m,,GS3A(B(l可能和m平行C(l和m相交D(l和m不相交lm,3(在正方形SGGG中，E、F分别是GG、GG的中点，现沿SE、SF、1231223EF把这个正方形折成一个四面体，使G、G、G重合为点G，则有(A).123FA.SG?面EFGB.EG?面SEFC.GF?面SEFD.SG?面SEF,4(直线a?直线b，b?平面，则a与β的关系是(D).GEG12a,,,,,,A(a?B.a?β(C(D(a或a?5((04年湖南卷.理4文5)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(C).A.90?B.60?C.45?D.30?6(在直四棱柱ABCD-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有1111AC?BD(注:填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形).AC?BD111PH7(设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下说法:PABC,ABCHH?若，，则是垂心;?若PAPBPC,,两两互相垂直，则是垂心;PABC,PBAC,,ABC,ABC，,ABC90HH?若，是的中点，则;?若，则是的外心.ACPAPBPC,,PAPBPC,,,ABC其中正确说法的序号依次是.????※能力提高DC11ABCDABCD,8(如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交CC11111B1AFBED,平面点，求证:(1A1EAAABCD,平面AABD,证明:?，?.11BDAAF,平面AFBD,又?，?,得.ACBD,11DFGBG,ABFG//取BC中点G，连结，?.C111GABBCCB,平面ABBE,?，?.F111111BABCCBCCBC,BEBG,又?正方形中，E,G分别为的中点，?，1111-16-第二章点、直线、平面之间的位置关系?BEABGF,平面,得AFBE,.又?，?AFBED,平面EBBDB,1111ABa,29(如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线EFPA,PAADa,,,PDABCDABCDPEBF1,,段上的点，且(求直线与平面所成角的正弦值.ABEFABCDEDFA2解:平面，过作于，则平面，连，EPA,EMAD,MEM,FMABCDABCD则为直线与平面所成的角.，EFMEFABCD22,,2aaa22,,22EMFMAMAF,,，,.,，,a,,,,,,333,,,,EM2213tan，,,EFM在中，(?(RtFEM,sin，,EFMFM313※探究创新10(如图，已知平行六面体ABCD—ABCD的底面是菱形且?CCB=?CCD=?BCD=60?,111111CD(1)证明:CC?BD;(2)当的值为多少时，可使AC?面CBD,111CC1解:(1)证明:连结AC、AC，AC和BD交于点O，连结CO，111?四边形ABCD是菱形，?AC?BD，BC=CD又??BCC=?DCC，CC是公共边，??CBC??CDC，?CB=CD1111111?DO=OB，?CO?BD，但AC?BD，AC?CO=O11,?BD?平面AC，又CC平面AC，?CC?BD.1111CD,(2)由(1)知BD?平面AC，?AO平面AC，?BD?AC，当=1时，平行六面体的六个面是全1111CC1等的菱形，同理可证BC?AC，又?BD?BC=B，?AC?平面CBD.11111第17讲?2.3.2平面与平面垂直的判定?学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.?知识要点:1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的,,,,ABPABQ,,棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.(简记),,,,,,,l2.二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面内分别作垂l直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.范围:.lOAOBOAOB，AOB0180:,,:,,,,3.定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.4.判定:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(线面垂直面面垂直),?例题精讲:【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.(1)求证:AP?EF;(2)求证:平面APE?平面APF.证明:(1)如右图，??APE=?APF=90?，PE?PF=P，,?PA?平面PEF.?EF平面PEF，?PA?EF.(2)??APE=?EPF=90?，AP?PF=P，?PE?平面APF.,又PE平面PAE，?平面APE?平面APF.【例2】如图,在空间四边形ABCD中，ABBCCDDA,,,,AEFG,,CDDAAC,,BEF,分别是的中点，求证:平面平面.BGDABBCG,,证明:为AC中点，所以.ACBG,FACDG,,同理可证?面BGD.AC,GEF,又易知EF//AC，则面BGD.DEF,BEF,又因为面BEF，所以平面平面BGD.BEC-17-ABCDABCD,平面平面ABDBED,【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证:(CC111111证明:连接AC，交BD于F，连接，EF，，.AFAEAC1111ABCDABCD,ADAB,由正方体，易得，，F是BD的中点，EDEB,111111AFBDEFBD,,,ABDE,,所以，得到是二面角的平面角.，AFE111ABCDABCD,设正方体的棱长为2，则11112222222222，，AFAAAF,，,，,2(2)6EFCECF,，,，,1(2)31122222.AEACCE,，,，,(22)19111222AFEF,平面平面ABDBED,?，即，所以.AFEFAE，,1111点评:要证两平面垂直～证其二面角的平面角为直角～这也是证两平面垂直的常用方法.此题由几何图形的特征～作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键.】正三棱柱ABC—ABC中，AA=2AB，D、E分别是侧棱BB、CC上的点，且EC=BC=2BD，过【例4111111A、D、E作一截面，求:(1)截面与底面所成的角;(2)截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解:(1)延长ED交CB延长线于F，A1C11DBECBDECFBBCABABF//,,.120,？,,，,:又，B12?，.，,，,:BAFBFA30，,:FAC90E,?，?为截面与底面所成二面角的平面角.AAAFACAF,,,AFAEEAC,，,D在Rt?AEC中，EC=AC，故得?EAC=45?.CA1133,(2)设AB=a，则，AAaBDaECaVhSa,,,？,,,2,,,ABCEDBCED,B238V3333,,,233ADEABC,,.?,3.VSAAaaaVa,,,,,,2,,,,,,,,ABCABCABCADEABC,,,S428ABCDE,点评:截面问题的研究～需注意结合截面的性质.如何作出截面～是解决问题的关键～然后把截面的看成一个平面图形.求二面角时～抓住二面角的平面角定义,两线垂棱,～找出其平面角～解直角三角形.第17练?2.3.2平面与平面垂直的判定※基础达标,,,,1(对于直线、和平面、，的一个条件是(C).mn,n//,mnmn,,,,,,,,A(，，B.mn,m//,mnnm//,,//,,,n,,C(D.，，mn//m,,2(过正方形ABCD的顶点A作线段AP?平面ABCD，且AP=AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是(B).A(30?B(45?C(60?D(90?3(在三棱锥A—BCD中，如果AD?BC，BD?AD，?BCD是锐角三角形，那么(C).A.平面ABD?平面ADCB.平面ABD?平面ABCC.平面BCD?平面ADCD.平面ABC?平面BCD,,,,,,,AB4(在直二面角棱AB上取一点P，过P分别在平面内作与棱成45?角的斜线PC、PD，则?CPD的大小是(D).A(45?B(60?C(120?D(60?或120?5(下面四个说法:?如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直;?过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直;?垂直同一平面的两条直线互相平行;?经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是(C).A.1B.2C.3D.46(E是正方形ABCD的AB边中点，将?ADE与?BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为.60?7(空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是.垂直※能力提高8(如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、.将沿折起到的位置，使点在平面上的射BCBCA,ABC,ABCBBCC111111111111-18-第二章点、直线、平面之间的位置关系ABCM,,影恰是线段BC的中点M.试求二面角的大小.111解:连接AG、GM、AG.?G是正ΔABC的中心，M是BC的中点，1?A、G、M三点共线，且AG:GM=2:1，AM?BC.BCBC//AMBC,AGBC,GMBC,?,?,即,,111111111，AGM?为二面角ABCM,,的的平面角.1111BBCCBBCCAAM,AM,?M是点在平面上的射影，即平面，?.GM1111111GM1RtAMG,中，由，得，,:AGM60.即二面角ABCM,,的大小是60?.在cos，,,AGM111111AG21ABCDABCD,9(如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点.EF,ABMBCBBa11111求证:(1)平面;(2)平面平面.EF,BBD