湖南省株洲市洣江中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省株洲市洣江中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]参考答案：A【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∴A为锐角，可得A=，∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．故选：A．2.设（i是虚数单位），则复数的虚部是A.i

B.1

C.－i

D.－1参考答案：D3.dx=（）A．﹣ln2 B．ln2 C．﹣2ln2 D．2ln2参考答案：C【考点】定积分．【分析】由dx=﹣dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：dx=﹣dx=﹣2lnx|=﹣2ln2，故选：C．4.函数的零点个数为

(

)A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C当时，令解得；当时，根据图象知的解为，所以已知函数有两个零点，选C。5.函数在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（

）

A．

B．（1，2）

C．

D．参考答案：C略6.已知向量的夹角为（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：C7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设，，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为，则（

）

A、随着角度的增大，增大，为定值 B、随着角度的增大，减小，为定值

C、随着角度的增大，增大，也增大D、随着角度的增大，减小，也减小参考答案：B略8.复数的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.9.如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α参考答案：B试题分析：设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此α<γ<β，因此选B.【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．4.若变量满足约束条件，A．

B．

C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的展开式中常数项为______．参考答案：672【分析】先由微积分基本定理求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为；所以的展开式的通项公式为：，令，则，所以常数项为.故答案为【点睛】本题主要考查微积分基本定理和二项式定理，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.若是偶函数，且定义域为，则a=

b=

。参考答案：-1，013.若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有

种（用数字作答）．参考答案：试题分析：由题意知，甲乙两人从门课程中各选修门总的方法数是,其中甲乙所选课程全不相同，有；甲乙所选课程有一门相同，有甲乙所选课程有三门相同，有所以，甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有：考点：1.分类计数原理；2.简单组合问题.14.程序框图如下：如果下述程序运行的结果为S=1320，那么判断框中横线上应填入的数字是

．参考答案：9略15.已知的展开式中没有常数项,且，则

.参考答案：5略16.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P到点与到点的距离之比为，已知点，则的取值范围为

．参考答案：17.已知A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B＝________．参考答案：{2,4}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在三棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：平面；（2）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1）在中，因为，，，所以由余弦定理，可知，所以.故，即有.又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.又因为，，所以平面.（2）过点作，垂足为，连接.由（1），知平面，平面，所以.又，所以平面，因此即为直线与平面所成的角.又由（1）的证明，可知平面，又平面，平面，所以，，故即为二面角的平面角，即.故在中，由，得.在中，，且.因此在中，得，故直线与平面所成角的正弦值为.19.（本小题满分14分）已知等差数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.参考答案：（I）设首项为,公差为d,则解得（II）∵=当n为偶数时,=当n为奇数时,===20.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，若PA＝2，∠APB＝30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．参考答案：21.

如图4，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点。若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的。记OB绕O旋转所成角∠BOC为。 （1）当平面COD⊥平面AOB时，证明：OC⊥OB： （2）若∈[]，求三棱锥C－AOB的体积V的取值范围。参考答案：略22.（本小题满分12分）从广州某高校男生中随机抽取名学生，测得他们的身高(单位:cm)情况如表1:分组频数频率合计

表1

（1）求的值；（2）按表1的身高组别进行分层抽样,从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松志愿者,再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作,求这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率．参考答案：（1），，；（2）．试题分析：（1）先利用频率之和为1求出的值，再利用求出的值，进而利用频数之和为100求出的值；（2）利用列举法写出从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作的所有基本事件，并从中找出这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的基本事件，利用古典概型公式求出概率．试题解析：（1）解：由，得.…………1分由，得，

…………2分由，得.

…………3分（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的名志愿者中身高在区间上的有名，记为；

…………5分而身高在区间上的有名，记为.……7分记“这名担任迎宾工作的志愿者中至少