上海市育诚高级中学高三数学理月考试题含解析

上海市育诚高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=sin+acos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是(

)

A.0

B.3

C.6

D.9参考答案：D略2.分段函数则满足的值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.已知函数f(x)＝则f(0)＋f(1)＝

（

）(A)9

(B)

(C)3

(D)参考答案：C4.已知，若是的最小值，则的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由于当时，在时得最小值；由题意当时，若，此时最小值为，故，解得，由于，因此；若，则条件不成立，故的取值范围为，故答案为D．考点：1、分段函数的应用；2、函数的最值．5.直线分别与曲线，相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A.1 B.2 C. D.参考答案：B【分析】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．【详解】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），∴|AB|＝，令y，则y′1，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数y的最小值为，∴|AB|＝，其最小值为2.故选：B．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．6.已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=ax+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=ax﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：ax﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：ax﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．7.若函数上有零点，则m的取值范围为（

）

A．

B．[-1，2]

C．

D．[1，3]参考答案：A略8.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（）A．3 B．12 C．24 D．36参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a1，即可求出a4．【解答】解：依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比q=2的等比数列，且前7项和S7=381，由，解得a1=3，故．故选：C．9.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：c）为（

）（A）48+12

（B）48+24

（C）36+12

（D）36+24参考答案：A10.已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，{bn}是1为首项、2为公比的等比数列．设，Tn=c1+c2+…+cn（n∈N*），则当Tn＞2013时，n的最小值是（）A．7B．9C．10D．11参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质：若{an}为等比数列，则Sn，Sn+1，Sn+2，…也成等比数列．【解答】解：因为{an}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等比数列，则S3（S9﹣S6）=（S6﹣S3）2，即8×（S9﹣S6）=（﹣1）2，解得S9﹣S6=，即a7+a8+a9=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的前n项和，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，熟练利用等比数列的性质解题可以简化计算过程，给解题带来方便．12.已知，，则=___________________.参考答案：-7略13.函数若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是

．参考答案：14.若函数y=tanθ+（0＜θ＜），则函数y的最小值为

．参考答案：2【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角公式化简函数，结合三角形函数的图象及性质即可求函数的最小值．【解答】解：由题意：函数y=tanθ+（0＜θ＜），化简：y=+==；∵0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，所以：0≤sin2θ≤1．当sin2θ=1时，函数y取得最小值，即．故答案为：2．15.已知，，则的最小值

．参考答案：16.已知函数，则____________参考答案：317.若对任意，（）有唯一确定的与之对应，则称为关于的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数为关于实数的广义“距离”:

（1）非负性：,当且仅当时取等号;（2）对称性：;

（3）三角形不等式：对任意的实数均成立．给出三个二元函数:①;②;③．请选出所有能够成为关于的广义“距离”的序号_______________．参考答案：【知识点】新定义概念；不等式；函数.B1，E2【答案解析】②解析：解解：对于①，不妨令x-y=2，则有此时有（x-y）2=4，而故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足,对于②，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数

对于③，由于x-y＞0时，无意义，故③不满足

故答案为：②【思路点拨】通过令特殊值的形式说明关系式是否成立，根据不等式的关系进行证明.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图（1），在边长为2的等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图（2）所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（Ⅰ）证明：CF⊥平面ABF；（Ⅱ）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．参考答案：略19.（本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离相等．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线相切于点，与直线相交于点．证明：以为直径的圆恒过轴上某定点．

参考答案：（Ⅰ）解：设动点E的坐标为，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C的方程为．

……………5分（Ⅱ）证明：由，消去得：．因为直线l与抛物线相切，所以，即．

……8分所以直线l的方程为．令，得．所以Q．

……………10分设切点坐标，则，解得：，

……………11分设，所以当，即所以所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点．

……………13分

20.（本小题满分10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5。求：（I）⊙O的半径；（II）sin∠BAP的值。参考答案：（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以,又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15

………2分.因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5.

………4分（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB,

………………5分又由∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA,∴

………7分设AB=k，AC=2k,∵BC为⊙O的直径，∴AB⊥AC∴