福建省莆田市竹庄初级中学高三数学理下学期摸底试题含解析

福建省莆田市竹庄初级中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．

B．

C．

D．

参考答案：C做出约束条件对应的可行域如图，，由得。做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.3.已知点分别为双曲线的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为

(

)(A)

（B）

（C）

（D）参考答案：D4.设，则A.

B.

C.

D.参考答案：D5.直线的倾斜角α=（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选A6.已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2011）+fA．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由题设知函数在[0，+∞）内一个周期T=2，函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2011）+f+f+f（0），再由当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），能求出f（﹣2011）+f=f（x），∴函数在[0，+∞）内的一个周期T=2，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2011）+f+f+f+f（0）又当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1f（0）log2（0+1）=0因此f（﹣2011）+f+f（0）=﹣1+0=﹣1．故选A．8.已知全集为,集合,,则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.设成等差数列，成等比数列，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知各项均不为零的数列,定义向量，，.下列命\o"欢迎登陆全品高考网!"题中真命\o"欢迎登陆全品高考网!"题是（

）A.若总有成立，则数列是等比数列B.若总有成立，则数列是等比数列C.若总有成立，则数列是等差数列D.若总有成立，则数列是等差数列

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为________参考答案：12.已知数列{an}满足an+1=qan+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=．参考答案：﹣2或﹣或79【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为an+1+2=q（an+2），从而得到an+2与an+1+2的关系，分an=﹣2和an≠﹣2讨论，当an≠﹣2时构造公比为q的等比数列{an+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵an+1=qan+2q﹣2（q为常数，），∴an+1+2=q（an+2），n=1，2，…，下面对an是否为2进行讨论：①当an=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当an≠﹣2时，{an+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为an≠﹣2，所以an+2≠0，从而a3+2=1，a4+2=﹣3，a5+2=9，q=﹣3或a3+2=9，a4+2=﹣3，a5+2=1，q=﹣代入an+1=qan+2q﹣2，可得到a1=﹣，或a1=79；综上所述，a1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．13.是定义在上的偶函数，当时，，那么当时， .参考答案：略14.已知数列的前项和为，，，则 .参考答案：15.数列{an}，{bn}的前n项的和分别为An、Bn，数列{cn}满足：cn=anBn+bnAn﹣anbn．若A2009=41，B2009=49，则数列{cn}的前2009项的和C2009=

．参考答案：2009【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．∴数列{cn}的前2009项的和C2009=（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1=A2009B2009=41×49=2009．故答案为：2009．【点评】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．16.函数的定义域为__________________。参考答案：17.若x>0，y>0且，则x+y最小值是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．参考答案：考点：二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解答： 解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB?（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19.如图，在中，，为中点，．记锐角．且满足．（1）求的值；

（2）求边上高的值．参考答案：（1）因为，角为锐角，所以………

2分==

……

4分

（2）解1：过点A作BC的垂线，垂足为O。设高AO=h，则CO=h，所以，

……

3分又

……

6分所以，得h=4.

……

8分解2：因为，角为锐角，所以

因此…………

2分

又在中，

…

4分

……

6分所以BC边上的高

答：BC边上的高的值为4.…

8分略20.（18分）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。参考答案：解析：（1）

，，

于是，所求“果圆”方程为

，

（2）由题意，得

，即．

，，得．

又．

．

（3）设“果圆”的方程为，．

记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是．

的中点满足

得．

，

．

综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．

由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．

当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．21.已知椭圆C：的焦距为，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线相交于P，Q两点，且，.（1）求椭圆C的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率，，成等比数列，记以线段OM，线段为ON直径的圆的面积分别为，，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由.参考答案：（Ⅰ）椭圆的方程为，圆的方程为；（Ⅱ）为定值，定值为.解：（Ⅰ）如图，设为的中点，连接，则，因为，即，所以，又，所以，所以，所以．

………………2分由已知得,所以椭圆的方程为，

……4分所以，所以，所以，所以圆的方程为．

………………6分（Ⅱ）设直线的方程为，由，得，所以，由题设知，

………………8分

………………10分则故为定值，该定值为．…………1222.(本小题满分12分)某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。(1)求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；(2)设X，Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).参考答案：【知识点】古典概型的概率；离