吉林省长春市日章中学高三数学文模拟试题含解析

吉林省长春市日章中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：试题分析：由三视图知，该棱锥如图所示，平面，是边长为1的正方形，，，，，所以该棱锥的表面积为故答案选考点：三视图；空间几何体的表面积.2.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略3.设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且则logb5a5＝(

)参考答案：D4.在复平面内，复数所对应的点位于第（

）象限

A．一

B．二

C．三

D．四参考答案：D，对应的坐标为，在第四象限，选D.5.等差数列的首项，公差，若（

）

A．21

B．22

C．23

D．24

参考答案：B略6.某组合体的三视图如图1所示，则此组合体的表面积是（A）（B）（C）（D）参考答案：A7.若，则下列不等式恒成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.设变量满足约束条件则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C9.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数z可取（

）A.2 B.-1 C.i D.参考答案：B【分析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值.【详解】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.设集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集，找出交集的个数即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，则A∩B的元素的个数为5．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知θ为第二象限角，且tan(θ﹣)=3，则sinθ+cosθ=．参考答案：

【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由θ为第二象限角，且，求出sinθ=，cosθ=﹣，即可得出结论．【解答】解：∵，∴=3，∴tanθ=﹣2，∵θ为第二象限角，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sinθ+cosθ=，故答案为：．【点评】本题考查差角的正切公式，考查同角三角函数关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是

。参考答案：解析：作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，

连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线所成的角的大小是90°13.某几何体的三视图如图所示，它的体积为____________．参考答案：略14.如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为．参考答案：=1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为，并且可得到a=，再根据即可得到，解出a，c，从而得到b2，从而得出椭圆的标准方程．【解答】解：根据已知条件知：c=，a=||，b=；又，；∴；解得a=，c=；∴b2=2；∴椭圆的标准方程为．故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．15.函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．参考答案：[4，5]【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．16.已知函数，若，则实数a等于

．参考答案：0或2略17.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点，则a的取值范围是．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）是周期为4的周期函数，作出y=f（x）在[0，3]上的图象，可得y=ax（a＞0）分别与函数y=﹣4x2+12x﹣8及y=﹣4（x﹣1）2+12（x﹣1）﹣8的图象相切，再由判别式等于0求得a值，即可求得a的取值范围．【解答】解：由题意可知，f（2）=0．∴f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），可知f（x）是周期为4的周期函数，又函数f（x）=，作出其在[0，3]上的图象如图：要使函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点，则函数y=ax（a＞0）与y=f（x）在区间（0，3]上至多有4个零点，至少有2个零点，联立，得4x2+（a﹣12）x+8=0，由△=a2﹣24a+16=0，得a=12﹣8；联立，得4x2+（a﹣20）x+24=0，由△=a2﹣40a+16=0，得a=．∴函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0）在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点的a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线（）的准线与轴交于点．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解法一：（Ⅰ）由已知得：，从而抛物线方程为，焦点坐标为．

……4分（Ⅱ）由题意，设，并与联立，

得到方程：，

…………………6分设，，则，．…7分

∵，∴，……9分又，∴……10分解得， ………………11分故直线的方程为：．即或．…12分解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）当轴时，，，不符合题意．

……………5分

故设（），并与联立，

得到方程：，

……………6分设，，则，．

…7分，点到直线的距离为，

………………9分∴，

…………10分解得，

…………11分故直线的方程为：．即或．

………12分

略19.已知函数(≠0,∈R)(Ⅰ)若，求函数的极值和单调区间；(Ⅱ)若在区间（0，e］上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：试题解析：（I）因为当a=1，，令，得，又的定义域为，随的变化情况如下表：（0，1）1-0+↘极小值↗所以时，的极小值为1．的单调递增区间为，单调递减区间为；（II）因为，且令，得到，若在区间（0，e］上至少存在一点，，使得成立，其充要条件是在区间（0，e］上的最小值小于0即可．当＜0，略20.如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|?|OS|为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．【解答】解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．

（*）

…由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故

（**）…又点M与点P在椭圆上，故，，…代入（**）式，得：．所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．

…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故．所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．…21.（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.参考答案：（Ⅰ）.故实验室上午8时的温度为10℃.

（Ⅱ）因为，又，所以，.当时，；当时，