2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）（含解析）

2022年高考数学真题试卷(新高考全国II卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(2022•新高考回卷)已知集合4={-1,1,2,4},B={%||%—1|W1},则4nB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】B={x|0WxW2},故AnB={1,2}.

故答案为：B

【分析】先求出集合B,再根据交集的概念求4nB即可.

2.(2022•新高考13卷)(2+2i)(l—2i)=()

A.—2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6—2i

【答案】D

【知识点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故答案为：D

【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.

3.(2022•新高考回卷)中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建

筑物的剖面图，DDi，CC\,BBrAAt是举，。。1，DG，CBX,BAX是相等的步，相邻桁的举步

之比分别为猊=0.5,疑=七,徵=七，薪=七，若以，k2,七是公差为0』的等差数

列，且直线04的斜率为0.725,则g=()

【答案】D

【知识点】等差数列

【解析】【解答】设0。1=DC1=CB1=BA1=1，贝!]CC]=kx,BB】=k2/AAt=k3，

根据题意，有七一=的，k-0.1=k,且

°0.210342C案/〃]十邸〃C<]嚼十U*]十您b/i1]=0.725,

所以0.5+3”0.3=0J25,故七=0.9.

故答案为：D

【分析】设。。1=DC,=CBi==1,可得关于k3的方程求解即可.

4.(2022・新高考13卷)已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=

()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】解：由己知条件可得2=(3+34)，cos<a,c>=cos<b,c>，即生第^=

，解得t=5,

故答案为：C

【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.

5.(2022•新高考回卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻

的不同排列方式有多少种()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【知识点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有

3!种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：31x2x2=24种不同

的排列方式.

故答案为：B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.

6.(2022•新高考回卷)若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2，5cos(a+弓)sin£，则()

A.tan(a+0)=-1B.tan(a+£)=1

C.tan(a—/?)=-1D.tan(a—^)=1

【答案】C

【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinacos/?+cosasin£+cosacosp-

sinasin/?=2(cosa—sina)sin£,

即：sinacos^—cosasin/?+cosacos/?+sinasin/?=0,

即：sin(a-0)+cos(a-0)=0,

所以tan(a—0)=—1,

故答案为：C

【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

7.(2022・新高考团卷)正三棱台高为1,上下底边长分别为3g和4V3，所有顶点在同一球面上,

则球的表面积是()

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】A

【知识点】棱台的结构特征；球的体积和表面积

【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径n，r2，所以2rl2r2=/且，

sin60sin60

即n=3,上=4，设球心到上下底面的距离分别为d2，球的半径为R，所以di=VF与，

22

d2-7/?-16，故|小一dzi=1或心+=1，即|，R2-9-V/?2-16|=1或V/?-9+

7/?2-16=1，解得R2=25，所以球的表面积为S=4兀产=io。兀.

故答案为：A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径rvr2,再根据球心距，圆面半径，以

及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积.

8.(2022•新高考回卷)若函数/(%)的定义域为R,且/(%+、)+/(X-y)=/(x)f(y)，/(l)=1，

则靡if(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性

【解析】【解答】因为f(x+y)4-/(x-y)=/(x)/(y)，令久=1,y=0可得,2/(1)=/(l)/(0),

所以/(0)=2,令x=0可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即f(y)=f(-y),所以函数/(%)为

偶函数，令y=1得，f(x+1)+f[x-1)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+1),

从而可知/(%+2)=-/(%-1),/(%-1)=-/(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即/(%)=

/(%+6),所以函数/(%)的一个周期为6.

因为/(2)=f⑴一八0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,〃4)=/(-2)=

/(2)=-1，/(5)=/(-1)=/(1)=1,/⑹=f(0)=2,所以

一个周期内的/(1)+/(2)+-+/(6)=0.由于22除以6余4,

所以SfcijW=/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=-3.

故答案为：A

【分析】根据题意赋值即可知函数/(%)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(I),/(2),

…，/(6)的值，即可求解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.（2022・新高考团卷）函数/（%）=sin（2x+<p）（0<</?<TT）的图象以（等,0）中心对称，则（）

A.y=/（x）在（0,券）单调递减

B.y=/（x）在（一条，岩）有2个极值点

C.直线式=今是一条对称轴

D.直线y=^--x是一条切线

【答案】A,D

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的奇偶性与对称性;

正弦函数的单调性

【解析】【解答】由题意得：/（冬）=sin（竽+租）=0,所以竽+w=k;r,kG.Z.

即cp=-+kn,keZ,

又0<9<兀，所以k=2时，0=等，故/（x）=sin（2x4-等）.

对于A：当xG（0,驾）时，2x+咨e（竽，岑），由正弦函数y=sinu图象知y=/（x）在（0,

g）上是单调递减；

对于B：当（—各岩）时，2x+^wg,竽），由正弦函数y=sinu图象知y=/（x）只

有1个极值点，由2%+竽=咨，解得％=修，即％=居为函数的唯一极值点；

对于C：当x=藉时，2x+等=3兀，/（普）=0,直线％=普不是对称轴；

对于D：由y，=2cos（2%+~^）=-1得：cos（2x+^-）=—，

解得2%+称=等+24兀或2%+富=等+2卜兀，kCZ,

TT

从而得：x=krc或%=^+kn,kWZ,

所以函数y=/（x）在点（0,苧）处的切线斜率为k=y'|x=o=2cos等=一1,

切线方程为：y一乎=—（%一0）即y=亨一x.

故答案为：AD

【分析】先根据已知条件求出（P的值，从而求得函数得解析式/（x）=sin（2x+等），再根据三角

函数的性质逐个判断各选项，即可得解.

10.（2022•新高考回卷）已知O为坐标原点，过抛物线c：y2=2px（p>0）的焦点F的直线与C交于

A,B两点，点A在第一象限，点M（p,0）,若|AF|=|AM|,则（）

A.直线AB的斜率为2乃B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.^OAM+^OBM<180°

【答案】A,C,D

【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系

【解析】【解答】对于A：易得嗯，0）,由\AF\=\AM\可得点4在FM的垂直平分线上，则

A点横坐标为攀=乎，代入抛物线可得y2=2p.¥=|p2,则A（茅孚），直线AB的斜

率为=2V6,A符合题意;

对于B：由斜率为2历可得直线AB的方程为％=康丫+刍，联立抛物线方程得y2Gpy一

p2=0,设%），则坐p+%=却，则为=—等，代入抛物线得（一学）2=2pj］，

解得%i=1，则B舄,—学），

则|。引=/野+（—率）2=挈、|。W=］，B不符合题意；

对于C：由抛物线定义知：|AB|=¥+§+p=督>2p=4|。9|，c符合题意；

对于D：布.丽=（斗，等）・修，—率）=零号+粤.（—等）=—¥<0，则41OB为钝

角，

又而•丽=（-号，孥）•（-冬，-挈）=-*（-给+孚•（-孚）=-誓<0，则“MB

为钝角，

又^AOB+^AMB+/-OAM+zOBM=360°,贝UAOAM+zOBM<180°,D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】由\AF\=\AM\及抛物线方程求得过斗，孚），再由斜率公式即可判断A选项；表示出

直线AB的方程，联立抛物线方程求得B0,-孚），即可求出\0B\判断B选项；由抛物线的

定义求出|/B|=鬻即可判断C选项；由画•砺＜0，雨•雨＜0求得乙4OB,乙4MB为

钝角即可判断D选项.

11.（2022•新高考回卷）如图，四边形ABCD为正方形，ED1平面ABCD,FB||ED,AB=ED=

2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为匕，V2,匕，则（）

A

A.V3=2V2B.V3=2VtC.V3=Vi+V2D.2%=3%

【答案】C,D

【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】设AB=ED=2FB=2a，因为ED_L平面ABCD,FB||ED,则匕=g.ED•

SAACD=g,2a,④,(2a)2=,S=4,FB•S4ABe=，(2。)？=J焦，连接BD父AC于

点M,连接EM,FM,易得BDLAC,又EDJL平面ABCD,ACu平面ABCD,则ED1

AC,又EDCBD=D,ED,BDu平面BDEF,贝IAC1平面BDEF,

又BM=DM=3BD=&a，过F作FG_LDE于G,易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=

2y[2a,EG=a，

则EM=J(2a)2+(V2a)2=y/6a,FM=Ja2+(V2a)2=V3a>EF=Ja2+(2y/2a)2=3a，

2222

EM+FM=EF,则EMLFM,S„EFM=^EM-FM=^a>AC=2近a,

S3

则|Z3=VA-EFM+Vc-EFM=,^EFM=2a，则2V3=3Vi,V3=3V2>V3=Vr+V2,

B不符合题意；C、D符合题意.

故答案为：CD

【分析】直接由体积公式计算％,乙，连接8。交AC于点M,连接EM,FM,由，3=

匕4-E/M+V。-EFM计算出，3»依次判断选项即可•

12.（2022•新高考回卷）对任意x,y,d十一专,=1，贝|j（）

A.%4-y<1B.x+y>-2C.%2+y2<2D.%2+y2>1

【答案】B,C

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】根据乱三（嘤）2三贮算（a,beR）,x2+y2-xy=l可变形为，（x+y）?—

1=3xy<3（^^），解得-24%+y42,当且仅当x=y=-1时，x+y=-2,当且仅当

%=y=l时，x+y=2,所以A不符合题意，B符合题意；

2222

x+y-xy=1可变形为（/+y2）_1=Xy<,解得%+y<2,当且仅当%=y=±1

时取等号，所以C符合题意；

因为/+y2一孙=1变形可得（*_多）2+为2=1,设X_Z=COS0,sinU，所以x=

cos6+盍sin。，y=-^sin0,|S|jtkx2+y2=cos204-|sin20+-^sin0cos0=14--^sin20—

11

gcos20+w

=^+jsin（20-J）e[|,2],所以当％y=—g时满足等式，但是x2+y2>l不成立,

所以D不符合题意.

故答案为：BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2022•新高考回卷）已知随机变量X服从正态分布N（2,a2）,且P（2<X<2.5）=0.36,则

P（X>2.5）=.

【答案】0.14

【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【解析】【解答】因为X〜N(2,a2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>

2）-P（2<XW2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14

【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解.

14.（2022・新高考回卷）写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：

【答案]y=：%；y=

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：因为y=ln|x|，当%>0时y=In%,设切点为(x0,lnx0)，由y'=1,

=

所以ylx-xn7-,所以切线方程为y-lnxo=^-(x-%o)，又切线过坐标原点，所以Tn&=

x~xOx0x0

义(-%o),解得x0=e,所以切线方程为y—l=9(x—e),即y=;

当％V0时y=ln(—%)，设切点为(“ln(—Xi))，由y'=，所以y|%=%=白，所以切线方

程为丫一皿一/)=白。一%1),又切线过坐标原点，所以-In(Ti)=/(一匕)，解得小=-e,

人1人1

所以切线方程为y—1==(％+e)>即y=~~x；

故答案为：y=^xy=—^x

【分析】分x>0和x<0两种情况讨论，当X>0时设切点为(&,ln%0),求出函数的导函数，

即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出xo，即可求切线方程，当

%<0时同理求解即可.

15.(2022・新高考田卷)已知点4(—2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a的对称直线与圆

(%+3)2+Q+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为.

【答案】吐，|]

【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程：直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：因为A(-2,3)关于y=a对称点的坐标为/(一2,2a-3),B(0,a)在

直线y=a上，所以AB所在直线即为直线I，所以直线I为y=^-x+a,即(a-3)%+

2y-2a=0；根据圆方程可得圆心C(—3,-2),半径r=1,

d-I_3(a_3)_"2al<1

依题意知圆心到直线/的距离J(a—39+2?

即(5-5a1<(a-3)2+22，解得J<a<|<即aC'，|].

故答案为：[J,|]

【分析】首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线I的方程，根据圆心到直线

的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.

16.（2022•新高考回卷）已知椭圆看+^=1,直线1与椭圆在第一象限交于A,B两点，与x轴，y

63

轴分别交于M,N两点，且|M*二|NB|,\MN\=2A/3，则直线1的方程为.

【答案】x+V2y—2V2=0

【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系

【解析】【解答】解：记AB的中点为E，因为\MA\=\NB\,所以\ME\=\NE\,

所以红上+力__一丝一=o,即囱一切」乜+攵）+二如=o

663363

所以”+次？1次=--i,即k0E-kAB=—i,设直线AB：y=kx+m,fc<0,m>0,

令x=0得y=?n，令y=0得％=，即M（-g,0）,N（0,m）,所以E（-里,y）,

即kx3=一段，解得k=一冬或女=坐（舍去），

^2k22

又|MN|=2V3，即|MN|=Jm2+（扬n）2=25,解得机=2或m=-2（舍去），

所以直线AB：、=一¥%+2，即x+V2y-2V2=0;

故答案为：x+V2y-2V2=0

【分析】记AB的中点为E,设4（%1，%）,F（X2,y2）,利用点差法得到•心8=—，

设直线AB：y=kx+m,k<0,m>0,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据|MN|

求出k、m,即可求得直线方程.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（2022•新高考回卷）已知｛时｝为等差数列，（M是公比为2的等比数列，且a2-比=。3-%=

力4—。4.

（1）证明：的=比；

（2）求集合（k\bk=am+a1,1<m<500）中元素个数.

【答案】⑴证明：设数列｛时｝的公差为d,所以，蓝"六:4匕，即可解得，

I,LJ=8力—（即+3a）

b[=%=与，所以原命题得证.

（2）解：由（1）知d=2瓦=2%,

由bk=+@1知：b]。2"।=Q]+（TTI-1）,d+Q]

即bi-2"T=/?!+（m-1）-2bl+3，即2”,=2m，

因为14m4500,故242k-1<1000,解得24k410

故集合｛k|玩=am+%,1<m<500）中元素的个数为9个.

【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列

【解析】【分析】（1）设数列m九｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得租=2心2,即可解出.

18.（2022•新高考回卷）记A4BC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,

c为边长的三个正三角形的面积依次为Si，S2,S3，已知Si-S2+S3=整，sinF=1.

（1）求〉ABC的面积；

（2）若sinAsinC=孝，求b.

【答案】（1）解：,・,边长为a的正三角形的面积为字@2,

・・Si-S2+S3=空（a2—b2+c2）=亨,即accosB=1,

由sinB=/得：cosB-，

•13y[2

"aC='^B=~

故S4ABe=/acsinB=xx^=^•

2372

（2）解：由正弦定理得：五瓦=急・篇=的关4=*=4>故=|sinB=1-

【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用

【解析】【分析】⑴先表示出Si，S2,S3,再由Si—S2+S3=当求得（a?—庐+。2）=2,结合余弦

定理及平方关系求得ac,再由面积公式求解即可；

19.(2022•新高考回卷)在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据频率分布直方图.

嫉*

0017

0012

0006

00()2

0()01

2030405060708090年龄(岁)

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人

口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50)，求此人患该种疾病的概率.(样本

数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)

【答案】(1)解:平均年龄x=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.0174-45x0.023+55x

0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁)

(2)解：设人=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)｝,则

P(/)=1-P(A)=1-(0.001+0.0024-0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89

(3)设8=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种族病｝,

则由条件概率公式，得P(C|B)=笔需=雷'I。=。•%啜23=00014375«0.0014

【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数：互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件

【解析】【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)),根据对立事件的概率公式P(A)=1-P0)

即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

20.(2022・新高考团卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABJ_AC,E是PB的

中点.

A

(1)求证：OE||平面PAC；

(2)若Z.ABO=ACBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

【答案】(1)证明：连接BO并延长交AC于点D,连接04、PD,

因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO1平面ABC,AO,BOc平面ABC,

所以PO1AO.PO1BO,

又PA=PB,所以4POA三XPOB,BPOA=OB,所以/.OAB=Z.OBA,

又4B_L力C,即^BAC=90。，所以Z.OAB+乙OAD=90°,乙OBA+Z.ODA=90°,

所以乙ODA=乙OAD

所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以。为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE〃P£),

又OE平面PAC,PDu平面PAC,

所以OE//平面PAC

(2)解：过点A作AF\\OP,以AB为％轴，AC为y轴，AF为z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.

y

X

AB

因为PO=3,PA=5,由(1)04=OB=4,

义N4B0=NCB。=30°,所以，AB=4V3，所以P(2百，2,3),B(4V5,0,0),4(0,0,0)，

E(3百，1,方)，设AC=a,则C(0,a,0),

平面AEB的法向量设为正=(x,y,z),AB=(4V3,0,0),AE=(3V3,1,金变,为=°,所

zUE•ni=0

(4V3x=0

以。石3八，所以x=0,设z=-2,则y=3,所以％=(0,3,-2)：

[3V3x+y+2^=0

平面AEC的法向量设为泣=(x,y,z),而=(0,a,0),AE=(3V3,1,竺的=°,所以

zkAE-n2=0

ay=0

3V3x+y4-1z=0，所以y=0设％=四，贝ijz=—6,伙以nJ=(V3,0，-6)：

所以—九1.九2___12_____12_4>/3

所以8S〈阳,电）一属下两一下衣肉一五月一方

二面角C-AE-B的平面角为0,则sin6=Vl-cos20=||,所以二面角C-AE-B的正弦

值为||。

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质：用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】（1）连接B0并延长交4C于点。，连接04、PD,根据三角形全等得到04=

0B,再根据直角三角形性质得到力。=。。，即可得到。为BD的中点从而得到OE〃PD,即可得

证；

（2）过点4作AF\\OP,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根

据同角三角函数的基本关系计算可得；

21.（2022.新高考团卷）设双曲线C：多—4=l（a>0,b>0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程

Qb

为y=±V3x・

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点PQi，%），Q（%2,y2）在C上，且

%1＞必＞0,丫1＞。.过P且斜率为-遮的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点M,请从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在AB上；②PQ||AB；③|M4|=\MB\.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）解：由题意可得.=百，&2+庐=2,故a=1,6=遍.因此C的方程为％2一

y2-1

T-1-

（2）解：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可

知〃在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而打=%2，已

知不符；

总之，直线AB的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为k,直线方程为y=-2）,

2

则条件①M在上，等价于y0=做与-2）okyQ=k（x0-2）；

两渐近线的方程合并为3/=o,

联立消去y并化简整理得：（/-3）/一412%+4盾=o

设X（x3,为），B（%3，%），线段中点为Ng,yQ，贝UXN=叼1%=jk,0=k（%N-2）=

K—3

6k

k—3

设M（x°，7o），

222

则条件③|4M|=\BM\等价于(xo-％3)2+(y0-y3)=(%o-x4)+(y0-y4)，

移项并利用平方差公式整理得:

(x3-X4)[2X0-(%3+%4)]+。3一、4)[2为一仇+74)]=0，

[2x-(x+x)]+r3-x4Ry。一优+%)]=o，即％。一知+Ky-y)=°，

034人3人40N

Hn.j8k之

即X+ky=-2—；

O0k-3

由题意知直线PM的斜率为一百，直线QM的斜率为V3,

，由丫1一兀=一遍（%1-％0），%一兀=遍（%2-％0），

一、2=一6（％1+%2.2%0），

所以直线PQ的斜率巾=江及=一包任1土攵二河,

勺一二2/一二2

直线PM：y=-V3（x—%o）+yo,即y=y（）+V5%o-V5%，

代入双曲线的方程3%2—y2—3=0,即（8％+y）（遮％—y）=3中,

得：

（Vo+V3x0）［2V3x-（y0+V3x0）］=3，

解得P的横坐标：=耳后（后函+匕）+遮"。）,

13

同理：*2=一访（声西+为一6》。），

・・.%1-%2=*(丫/痣+丫0)，%1+%2-2%。=一：3和

另一司2-xo,

30

.3%o

•.m=--,

y。

,•条件②等价于

・PQ〃4Bm=kakyQ=3x0,

综上所述：

条件①在上，等价于2；

M4Bky0=/c(x0-2)

条件②等价于；

PQ〃/IBky0=3x0

8fc2

条件③|4M|\BM\等价于x+ky=

0Q,2Q

k—3

选①②推③:

2k2

由①②解得:XQ+ky=4x=孚一，••③成立;

XQ~—2Q0

fcZ-3k—3

选①③推②:

202

由①③解得:2k6k

xo=-2-,ky0,2Q

k-3k-3

••ky0=3%o,.,.②成立;

选②③推①:

2

由②③解得:2k•6k・y_o_6

%o=f-，ky°=f—，・・一/一,2„

k'—3k—3k-3

，kyo=炉（%0—2）,，①成立.

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系

【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的

平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程;

(2)先分析得到直线4B的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(xO,yO),由③|AM|=|BM|

等价分析得到g+