2020-2021学年河南省洛阳市伊川县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年河南省洛阳市伊川县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共10小题）.

1.若y=YE踵有意义，则x的取值范围是（）

X

A.尤■且xWOB.C.xW工D.x#0

222

2.某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元.如果平均每月增长

率为无，则所列方程应为（）

A.100（1+x）2=800

B.100+100X2尤=800

C.100+100X3%=800

D.100[1+（1+尤）+（1+无）2]=800

3.定义运算：/"☆"=租"2-相〃-1.例如：4iir2=4X22-4X2-1=7,则方程1☆尤=0的

根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

4.方程尤2-（〃计6）》+"於=0有两个相等的实数根，且满足尤1+尬=的尤2,则7"的值是（）

A.-2或3B.3C.-2D.-3或2

5.如图，△ABC中，是中线，BC=8,/B=NDAC,则线段AC的长为（）

6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（-1,4）.将△ABC沿y

轴翻折到第一象限，则点C的对应点C，的坐标是（）

7.如图，电线杆8的高度为〃，两根拉线AC与BC相互垂直，NCAB=a,则拉线BC的

长度为（A、。、8在同•条直线上）（）

sinCLcosatana

8.已知二次函数y~ax2+bx+c（其中a>Q,b>0,c<0）,关于这个二次函数的图象有如

下说法：

①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与无轴的交点有一个在y轴的右侧.

以上说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

9.若（J§tanA-3）2+|2cosB-V3l=0,则△ABC的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.含有60°的任意三角形D.等腰直角三角形

10.在同一坐标系中，一次函数y=a无+1与二次函数>=炉+。的图象可能是（）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.从-2,-1,0,1,2这五个数中任取一个数，作为关于尤的一元二次方程/-X+4=0

中的左值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是.

12.如图，将矩形A8CQ沿AE折叠，点。恰好落在BC边上的点E处，如果AB：AO=2：

13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固

定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时,

忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是.

14.己知抛物线与无轴交点的横坐标分别为3,1；与y轴交点的纵坐标为6,则二次函数的

关系式是.

15.如图，△ABC与中，AB=AE,BC=EF,ZB=ZE,AB交EF于D.给出下列

结论：®ZAFC=ZC；②DF=BF；③△ADEs^FDB；@ZBFD=ZCAF.其中正确

的结论是（填写所有正确结论的序号）.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

o

16.计算：2sin45°-衍+后—8°.

17.先化简，再求值：2*1—小(2老生),其中a=2.

a-2a+la-1

18.已知关于x的方程N+(2k-1)x+N-1=0有两个实数根xi,xi.

(1)求实数左的取值范围；

(2)若Xl,X2满足婷+&2=16+制尤2,求实数左的值.

19.如图，平行四边形A8CD在平面直角坐标系中，AD=6,若。4、。8的长是关于x的

一元二次方程尤2-7x+12=0的两个根，且。4>。8

(1)求cos/ABC的值.

(2)若E为x轴上的点，且&AOE=与，求出点E的坐标，并判断△A0E与△ZM。是

O

否相似？请说明理由.

20.如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AEJ_BC,垂足为E,连接。E,尸为线段DE

上一点，且/AFE=NB.

(1)求证：△ADFS^DEC；

(2)若A8=8,AO=6我，AF=4y[3>求AE的长.

21.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求：垃圾要按A,B,C三类分别装袋、投放，其中

A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等

可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.

(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；

(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.

22.今年由于防控疫情，师生居家隔离，进行线上学习，和CQ是社区两栋邻楼的示意

图，小伟站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为22。，地面点E的俯角为

45°,点E在线段8。上，测得B、E间距离为8.7米，楼AB高12«米.

(1)求小伟家阳台距地面CD的高度(结果精确到1米，参考数据:sin22。^0.37,cos22°

-0.93,tan22°-0.40,«-1.73)

(2)在实际测量过程中，测量误差可以避免吗？并说明理由.

LU

23.如图，已知抛物线交工轴于A、B两点,交y轴于点C,OC=OA=3OBf

直线y=fcx+c与y轴交于点。，与抛物线交于点8、E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是线段。E上的一动点(不与O,E重合)，过点尸作x轴的垂线交x轴于点

F,交抛物线于点。若DE=4BD,线段尸。是否存在最大值？若存在，求出最大值，

参考答案

一、选择题(共10小题).

1.若>=近运有意义，则X的取值范围是()

X

A.■且x#0B.尤C.D.xWO

,jl-2x》0

解：由题思可知：5,

IX六。

解得：xwf•且xWO

故选：A.

2.某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元.如果平均每月增长

率为尤，则所列方程应为()

A.100(1+x)2=800

B.100+100X2%=800

C.100+100X3尤=800

D.100[1+(1+尤)+(1+x)2]=800

解：：一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为尤，

二月份的营业额为100X(1+X),

三月份的营业额为100X(1+x)X(1+无)=100X(1+x)2,

...可列方程为100+100X(1+x)+100X(1+x)2=800,

故选：D.

3.定义运算：优☆“=机〃2-"2"-1.例如：4☆2=4X22-4X2-1=7,则方程1☆尤=。的

根的情况为()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

解：由题意可知：-尤-1=0,

.♦.△=1-4X1X(-1)=5>0,

有两个不相等的实数根

故选：A.

4.方程N-（机+6）]+*=0有两个相等的实数根，且满足％i+x2=xix2,则机的值是（）

A.-2或3B.3C.-2D.-3或2

解：Vxi+x2=m+6,xiX2—m2,xi+x2=xix2f

；・m+6=m2,

解得m=3或m=-2,

・・•方程N-（加+6）冗+*=0有两个相等的实数根，

A=Z?2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0

解得m=6或m=-2

；・m=-2.

故选：C.

5.如图，△ABC中，AO是中线，BC=8fNB=NDAC,则线段AC的长为（）

解：VBC=8,

.,.CZ）=4,

在△CBA和△CA0中，

•:/B=/DAC,ZC=ZC,

AACBA^ACAD,

.AC=CD

，，BC-AC，

.'.AC2=CZ）*BC=4X8=32,

；.AC=4&；

故选：B.

6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（-1,4）.将△ABC沿y

轴翻折到第一象限，则点C的对应点C'的坐标是（）

C.(1,-3)D.(3,-1)

解：由A点坐标，得C（-3,1）.

由翻折，得。与。关于y轴对称，C（3,1）.

故选：A.

7.如图，电线杆的高度为力，两根拉线AC与8C相互垂直，ZCAB=a,则拉线的

长度为（A、D、5在同一条直线上）（）

C.―D./z*cosa

tanCl

解：9：ZCAD+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90°,

:・NCAD=NBCD,

rn

在RtZXBC。中，・.・COSN3CZ）=M，

BC

JRC=-CD_h,

cos/BCDCOSCL'

故选：B.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a>0,b>0,c<0）,关于这个二次函数的图象有如

下说法：

①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧.

以上说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

解：：a>0,故①正确；

:顶点横坐标-?<0,故顶点不在第四象限，②错误，

V«>0,

...抛物线开口向上，

Vc<0,

...抛物线与y轴负半轴相交，

故与龙轴交点，必然一个在正半轴，一个在负半轴，故③正确.

故选：C.

9.若（依tanA-3）2+|2cosB-依|=0,则△ABC的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.含有60°的任意三角形D.等腰直角三角形

解：（i/stanA-3）a+|2cosB-«|=0,

.•♦V^tanA=3,2cosB—y[2,

则tanA=e，cosB=^^~,

故/A=60°,ZB=30°,

则NC=90°,

故AABC的形状是直角三角形.

故选：A.

10.在同一坐标系中，一次函数y=a尤+1与二次函数y=N+a的图象可能是（）

解：当a<0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限;

当。>0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限.

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.从-2,-1,0,1,2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程尤2-苫+左=0

3

中的左值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是4.

一5一

解：A=Z?2-4ac—1-4k>0,

解得左<告，

4

所以，满足人的数值有：-2,-1,0共3个，

故概率为微2■.

D

12.如图，将矩形ABCQ沿AE折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，如果AS：AD=2：

解:'JAB：AD=2：3,

.,.在Rt^AB尸中，设AB=2x,AF=AO=BC=3x,

则B/?=VAF2-AB2=V5X'

XVZEFC+ZAFB=90°,ZAFB+ZBAF=90a,

：.ZBAF=ZCFE,

故tanZ£FC=tanZBAF=—jZE.

AB2x2

故答案为：噂.

2

13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固

定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时,

忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是

解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下:

1次飙

红黄nn绿

红红红黄红蓝红绿红

黄红黄黄黄旗nn蓄K绿黄

篮红蓝蓄融蓝蓝球蓝

绿红绿黄绿蓝绿绿绿

共有16种等可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，

41

：.P（两次颜色相同）=白=^，

164

故答案为：-y-

4

14.己知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1；与y轴交点的纵坐标为6,则二次函数的

关系式是y=2尤2-8尤+6..

解：设所求抛物线是y=ox2+bx+c,根据题意得，

a+b+c=O

«9a+3b+c=0,

.c=6

解得

'a=2

<b=-8，

.c=6

故所求函数解析式是y=2尤2-8x+6.

故答案是y=2x2-8x+6.

15.如图，△ABC与△AEP中，AB=AE,BC=EF,/B=/E,AB交EF于D.给出下列

结论：®ZAFC=ZC；②DF=BF；③△ADES^FDB；（4）ZBFD=ZCAF.其中正确

的结论是①③④（填写所有正确结论的序号）.

解：在△ABC与中

'：AB=AE,BC=EF,/B=/E

：./\AEF^AABC,

J.AF^AC,

・•・ZAFC=ZC；

由N3=NE,NADE=NFDB,

可知：△ADEs/\FDB；

•.・NEAF=ABAC,

：.ZEAD=ZCAF,

由△ADEs△阳5可得NEAZ)=N3尸

：.ZBFD=ZCAF,

综上可知：①③④正确.

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

O

16.计算：2sin45°-^+^8-(一,J

+12)°.

解：原式=2X^-3(&-1)+272

-1

=如-3^2+3+272-1

=2.

17.先化简，再求值：2a+1+(2+^2二1),其中。=2.

a-2a+la一］

解：原式=产3'+纭等2

(a-1)2a-1

a+1.a+1

(a-1)2-a-1

_a+l.&-]

"(a-l)2a+1

1

a-l'

当〃=2时，原式=7；J=1.

18.已知关于x的方程N+(2k-1)x+k2--1=0有两个实数根XI,X2.

(1)求实数％的取值范围；

(2)若XI,%2满足婷+垃2=16+%1处求实数％的值.

解：(1),关于X的方程无2+(24T)X+R-1=0有两个实数根XI,XI,

；.△=⑵-I)2-4(炉-1)=-4k+520,

5

解得：k^—,

4

5

，实数k的取值范围为kW；

4

(2)\•关于x的方程/+(2Z-1)x+F-1=0有两个实数根无1,X2,

■•X1~^~X2~~1"2k,XI*X2^~k~1.

22

■.*X1+X2=(X1+X2)2-2xi・X2=16+X1•尤2,

...(1-24)2-2义(F-1)=16+(%2-I),即R-必-12=0,

解得：k=-2或k=6(不符合题意，舍去).

，实数上的值为-2.

19.如图，平行四边形ABC。在平面直角坐标系中，AD=6,若04、的长是关于x的

一元二次方程N-7x+12=0的两个根，且OA>OB

(1)求cos/ABC的值.

(2)若E为x轴上的点，且&AOE=学，求出点E的坐标，并判断△AOE与△D4。是

O

解得的=3,&=4,

・・・OA=4,03=3,

.♦.及△AOB中，AB=^32+42=5)

.\cosZABC=—=—；

AB5

(2)设点E的坐标为(m,0)，则

NMX4=孕，

解得加=士春，

O

・••点E1的坐标为：（卷，0）或（-卷，0）；

OO

AAOE^^DAO.

理由.••UE=2_0A_2

由，，0A3，AD31

.0E=0A

'"0A-AD，

又•.,/AOEuNZMOugO。，

20.如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AELBC,垂足为E,连接。E,尸为线段。E

上一点，且/AFE=NB.

(1)求证：

(2)若AB=8,AD=6^3,AF=^/3,求AE的长.

【解答】（1）证明：•..四边形ABC。是平行四边形，，AB〃CD,AD//BC,

.\ZC+ZB=180°,ZADF^ZDEC.

VZAFD+ZAF£=180°,/AFE=/B,

：.ZAFD=ZC.

：.AADFsADEC.

（2）解：：四边形ABC。是平行四边形，.•.CO=A8=8.

由（1）知△ADPS/XOEC,

.AD=AF

"DE-CD'

.“_AD・CD_6通X8

AF孰巧

在Rt/VLDE中，由勾股定理得：^=VDE2-AD2=6-

21.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求：垃圾要按A,B,C三类分别装袋、投放，其中

A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，。类指塑料、废纸等

可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.

（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；

（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.

解：（1）:垃圾要按A,B,C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，

甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：y;

O

（2）如图所示:

开始

由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结

果有12种，

所以，尸（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）=芸19=19；

loO

即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是：仔2.

22.今年由于防控疫情，师生居家隔离，进行线上学习，和C。是社区两栋邻楼的示意

图，小伟站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为22。，地面点E的俯角为

45°,点E在线段8。上，测得8、E间距离为8.7米，楼高12«米.

⑴求小伟家阳台距地面CD的高度（结果精确到1米，参考数据:sin22。^0.37,cos22°

-0.93,tan22°-0.40,日心1.73）

(2)在实际测量过程中，测量误差可以避免吗？并说明理由.

解：设阳台距地面的高度为x米.如图，过点。作于点R贝U四边形3DC尸

为矩形,

CF〃BD,CD=FB=x,/CDE=90,FC=BD,

：.ZCED=ZECF=