对称性积分的运算

PAGE1-对称性积分的计算[摘要]：针对如何简化积分的计算，提出了利用积分区域的对称性方法，通过实例给出了构造对称性的方法，从而简化了积分的计算.本文共给出了四种解对称性积分的方法来解一重、二重、三重积分.在本文的一些积分计算的例子中，通过一般解法和利用对称性解法的对比，使读者能明显地体会到对称性在积分简化中起到的作用.[关键词]：对称性；积分区域；奇偶性；定积分；一重积分；二重积分；三重积分UsingSymmetryinIntegralCalculation[Abstract]:Thesymmetrysolutionisproposedtosimplifythecomputationofintegral.Thiskindofsolutionmakesuseofthesymmetricfeatureofintegralinterval,andsomepracticalexamplesarealsopresentedhere,showingthereadershowtoconstructsymmetrysoastosimplifythecomputation.Inthispaper,fourwaysofsolvingsymmetricintegralareprovidedforthereaderstosolvethequestionsofone-dimensionalintegral,doubleintegralandtripleintegral.Throughthecomparisonbetweenthetraditionalsolutionandthesymmetrysolution,suchexampleswillhelpthereaderstogetabetterunderstandingaboutthesignificanceofsymmetryinsimplifyingthecomputationofintegral.[Keywords]:Symmetry;Integraldomain;Parity;Definiteintegral;Singlelayerintegral;Doubleintegral;Tripleintegral

1前言微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积，虽然没有用极限，但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽．微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的.微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费尔玛陈述的概念，他给出了如何确定极大值和极小值的方法，其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生.前人的工作终于使牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分，18到19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯等一批数学大师对于微积分建立了严格完整的理论体系，形成了近代微积分.在文[1]中DaleVarberg等编写的《Calculus》也大概的讲解了积分学的发展史；在文[2]中DavidNualart给出了大量的习题，具有数学的严谨性．对称性的概念在数学中有广泛而重要的应用.在利用对称性求解积分题时，一般有以下两种情况：一是积分区域具有某种对称性，可利用对称性对问题进行求解；另一类是被积函数图象本身具有的对称性，还有些是它们自身潜在对称性（中心对称性）.在求解问题的过程中，如能有意识地考虑问题的对称性并利用上面的性质来解题，往往能收到事半功倍的效果.积分区域对称性的应用：在文[3]中，刘涛给出了积分区间对称的概念，涉及到一重积分、二重积分和三重积分，并对各种概念给出了相应的例题.在文[4]中，李长江研究了函数的区间对称性，给出了在定积分中的应用，尤其是一些奇函数与偶函数积分的计算.在文[5]中,毕吕秀同样也给出了积分区间对称的概念，并给出了相应的例题.刘丽红等[6，7]给出了多元函数积分的概念，并给出了证明，特别是在当一些定积分它的区间不具有对称性时，可以将它转化为对称区间的积分问题来计算.张德生等[8，9]给出了轮换对称性的条件并利用积分的轮换对称性来计算三重积分的计算.程黄金，陈伟[10]具体介绍了几种区间对称性下的重积分中的计算，进一步完善在对称积分区间的积分巧妙应用.利用轮换对称性的应用：在文[11]中，曹吉利给出了一重曲线积分的轮换对称，且利用曲线积分证明了这个轮换对称.在文[12]，曹荣荣给出了积分轮换对称的应用，利用与轮换对称的性质化简.在文[13]中张云艳研究了三重积分上的轮换对称的积分性质.在文[14]中郑淑江给出求三重积分值的方法，研究了对称性在三重积中的应用.在文[15，16]中给出了应用轮换积分求值的例题.利用函数图象对称的应用上：在文[17]中，斯彩英借助与函数图象的对称性获得间接的解题途径.当某些函数不具有对称性时，可以通过某种构造对称性，使问题迎刃而解.例如可以将积分的区间分成几部分，这时候就可以找到对称的部分图象.在文[18]胡佑增给出了积分用的图象的对称性来计算积分，在一些特殊图形中利用图象的中心对称，可以把三重积分化简.在文[17]中张振强借用了奇偶性来化简重积分.在文[20，21]中吴鹏与陈怀琴给出了图像本身没有对称性的应用，利用划分区间使区域有对称性.挖掘潜在的对称性：对于本身没有对称的积分，且大部分都是非奇非偶函数，对于这一类的积分我们给出了几个适合普遍积分的公式.在文[22]中，贾长友利用公式去计算了几类积分.

2利用积分区间的对称性2.1一重积分定理2.1：设在（）上连续且为奇函数或偶函数，则有:证明：连续，存在，因而在的定义中，区间的分划区间中的选取按下面的特殊方法进行.先取分划，再在每一小区间上任取，令，则区间被分划，取点完毕.记，，则.并设.根据定义有：这个公式在定积分的计算中应用非常广泛，它可使计算过程大大得到简化.例1：计算.解：（积分区间为对称区间）（被积函数分别奇函数和偶函数）．例2：计算.解：（被积函数分别为偶函数和奇函数）．(例1，例2的被积函数本身不具有奇偶性，我们把它拆开成具有奇偶性的两项或几项，然后再应用定理1的性质.)例3：求定积分.解：因，故为关于原点的对称区间，是上的奇函数..(例3的被积函数本身是一个奇函数，直接应用定理1.)2.2二重积分定理2.2：(1)若积分区域关于(或)轴对称，设是在轴上方(或轴右侧)的部分，则(2)若积分区域关于,轴均对称，设是在第一象限的部分，则(3)若积分区域关于原点对称，设是的右半平面或上半平面部分，则证明(1)：在区域关于轴对称的条件下，仅证明为-型区域时的情形.设由不等式确定，,分别是区域在轴上方、下方部分，则有，由二重积分的可加性，得，所以有类似地可证积分区域关于轴对称.证明(2)：设关于轴和轴对称的有界闭域，而（其中和分别为有界闭域位于轴上方和下方的部分，而和分别为域位于第和象限中的部分），于是.当为关于的偶函数，即时，由定理2(1)得：又为关于的偶函数，即时，有：，因此：．当为关于或的奇函数，即或时，同理有，证明(3)：设关于原点对称的有界闭域（其中,分别为有界闭域，是D的右上半平面，是D的左下半平面），于是，用关于原点对称的曲线网分割区域，在的网眼中任取一点，在的对称网眼中取点，令诸网眼的最大直径为，构造和式注意到可积性条件以及，则：当为的偶函数，即时，有：，因此.当为的奇函数，即时，有：.例4：计算，其中为双纽线围成的平面域.解：因为方程，用代替不变，可知关于轴对称，又关于为奇函数，即，由定理得.(例4的被积函数是关于的奇函数且积分区域关于对称，可直接应用定理2(1).)例5：计算，区域：.解：积分区域关于轴和轴均对称，且被积函数关于变量，均为偶函数，由积分的对称性知：（为位于第一象限的部分）.(例5的被积函数是偶函数且积分区域关于,对称，所以可应用定理2(2).)例6：计算，其中是圆域.解：关于轴，轴均对称，而被积函数中关于，均非奇的项只有2这一项，故.(例6的被积函数是非奇非偶函数且积分区域关于,对称，所以我们先把被积函数展开,然后再应用定理2(2).)例7：计算．解：积分区域是圆域，故关于,轴对称，将被积函数分项积分，得，又因为积分区域关于变量,对称，即关于对称，因而，．定理2.3：(1)函数在上可积，且光滑曲面关于平面对称，那么：.(2)函数在上可积，且光滑曲面关于平面对称，那么：.(3)函数在上可积，且光滑曲面关于平面对称，那么：.证明(1)：因为与关于平面对称，设，则由第一类曲线积分的计算法得：，其中，，，，其中，,，因此：．同理可证定理3(2)，3(3).例8：计算面积分，.解，又关于平面对称，同理，.(例8的被积函数是三元函数，且被积区域关于平面对称，所以可应用定理3(2).)例9：计算曲面积分，.解:关于轴对称，而被积函数关于平面和平面都对称.记是在第象限的部分，.(例9的被积函数是三元函数，且被积区域关于平面和平面对称，所以可应用定理3(2),3(3).)例10：计算曲面积分，其中球面.解：，根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知：，又由坐标的轮换对称性知，因此:.(例10的被积函数本身不具有奇偶性，需化简再应用定理3的性质.)例11：计算，其中为取外侧.解：因为积分区域关于面对称，而所以=0.例12：计算，其中为与所围成的图中阴影部分.解：.(例11与例12的题可直接应用定理3.)2.3三重积分定理2.4：(1)如果在区域上连续，有界闭区域关于对称，为位于面上侧的区域，则(2)如果在有界闭区域上连续，且关于轴对称，函数在区域上可积，则(3)如果在有界闭区域上连续，且关于坐标原点对称，函数在区域上可积，则证明(1)：根据条件，可表为：从而.若为关于的奇函数，对上式中的前面一项作代换，令则：，所以．若是关于的偶函数，对上式中的前面一项作代换，令,，所以．同理可证定理4(2).证明(3)：,，，令则：，若是关于的奇函数，则：考虑，故：．所以．若是关于的偶函数，则：考虑，故：．所以．例13：求，其中是由与所围成的空间区域.解：被积函数，其中是关于的奇函数，并且积分域关于平面对称，故；同理是关于的奇函数，且积分域又关于平面对称，故，于是，再求出确定的两曲面的交线，即，由柱面坐标公式得.例14：计算，其中：.解：关于面对称，且被积函数在上连续并为关于的奇函数，故.例15：计算三重积分，其中为球体．解：，关于面对称，为的奇函数，故，所以.因为的边界曲线是球面，它是关于地位对称的，则.3利用轮换的对称性3.1一重积分定理3.1：设是面上的一条光滑的曲线弧，关于具有对称性，在上连续，则.证：将曲线关于为轴对称进行分割，把它分成个可求长度的小曲线（i=1，2，，n），的弧长记为，设与关于对称，取与其对称点，则，，的细度，则，，.例16：计算下列对弧长的曲线积分：(1)，是星形线.解：由于关于，具有轮换对称性，因而，则．(2)，其中为双扭线位于第一象限的部分取逆时针方向.解：由于关于，具有轮换对称性，则=0.(3)，其中是圆周．解：由于关于，，具有轮换对称性，因而有，，故．例17：计算第一型积分，其中为球面与平面的交线．解：若要求出曲线的差数方程组是较困难的，难以直接计算，但注意到被积曲线关于，，具有轮换对称性，则有，而平面过圆球的球心，则曲线是以原点为圆心，为半径的大圆．．3.2二重积分定理3.2：.当函数在有界闭域上连续，对（坐标），具有轮换对称性，则.证明：在直角坐标系下，不妨设区域是-型区域，由曲线和围成()，且分别是区域在直线的左右两侧部分(为其他情形时可分块转化成若干个-型区域或-型区域，并利用可加性证之)．因为和关于直线对称，所以有(换元:)=．例18：计算下列二重积分：(1)，其中是由两坐标轴及直线围成的区域．解：由于关于具有轮换对称性，因而，则．(2)．解：由于关于具有轮换对称性，因而，故．例19：计算，．解：积分域关于变量轮换对称，则．3.3三重积分定理3.3：设在空间有界闭区域上连续，对（坐标）具有轮换对称性，则．例20：计算，其中：．解：因为积分区域关于具有轮换对称性，所以．例21：(1)，其中：．解：由于积分区域被积分函数关于变量具有轮换对称性，于是有，则．(2)围成的区域．解：由于区域关于具有轮换对称性，因而，故．例22：求，其中．解：积分域关于变量轮换对称，则．4利用函数图像的对称性4.1一重积分例23：计算曲线积分，其中为球面与的交线、和组成的有向闭曲线.解：由于被积表达式是轮换对称的，且方向与变量的轮换一致.故．例24：计算，其中是沿从至点的曲线段．解：，点除外．我们添加补助线，但不能添加直线段，因为构成横排满的闭区间包为了原点，沿着该闭曲线的曲线积分就不能用Green公式来计算，那么我们添加圆弧：构成的正向闭曲线不包围原点.在它包围的区域中，有一阶连续偏导数，于是具备了运用Green公式的条件．．得,即．4.2二重积分例24：设区域为，求．解:积分区域关于直线对称，且函数在上是连续的.所以有．若直接采用极坐标系去求解，则需要用到三角公式，计算较烦.而抓住被积函数与积分区域的特点，利用变量轮换对称性将被积函数化为简单的函数后，再利用极坐标系化为二次积分，使得二重积分计算化繁为简.对积分区域关于坐标轴对称，同时被积函数关于变量具有奇偶性的二重积分，应当考虑运用奇偶对称性来简化二重积分的计算．例25：计算二重积分，其中为抛物线及直线所围成的区域．解：积分区域(如图)关于轴对称，虽然被积函数关于变量并不具有奇偶性，但分别关于为奇、偶函数，应用定理2(1)，有与分别关于为奇、偶函数，则有(其中为在轴右侧的部分)由此可得．例26：设是平面上以点,和为顶点的三角形区域．求．（分析：作出积分区域(如图)观察知，它关于坐标轴并不具有对称性，是否能用奇偶对称性解决问题呢?）解:将区域划分为和，则，分别关于轴、轴对称，由于被积函数中的在区域上是关于变量的奇函数，在区域上是关于变量的奇函数；在区域上是关于变量的奇函数，在区域上是关于变量x的偶函数，所以应用奇偶对称性，有(其中为在轴右侧的部分)从而．例27：计算二重积分．解：如图，关于轴，轴都对称，对，有，即被积函数关于和都是偶函数，因此．例28：计算二重积分，为所围区域．解：如图，区域关于原点对称，对于被积函数，有，．例29：计算，其中由所围成，是上的连续函数．解：本身没有对称性，但是，其中是由与所围成，它是关于轴对称的区域；是中除去即由所围成的区域，它是关于轴对称的区域．．4.3三重积分例30：计算三重积分，其中由球面与锥面围成．解：显然，区域关于轴对称，而分别是关于和的奇函数，因此，于是．例31：求，其中为抛物体与球体的公共部分，如图所示．解：由于关于平面对称，而，关于是奇函数，所以．又关于平面也对称，而关于是奇函数，所以；所以原式．因为，有．所以．由对称性可知：．又，所以．5挖掘潜在的对称性5.1对称区间上的几个特殊公式上面的公式在定积分的计算中应用非常广泛，它可使计算过程大大得到简化.但我们知道，函数中大部分都是非奇非偶函数，对这类函数在对称区间上的定积分问题是否有特殊的公式加以解决呢？设在（）上连续，则：(1)之所以这个公式不被重视，是因为习惯上，往往只注重事情的结果而不重视事情的过程.显然，当的原函数比的原函数更易求出时，公式(1)就会显示出它的明显优势，以下举例说明公式(1)的应用．例32：求．解：．例33：求．解：．5.2非对称区间上的几个特殊公式同样，当积分区间不对称且被积函数本身并没有特性可以利用时，运用变量代换将积分变形，可以证明在定积分计算中非常有用的几个特殊公式．定理5.1：设函数在区间上可积，则(2)特别的，当在区间，则(3)证明：设，则，且当时，；当时，.于是有：．同理(3)式可由(2)式直接推得．例34：．根据公式(3)，有推论，这是一个值得注意的结论，它利用了与的“互余性”，以下几例是它的一些巧妙应用.例35：．例36：求．解：，．同公式(3)，类似当被积函数不易积分时，可以通过两个相关积分的组合，改善被积函数，使积分变得较以前容易．定理5.2：设在上连续，则(4)当含有三角函数，2a是或的整数倍时，因为含有的原函数或它的余函数，所以利用诱导公式，的原函数可能比的原函数更容易求出，以下说明公式(4)的应用．例37：求．解：．例38：求．解：．例39：计算．解：设，因为在上有界，且只有可去间断点，故定积分存在，但的原函数不是初等函数，所以不能用定积分的方法来计算，于是用寻找对称性的方法来计算，易发现：．．当函数的积分区间长度是被积函数的周期或是周期的整数倍时，可以利用下面的公式缩短积分区间．定理5.3：设是定义在上的周期为的连续函数，则．例40：．例41：求．解：因为以π为周期，所以．定理5.4：设函数的定义域是，则的图象关于直线对称的充分且必要条件是：对于任意的，都有,且．证明：在函数的图象上任意取点．先证必要性：因为的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点必在曲线上,设点，连结这样，直线是线段的垂直平分线，则,.所以，从而．由点的任意性可知：对于任意的，都有，且．再证充分性：因为对于任意的，都有，所以点也在函数的图象上.设线段的中点为，则点的横坐标为，这是一个常数，那么直线是一条定直线；而任意的，都有.那么线段平行于轴，所以定直线是线段的垂直平分线.由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．例42：求．解：被积函数关于轴对称，．例43：求．解：关于轴对称，关于中心对称，被积函数关于中心对称，区间是关于的对称区间．由上述结论得：．定理5.5：设函数在区间上可积，，则有证明：因为，，所以函数的图象在区间上关于直线对称，平移坐标轴，将原点移到点，，坐标系下，原曲线关于轴对称，.,；时;，；．即.同理可证，所以．例44：设函数在区间上连续，证明．（分析：对于等式左边的定积分，被积函数积分下限为，积分上限为.为了讨论被积函数的对称性，设，．）证明，，，则从而.，由定理可知:被积函数的图象在区间上关于直线对称．所以根据定理2有，即．

6小结对称性的概念在数学中有广泛而重要的应用.在利用对称性求解积分题时，一般有以下两种情况：一是积分区域具有某种对称性，可利用对称性对问题进行求解；另一种情况是积分区域不具有某种对称性，或所具有的对称性不明显，这时可通过一定的方法，根据问题的特点构造对称性．本文通过介绍对称性在一重积分，二重积分，三重积分的定理及运用，清楚地认识到了对称性在简化积分计算中的作用.例如一些看似很复杂的积分计算，在运用了对称性理论之后，便能立即得到答案；还有一些被积函数本身不具有奇偶性且对称区域也不具有对称性时，可以先挖掘出潜在的性质，再用定理，便可马上解出答案.因此，研究对称性，具有一定的实际意义和理论价值．

参考文献:DaleVarberg,EdwinJ.Purcell,StevenE.Rigdon.Calculus[M].ChinaMachinePress，2002,6,242~247.DavidNualart,AnlysisonWienerspaceandanticipatingstochasticcalculus.[M].LecturesonProbabilityTheoryandStatistics,1998.刘涛.利用对称性-奇偶性求积分[J].黄石理工学院，2007,(09):71~72.李长江.一组重积分定理的对称原理证法及其应用[J].高等函授学报（自然科学版）,2007,14(03):38~43.毕吕秀，除胜英.对称性区域的积分[J].山东农业大学学院（自然科学版）,2006,30(02):284~286.刘卫江.利用对称性计算多元函数积分[J].空军电讯工程学院,1995,07(01):18~20.周翠莲.对称区域的上积分[J].山东工程学院学报，1995,16(02):59~62.张德生.利用对称性计算曲线积分与曲面积分[J].陕西机械学院，1994,11(02):26~27.曾华，孙霞林.三重积分及曲面积分的算法研究[J].长江工程职业技术学校学报,2006,28(03):79~80.程黄金，陈伟.重积分计算中的对称性定理及应用[J].中国科技信息，2006,181(07