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文档简介
2021年高考理数真题试卷(北京卷)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
1.已知集合A={x||x|V2},B={-1,0,1,2,3},则AnB=()
A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}
【答案】C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】集合A={x\-2<x<2},集合B={x|-1,0,1,2,3},所以力nB={-1,0,1}
【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出ACB.
2x-y<0,
2.若x,y满足{x+yS3,,则2x+y的最大值为()
x>0,
A.0B.3C,4D.5
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】可行域如图阴影部分,目标函数平移到虚线处取得最大值,对应的点为(L2),最大
值为2x1+2=4.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义是直线的纵截距,利用数形结合即可求z的
取值范围.
3.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()
【答案】B
【考点】程序框图
【解析】【解答】开始a=1,k=0;第一次循环。=一2,k=1;第二次循环a=-2,k=
2,第三次循环a=l,条件判断为"是"跳出,此时k=2
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运
行过程,可得答案.
4.设a,b是向量,贝『'|a|=|b|"是"|a+b|=|a-b|"的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【考点】充要条件,向量的模
【解析】【解答】若同=|耳成立,则以a,b为边组成平行四边形,那么该平行四边形为菱形,
a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以\a+b\=\a-b\不一定成
立,从而不是充分条件;反之,\a+b\=\a-b\成立,则以a,b为边组成平行四边形,则该平行四
边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以\a\=\b\不一定成立,从而不是必要条件.
【分析】根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案
5.已知x,yCR,且x>y>0,则()
A.->0B.sinx-siny>0C.(1)x-(1)v<0D.lnx+lny>0
xy
【答案】C
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A.考查的是反比例函数y=工1在(0,+叼单调递减,所以1:1〈:即1:1一:<。所
Xxyxy
以A错;
B.考查的是三角函数y=sinx在(0,+°°)单调性,不是单调的,所以不一定有sinx>siny,B
错;
c.考查的是指数函数y=G)*在(0,+8)单调递减,所以有G)x<G)y即G尸一(》y<o所以c
对;
。.考查的是对数函数y=Inx的性质,Inx4-Iny=Inxy,当%>y>°时,xy>0不一定有
Inxy>0,所以D错
【分析】x,yWR,且x>y>0,可得:工<立sinx与siny的大小关系不确定,(▲)x<(工)y,
xy22
Inx+lny与0的大小关系不确定,即可判断出结论.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
D.1
【答案】A
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥,则通过侧视图得高4=1,底面积S=1x
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,进而可得答案.
7,将函数v=sin<2「土)图像上的点P(-,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若叫立
yx34
于函数y=sin2x的图像上,则()
A.t=is的最小值为三B.t=3,s的最小值为三
2626
c.t=is的最小值为AD.t=3,s的最小值为三
2323
【答案】A
【考点】函数y=Asin(3X+6)的图象变换
【解析】【解答】点P(?,t)在函数y=sin(2x—y)上,所以t=sin(2x;—;)=sin(?)=:,然
后y=sin(2x—y)向左平移s个单位,即y=sin(2(x+s)—g)=sin2x,所以5=
Z,所以s的最小值为三
6
【分析】将*=夕TT弋入得:t=41进而求出平移后P'的坐标,进而得到S的最小值.
8.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将
其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直
到袋中所有球都被放入盒中,则()
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】B
【考点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】取两个球往盒子中放有4种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加1个;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个.
因为红球和黑球个数一样,所以①和②的情况一样多,③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响.
①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.
综上,选B
【分析】分析理解题意:乙中放红球,则甲中也肯定是放红球;往丙中放球的前提是放入甲中的不是红
球,据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.设aeR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=。
【答案】-1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】(1+j)(a+j)=a-1+(a+l)j
其对应点在实轴上
a+1=0,a——1
【分析】(l+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,则a+l=0,解得答案
10.在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)
【答案】60
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理得含%2的项为法(一2乃2=60/
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.
11.在极坐标系中,直线pcos9一次Psin。-1=0与圆p=2cos0交于A,B两点,则|AB|
【答案】2
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】将极坐标转化为直角坐标进行运算X=pcos。,y=psin。
直线的直角坐标方程为%-V3y-1=0
p=2cos。,p2(sin20+cos20)=2pcos0x2+y2=2x
圆的直角坐标方程为(x—1)2+y2=i
圆心(1,0)在直线上,因此AB为圆的直径,\AB\=2
【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆心C在直线上可得|AB|.
12.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若即=6,a3+a5=0,则S6=
【答案】6
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】<的+。5=2。4一•以=0
%=6,04=%+3d-・d=-2
S6=6。1+6":T)d=6
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差,由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6.
13.双曲线]一[=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,0C所在的直线,点B为该双曲线
的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=.
【答案】2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨令B为双曲线的右焦点,A在第一象限,则双曲线图象如图
04BC为正方形,\0A\=2:.c=\0B\=2^2,40B=:
,•,直线04是渐近线,方程为y=^x,3=tanN71OB=l
文:a2+b2=c2=8a=2
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边,得到双曲线的渐近线互相垂直,即双曲线是等轴双曲线,
结合等轴双曲线的性质进行求解即可
14.设函数{X3-3X,X-a,
①若a=0,则f(x)的最大值为;
②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是
(答案】2;a<—1
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】由(%3_3尤)’=3/_3=0,得工=±1,如下图,是f(x)的两个函数在没有限
制条件
时的图象.
①Qx)max=f(T)=2;
②当a2—1时,f(x)有最大值〃-1)=2;
3
当a<-1时,—2K在%>a时无最大值,且-2a>(%-3x)max.
所以,a<—1.
【分析】①将a=0代入,求出函数的导数,分析函数的单调性,可得当X=-1时,f(x)的最大值为2;
a>-1
a4-1
②若f(X)无最大值,则,,或<-2a>a,一3a,解得答案.
-2a>a3一3a
-2a>2
三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15.在4ABC中,Q3+=/+y/2ac
(1)求的大小
(2)求&cosA4-cosC的最大值
【答案】(1)解:a2+c2=h24-y[2ac
a2+c2—b2=y]2ac
a2+c2-b2_\[2acV2
2ac2ac2
n
/B
4
(2)解:A+B+C=
4+C=%
V2coSi4+cosC
V2V2
=V2coSi4+(———cosi4)+—sinTl
=coSi4+YsinA=sin(A+:)
,•,4+。=|n
3
4e(0)-JX)
4+?eG,Jt)
sin(/l+;)最大值为1
上式最大值为1
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)根据已知和余弦定理,可得cosB=立,进而得到答案:(2)由(I)得:C=空
24
-A,结合正弦型函数的图象和性质,可得&cosA+cosC的最大值.
16.A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻
炼时间,数据如下表(单位:小时);
(1)试估计C班的学生人数;
(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所
有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),
这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记〃1,表格中数据的平均数记为“。,试判断
Mo和的大小,(结论不要求证明)
【答案】(1)解:5义100=40,C班学生40人
(2)解:在A班中取到每个人的概率相同均为巳
设A班中取到第i个人事件为A,i=12,3,4,5
C班中取到第j个人事件为=123,4,5,6,7,8
A班中取到4>Cj的概率为Pi
所求事件为D
}
则P(D)=|P1+|P2+|P3+|P4+|/5
1213131314
=5X8+5X8+5X8+5X8+5X8
3
=
8
(3)解:%<的
三组平均数分别为7,9,8.25,总均值%=8.2
但内中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08,比的小,
故拉低了平均值
【考点】用样本的频率分布估计总体分布,古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)由已知先计算出抽样比,进而可估计C班的学生人数;(2)根据古典概型概率计
算公式,可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)根据平均数的定义,可判断出内>内
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=
(1)求证:PD1平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BMII平面PCD?若存在,求等的值;若不存在,说明理由。
AP
【答案】(1)证明::平面PADJ_平面ABCD,且平面PADc平面ABCD=AD,
且AB_LAD,AB印面ABCD,
ABJ■平面PAD,
PDc?f面PAD,
AB±PD,
又PD_LPA,且PAnAB=A,
PD_L平面PAB;
(2)解:如图:
取AD中点为。,连结CO,P0-:CD^AC=V5.--CO1AD-:PA=PD:.PO14。以。为原
点,如图建系易知P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),则用=(1,1,-1),
TO=(0,-1,-1),民'=(2,0,—1),CD=(一2,-1,0)设计为面PDC的法向量,令
卷=(&,加1)覃北二;=卷=6,T,D,则PB与面PCD夹角6有sin。=|cos(增的>|=
上圾金二_3
MW厢品了3
(3)解:假设存在M点使得BM||面PCD
设方=4,M(0,y',z')
由(2)知4(0,1,。),P(0,0,l),AP=(0,-1,1),5(1,1,0),AM=(0,yz-l,zz)
有俞=AAP=M(0,l-A,A)
•••BM=(-1,-A,A)
BM||面PCD,彳为PCD的法向量
BM-n=0
即-打;I+4=0
1
=4
综上,存在M点,即当普=;时,M点即为所求
AP4
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【分析】(1)由已知结合面面垂直的性质可得AB_L平面PAD,进一步得到ABJ_PD,再由PDLPA,
由线面垂直的判定得到PDJ■平面PAB;
(2)取AD中点为0,连接C。,P0,由已知可得C0J_AD,P0±AD.以。为坐标原点,建立空间直角坐
标系,求得P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),进一步求出向量PB、PD、pc
的坐标,再求出平面PCD的法向量若,设PB与平面PCD的夹角为仇由
sine=|COs<n,丽>|=|%|求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
InIIPBI
(3)假设存在M点使得BMII平面PCD,设空=入,M(0,yi,Zi),由京二九百可得M(0,1
职时
-入,入),BM=(-1,-入,入)由BMII平面PCD,可得丽・[=0,由此列式求得当
M点即为所求.
18.设函数f(x)=x©ar+bx,曲线y=f(x)在点(2,f⑵)处的切线方程为y=(e-l)x+4,
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间。
ax
【答案】(1)解:•••/(X)=xe-+bx
axaxa-x
f(x)=e~—xe~+b=(1—x)e+b
•••曲线y=/(x)在点(2/(2))处的切线方程为y=(e-l)x+4
•••f(2)=2储-1)+4,广(2)=e-1
a2
即f(2)=2e-+2b=2(e—1)+4①
/'(2)=(1—2)e。-2+b=©-1②
由①②解得:a=2,b=e
(2)解:=a=2,b=e;
f(x)=xe2x+ex,
f(x)=e2x-xe2x+e=(1-x)e2x+e,
f"(x)=-e2x-(1-x)e2x=(x-2)e2x,
由f〃(x)>0得x>2,由f〃(x)<0得xV2,
即当x=2时,f(x)取得极小值f'(2)=(1-2)e22+e=e-1>0,
•1.f(x)>0恒成立,
即函数f(x)是增函数,
即f(x)的单调区间是(-8,+8).
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求函数的导数,根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f(2),建立方程
组关系即可求a,b的值;(2)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求f(x)的单调区
间.
19.已知椭圆C:^+4=1(a>b>0)的离心率为—,A(a,0),B(0,b),0(0,0),△OAB的面积为
a2b22
1.
(I)求椭圆c的方程;
(2)设P的椭圆C上一点,直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。求证:IANI•IBMI为定
值。
【答案】(1)解:由已知,£=立,1帅=1,又a2=〃+c2,
a22
解得Q=2,b=1,c=V3.
椭圆的方程为。+外=1
(2)解:方法一:
设椭圆上一点。(而,为),则9+%=1.
直线PA:y=六。一2),令%=0,得Mw=造.
...但河|=|1+汽
XQ-2
直线PB:y=竽x+1,令y=0,得%N=罟.
\AN\=|2+3-
x02yo
yo—1%o.z
।&+2yo-2%o+2yo2
1x-2
0y。一i
=产+4弁+4沏氏-4沏-8%+4|
XQVQ一%o_2yo+2
将F+据=1代入上式得\AN\'\BM\=4
故\AN\■\BM\为定值.
方法二:
设椭圆上一点P(2cos0,sin0),
直线PA:y=^(—2),令%=。,得加=熟・
\BM\=|sin0+cos0-l
l-cos6
ne12C0S。
直线PB■.y=-'-x+1,令y=0,得XN
ZCOStx1-sin。
\AN\=2sin^+2cos0-2
l-sin0
2sin0+2cos8-2sin。+cosO-1
2—2sin0—2cos0+2sin0cos0
=21--------------------------------------------1
1—sin。-cos。+sin0cos0
=4
故\AN\\BM\为定值
【考点】椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式,结合a,b,c的关系,解方程可得
a=2,b=l,进而得到椭圆方程;(2)方法一、设椭圆上点P(xo,yo),可得xo2+4y
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