方程与不等式之二元二次方程组全集汇编含答案

方程与不等式之二元二次方程组全集汇编含答案一、选择题1．k为何值时，方程组只有唯一解？【答案】k=.【解析】【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】由（2）得，y=x-k（3）将（3）代入（1）得，，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即，解得，k=.所以当k=时，方程组只有唯一解.【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．2．已知A，B两地公路长300km，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x小时后，甲、乙两车距离A地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR．（1）求乙车从A地到B地所用的时问；（2）求图中线段PQ的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C地取货的过程中，当x=，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h（2）（3）或【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A地到B地所花时间；即可求出乙车从A地到B地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为（km/h）甲车行驶的总路程为：（km)甲车从A地到B地所花时间为：（h）又∵两车同时到达B地，∴乙车从A地到B地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为（km)，所需时间为（h），.∴Q点的坐标为（105，）.设线段PQ的解析式为：，把（2，180）和（105，）代入得：，解得，∴线段PQ的解析式为.（3）或“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．3．解方程组：【答案】，【解析】【分析】由②得：，即得或，再同①联立方程组求解即可.【详解】由②得：，∴或把上式同①联立方程组得：，解得：，∴原方程组的解为，．4．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽lm的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m，宽为5m.【解析】试题分析：设鸡场的长为xm，宽为ym，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：，且x<14，解得y=3或5；当y=3时，x=15；∵x<14，∴不合题意，舍去；当y=5时，x=9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m，宽为5m.5．计算：（1）（2）解方程组：（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.【详解】解：（1）原式=-3+4-=（2）①×2+②，得x=0把x=0代入①式y=所以，方程组的解是（3）由①式得，x≥-由②式得，x＜所以，不等式组的解集是，把解集在数轴上表示：【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.6．已知是方程组的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】【解析】【分析】先将代入方程组中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将代入方程组中得：，则方程组变形为：，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：.【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m和n的值是解题的关键.7．解方程组：．【答案】或.【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】，由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有或解得：或原方程组的解是或【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．8．直角坐标系xOy中，有反比例函数上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，①求出A、B、C三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP面积的？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）16；（2）①A（0，），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．【解析】【分析】（1）当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA＝PK，进而得出PK2，即可得出OP2的值；（2）①连接PB，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝sin60°BP，P（m，），进而得出答案；②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可．【详解】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO＝∠OKP＝90°．又∵∠AOK＝90°，∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵AP＝KP，∴四边形OKPA是正方形，∴OP2＝OK2+PK2＝2PK•OK＝2xy＝2×816；（2）①连结BP，则AP＝BP，由于四边形ABCP为菱形，所以AB＝BP＝AP，△ABP为正三角形，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝sin60°BP，P（m，），将P点坐标代入到反比例函数解析式中，则m2＝8，解得：m＝4，（m＝﹣4舍去），故P（4，2），则AP＝4，OA＝2，OB＝BH＝2，CH＝BH＝2，故A（0，），B（2，0），C（6，0）；②设过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将A点坐标代入得，a，故解析式为，过A点作BP的平行线l抛物线于点Q，则Q点为所求．设BP所在直线解析式为：y＝kx+d，则，解得：，故BP所在的直线解析式为：，故直线l的解析式为，直线l与抛物线的交点是方程组的解，解得：，，故得Q（0，），Q（14，），同理，过C点作BP的平行线交抛物线于点Q1，则设其解析式为：yx+e，则0＝6e，解得：e＝﹣6，故其解析式为：yx﹣6，其直线与抛物线的交点是方程组的解，可求得Q1（8，2）和（6，0）．故所求满足条件的Q点有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．9．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm、16cm、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a、b，则斜边为，根据已知得：求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a、b，则斜边长为，根据题意得，解得或，经检验，和都是方程的解，所以斜边长为cm.答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.【点睛】此题运用三角形面积表示出，然后由勾股定理导出是关键．10．(1)解方程组：(2)解方程组：【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由得，将其代入求出y的值，再根据y的值分别求出对应的x的值即可；（2）设，，方程组变形后求出A，B的值，然后得到关于x，y的方程组，再求出x，y即可．【详解】解：（1）由得：，将代入得：，整理得：，解得：或，将代入得：，将代入得：，故原方程组的解为：或；（2）设，，则原方程组变为：，解得：，∴，解得：，经检验，是方程组的解．【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．11．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.根据题意，得解这个方程组，得答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.12．解方程组：.【答案】，，，.【解析】【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．【详解】由①得：（x+2y）2＝9，x+2y＝±3，由②得：x（x+y）＝0，x＝0，x+y＝0，即原方程组化为：，，，，解得：，，，，所以原方程组的解为：，，，．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．13．解二元二次方程组【答案】【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x，利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解．【详解】解：，把①变形y＝1﹣x，代入②得x2﹣（1﹣x）﹣2x﹣1＝0，化简整理得x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，把x＝2代入①得y＝﹣1，把x＝﹣1代入①得y＝2，所以原方程组的解为：．【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．14．解方程组：．【答案】

，【解析】【分析】先将化为或，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由得，得或，原方程组可化为，解得，原方程组的解为

，原方程组的解为

，．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.15．【答案】或【解析】【分析】本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数，求出未知数的值后，进而求得这个方程组的解．【详解】解：由①得：③把③代入②，得,整理得：，解得，．当时，当时，原方程组的解为，．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．16．解方程组：【答案】，【解析】【分析】先将第2个方程变形为x+6y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：，由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，原方程组可化为或，故原方程组的解为，．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．17．解方程组：【答案】，【解析】【分析】先将第1个方程变形为x＋2y＝3，x＋2y＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：方程①可变形为得：，它们与方程②分别组成方程组，得；或解得，所以，原方程组的解是，【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．18．解方程组：.【答案】.【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y，代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x＝3y③，将③代入②，得(3y)2+y2＝20，整理，得y2＝2，解这个方程，得y1＝，y2＝﹣④，将④代入③，得x1＝3，＝﹣3，所以，原方程组的解是【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.19．△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F分别是AC，BC边上的两点，EF交于CD于H，（1）如图1，若∠EFC=∠A，求证：CE•CD=CH•BC；（2）如图2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的长；（3）如图3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4，求的值．【答案】（1）见解析;（2）2;（3）.【解析】【分析】（1）只要证明△ECH∽△BCD，可得=，即可推出CE•CD=CH•BC；（2）如图2中，连接AH．只要证明△AEH∽△HFB，可得=，推出FH2=6，推出HE=HF=，即可解决问题．（3）只要证明△ECF∽△BCA，求出CF即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°+BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠B