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文档简介
§4.1向量的内积一、向量的内积及其性质二、向量的长度及其性质三、正交向量组四、规范正交基及其求法五、正交矩阵及其性质复习小结1线性代数向量的内积5/9/2024§4.1向量的内积、长度及正交性前面学习了向量的线性运算:加法和数乘,但未涉及到向量的度量性质,如长度、距离等等。从今天开始,我们就来学习一下这方面的概念。当然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。本节概述2线性代数向量的内积5/9/2024内积:设有n维向量x
(x1
x2
xn)T
y
(y1
y2
yn)T
令[x
y]
x1y1
x2y2
xnyn
[x
y]称为向量x与y的内积
§4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积及其性质内积是两个向量之间的一种运算
其结果是一个实数
若用矩阵乘法表示
当x与y都是列向量时
有[x
y]
xTy
注意:3线性代数向量的内积5/9/2024内积的性质
设x
y
z为n维向量
为实数
则
(1)[x
y]
[y
x]
(2)[
x
y]
[x
y]
(3)[x
y
z]
[x
z]
[y
z]
(4)当x
0时
[x
x]
0
当x
0时
[x
x]
0
(5)[x
y]2
[x
x][y
y]——施瓦茨不等式
§4.1向量的内积、长度及正交性返回4线性代数向量的内积5/9/2024向量的长度:
二、向量的长度及其性质
注意:5线性代数向量的内积5/9/2024
设x
y为n维向量
为实数
则
(1)非负性
当x
0时
||x||
0
当x
0时
||x||
0
(2)齐次性
(3)三角不等式
||x
y||
||x||
||y||
向量长度的性质:返回6线性代数向量的内积5/9/2024向量夹角:当[x
y]
0时
称向量x与y正交
显然
若x
0
则x与任何向量都正交
三、正交向量组向量正交:7线性代数向量的内积5/9/2024Th1:若n维向量a1
a2
ar是一组两两正交的非零向量
则a1
a2
ar线性无关
证明:8线性代数向量的内积5/9/2024例1
已知3维向量空间R3中两个向量a1
(1
1
1)T
a2
(1
2
1)T
正交
试求一个非零向量a3使a1
a2
a3两两正交
解:
设a3
(x1
x2
x3)T
则a3应满足a1Ta3
0
a2Ta3
0
取a3
(
1
0
1)T即合所求
得基础解系(
1
0
1)T
即a3应满足齐次线性方程组返回9线性代数向量的内积5/9/2024向量空间V的基:V的最大无关组就称为向量空间V的基.向量空间V的维数:V的秩就称为向量空间V的维数.四、规范正交基及其求法10线性代数向量的内积5/9/2024向量的坐标:如果在向量空间V中取定一个基a1
a2
ar
那么V中任一向量x可唯一地表示为
x
1a1
2a2
rar
数组
1
2
r
称为向量x在基a1
a2
ar下的坐标
§4.1向量的内积、长度及正交性11线性代数向量的内积5/9/2024例2:证明单位坐标向量组e1
e2
en是向量空间Rn
的一组基
并且任意向量x(k1
k2
kn)T可表示为
x
k1e1
k2e2
knen
§4.1向量的内积、长度及正交性可见一个向量在基e1
e2
en中的坐标就是该向量的分量
向量组e1
e2
en叫做Rn中的自然基
12线性代数向量的内积5/9/2024例3:齐次线性方程组的解集S
{x|Ax
0}
是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)
例4:非齐次线性方程组的解集S
{x|Ax
b}
不是向量空间
这是因为当S为空集时
S不是向量空间
当S非空集时
若
S
则A(2
)
2b
b
知2
S
§4.1向量的内积、长度及正交性13线性代数向量的内积5/9/2024规范正交基:设n维向量a1
a2
ar是向量空间的一个基
如果a1
a2
ar两两正交
且都是单位向量
则称a1
a2
ar是V的一个规范正交基
是R4的一个规范正交基
比如:14线性代数向量的内积5/9/2024向量在规范正交基下的坐标 若e1
e2
er是V的一个规范正交基
那么V中任一向量a应能由e1
e2
er线性表示
并且
a
[a
e1]e1
[a
e2]e2
[a
er]er
事实上
设a
1e1
2e2
rer
则eiTa
ieiTei
i
即
i
eiTa
[a
ei]15线性代数向量的内积5/9/2024施密特正交化方法设a1
a2
ar是向量空间V中的一个基
取向量组
容易验证b1
b2
br两两正交。16线性代数向量的内积5/9/2024把b1
b2
br单位化
即得V的一个规范正交基17线性代数向量的内积5/9/2024例3
已知a1
(1
1
1)T
求一组非零向量a2
a3
使a1
a2
a3 两两正交
a2
a3应满足方程a1Tx
0
即x1
x2
x3
0
它的基础解系为
1
(1
0
1)T
2
(0
1
1)T
把基础解系正交化
即得所求
亦即取解§4.1向量的内积、长度及正交性返回18线性代数向量的内积5/9/2024正交阵:如果n阶矩阵A满足ATA
E(即A
1
AT)
那么称A为正交矩阵
简称正交阵
正交矩阵举例
§4.1向量的内积、长度及正交性五、正交矩阵及其性质19线性代数向量的内积5/9/2024正交矩阵的性质:20线性代数向量的内积5/9/2024正交变换:若P为正交矩阵
则线性变换y
Px称为正交变换
设y
Px为正交变换
则有
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