类型五特殊三角形的存在探究问题

类型五特殊三角形的存在探究问题题型四二次函数与几何图形综合题1类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024典例精讲满分技法问题找点求点坐标等腰三角形已知点A、B和直线l,在l上求点P，使△PAB为等腰三角形分别以点A、B为圆心，线段AB长为半径作圆，再作AB的中垂线，两圆和中垂线与l的交点即为所有P点“万能法”其他方法分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB=AP；②AB=BP；③BP=AP列方程解出坐标作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系2类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024问题找点求点坐标直角三角形已知点A、B和直线l,在l上求点P，使△PAB为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2=BP2+AP2；②BP2=AB2+AP2；③AP2=AB2+BP2列方程解出坐标作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系3类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024例5如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A(-1,0),B（3,0），与y轴交于点C,直线BC的解析式为y=kx+3,抛物线的顶点为D,对称轴与直线BC交于点E,与x轴交于点F.自主作答：例5题图①4类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024【思维教练】已知A,B点坐标，可将抛物线解析式设为交点式，然后代入C点坐标，求解即可，而C点是直线y=kx+3与y轴的交点，只需令x=0求出y的值即可求得C点坐标.（1）求抛物线的解析式；5类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024解：（1）∵直线BC的解析式为y=kx+3,令x=0，得y=3,∴点C的坐标为（0,3）,又∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）,将C（0,3）代入，得-3a=3,解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3;6类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024【思维教练】观察题图可知△CAF应该是以AC、FC为腰的等腰三角形，又因为CO⊥AF,所以只需求得AO=FO即可得证，A点坐标已知，F点为对称轴与x轴的交点，只需再根据抛物线解析式求出对称轴即可.（2）判断△CAF的形状，并说明理由；自主作答：例5题图②7类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024（2）△CAF是等腰三角形.理由如下：由（1）得抛物线y=-x2+2x+3得其对称轴为直线x=1,∴点F的坐标为（1，0），∴AO=OF=1,∵CO⊥AF,∴CO是线段AF的垂直平分线，∴CA=CF，∴△ACF是等腰三角形；8类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024【思维教练】当△BCG是以BC为腰的等腰三角形时分CG=CB和BG=BC两种情况，用类似上面的方法求解即可.（3）x轴上是否存在点G,使得△BCG是以BC为腰的等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；自主作答：例5题图③9类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024（3）存在.设点G的坐标为（g,0）,∵C（0，3），B（3，0），∴在Rt△OBC中，由勾股定理得BC=3,∴△BCG是以BC为腰的等腰三角形时，可分以下两种情况讨论：（i）△BCG是以BC为腰，C为顶点的等腰三角形，如解图①，∵CO⊥BG,∴GO=BO=3,∴点G的坐标为（-3，0）；10类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024（ii）△BCG是以BC为腰，B为顶点的等腰三角形，BG=|3-g|=3,解得g1=3+3,g2=3-3,此时点G的坐标为（3+3,0）,（3-3,0）.综上，存在点G使得△BCG是以BC为腰的等腰三角形，此时点G的坐标为(3+3，0)或(3-3，0)或(-3，0)；例5题解图①

11类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024【思维教练】由∠EBO＜90°，可知要使△BGE是直角三角形.只需分∠EGB=90°或∠GEB=90°两种情况讨论即可求解.（4）在x轴上是否存在点G使得△BGE是直角三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；自主作答：例5题图④12类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024(4)存在.∵点G在x轴上，设点G的坐标为(g,0).由EF⊥x轴，易得当点G与F重合时，△BEG是以∠EGB为直角的直角三角形，此时点G的坐标为(1，0)；当G′E⊥EB,即∠G′EB=90°时，∵∠EBG′=45°，∴∠EG′B=45°,∴EG′=EB,∵EF⊥BG′,13类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024∴G′F=BF=2,此时点G′与点A重合，其坐标为(-1,0);综上，存在点G使得△BGE是直角三角形，点G坐标为(1,0)或(-1,0);14类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024【思维教练】分∠HCB=90°，∠HBC=90°，∠CHB=90°三种情况讨论，利用直角三角形的性质求解.(5)若点H在抛物线的对称轴上，是否存在点H使得△BCH是直角三角形，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；自主作答：例5题图⑤15类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024(5)存在.设点H的坐标为(1,h)，要使△BCH为直角三角形，分以下三种情况讨论：(i)∠H1CB=90°，如解图②，∵DC⊥BC,点H1在抛物线对称轴上，∴此时点H1与点D重合，坐标为H1(1,4)；16类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024例5题解图②例5题解图③例5题解图④17类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024(ii)∠H2BC=90°,如解图③，易得∠BEH2=∠BH2E＝45°，∴BE=BH2,又∵BF⊥EH2,∴FH2=EF=2,∴点H2的坐标为(1，-2);(iii)∠CH3B=90°,如解图④，过点C作CM⊥DF于点M，则∠CH3M+∠BH3E=90°,∠BH3E+∠FBH3=90°,18类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024∴∠CH3M=∠FBH3,又∵∠CMH3=∠BFH3=90°,∴△CH3M∽△H3BF,∴,解得,∴H3(1,),H4(1,).综上所述，存在点H使得△BCH是直角三角形，点H的坐标可为H1(1,4)，H2(1,-2)，H3(1,)，H4(1,);19类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024【思维教练】根据等腰直角三角形的性质，有一个角为直角，一个锐角为45°，结合∠CBO=∠BCO=45°，从而考虑分三种情况：①∠PCQ=90°，PQ∥y轴；②∠CPQ=90°，CP∥x轴；③∠CQP=90°，CP∥x轴，分别进行讨论即可得出结果.20类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024（6）设点P是第一象限内抛物线上的动点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P使得△PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.自主作答：例5题图⑥21类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024(6)存在.∵△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC=90°,∴∠CBO=45°,∵点Q在直线BC上，∴设点Q的坐标为(t,-t+3),(i)当∠PCQ=90°,PQ∥y轴时，如解图⑤，此时点P与点D重合，坐标为P(1，4)，∠PQC=∠BCO=45°,此时△PCQ是等腰直角三角形，即点Q与点E重合，点Q的坐标为(1,2);例5题解图⑤22类型五特殊三角形的存在探究问题5/9/2024(ii)当∠CPQ=90°,CP∥x轴时，如解图⑥，则PQ∥y轴，∠PCQ=∠CBO=45°,此时△CPQ是等腰直角三角形，且点P的坐标为(2,3),点Q的坐标为(2，1)；例5题解图⑥23类型五特殊三角形的存在探究问题