向量的数量积和应用

向量的数量积题型一向量数量积的运算例1(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC的边长为eq\r(2)，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.例2已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.[题型练透]1.已知正方形ABCD的边长为2，分别求：(1)·；(2)·；(3)·.2.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.题型二与向量的模有关的问题例3(1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为eq\f(π,3)，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．例4若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．[题型练透]1.已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.2.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10题型三两个向量的夹角问题例5已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．例6已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，ceq\a\vs4\al(＝)(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[题型练透]1.已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)＋1，eq\r(3)－1)，则a与b的夹角为________．2.若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．题型四两个向量的垂直问题例7已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？例8已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．[题型练透]1.已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)C．4 D．－42.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq\f(|a|,|b|)＝________.[玩转练习]1．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于()A．－1B．0C．1D．22．已知|a|＝9，|b|＝6eq\r(2)，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为()A．45°B．135°C．120°D．150°3．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－14．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2)D．15．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于()A．0B．2eq\r(2)C．4D．86．在△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,3)，则k的值为________．7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.8．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是________．9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(a－λb)⊥