特征值特征向量

定义1设A为n阶方阵，X是n维向量，如果存在数l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量方程AX=lXAX-lX=O(A-lE)X=O特征值:使n元齐次方程AX=lX

有非零解的数l0A的对应于l0的特征向量：即不论l取何值，方程AX=lX一定有解§4·3矩阵的特征值和特征向量5/9/20241特征值特征向量.例如：对，取l=4，代入方程AX=lX得AX=4X(A-4E)X=O(A-4E)X=O有非零解5/9/20242特征值特征向量.所以，l=4是矩阵A的一个特征值对，取，得一个基础解系则方程(A-4E)X=O的全部解为：c为任意常数A的属于l=4

的特征向量：c≠05/9/20243特征值特征向量.1、求n阶方阵A的特征值：数l0是A的特征值l0使方程AX=lX有非零解因此：l0是A的特征值l0使成立求A的特征值步骤：

(1)计算n阶行列式解得方程的根l1，l2，…，ln，则l1，l2，…，ln即是A的特征值5/9/20244特征值特征向量.设5/9/20245特征值特征向量.则方程即是

的n次方程

在复数域上，方程一定有n个根。A的特征多项式方程A的特征方程5/9/20246特征值特征向量.定义2设A为n阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：则称为的代数重数(重数)，而特征子空间的维数称为几何重数(度数)。显然：5/9/20247特征值特征向量.解：令，得

l1=-1，l2=7则A的特征值为l1=-1，l2=7【例1】求的特征值5/9/20248特征值特征向量.2、求A的属于特征值l的特征向量设li是A的特征值，则方程AX=li,X有非零解.即方程(A-liE)X=O有非零解，方程组(A-liE)X=O的全部非零解A的对应于特征值li的特征向量:5/9/20249特征值特征向量.2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系

V1、V2、…、Vs

步骤：1）把

l=li代入方程(A-liE)X=O得一齐次线性方程组(A-liE)X=O3）A的属于特征值li

的特征向量为：是不全为零任意常数5/9/202410特征值特征向量.【例2】求矩阵的特征值与特征向量

解：得

l1=2，l2=l3=1（二重根）则A的特征值为l1=2，l2=l3=1把l1=2代入方程(A-lE)X=O

，得(A-2E)X=Oïîïíì==+-=+-0040312121xxxxxîíì==0021xx5/9/202411特征值特征向量.,得一基础解系于是，A的属于l1=2的全部特征向量为：把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O

，得(A-E)X=O行变换于是，A的属于

2=1的全部特征向量为：取13=xîíì=+=+-0023121xxxxîíì-==13122xxxx得一基础解系取11=x5/9/202412特征值特征向量.解：得

1=-2，

2=

3=7（二重根）则A的特征值为

1=-2，

2=

3=7把l1=-2代入方程(A-lE)X=O

，得(A+2E)X=O【例3】求矩阵的特征值与特征向量5/9/202413特征值特征向量.于是，A的属于l1=-2的全部特征向量为：îíì=+-=-02023221xxxxîíì==232122xxxx,得一基础解系取12=x5/9/202414特征值特征向量.把l2=l3=7代入方程(A-lE)X=O

，得(A-7E)X=O令分别取，得基础解系于是，A的属于l2=l3=7的全部特征向量为：022321=++xxx31222xxx--=5/9/202415特征值特征向量.定理1

n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。即若是属于特征值l1的特征向量

是属于特征值l2的特征向量且l1≠l2，则与线性无关5/9/202416特征值特征向量.证明：设l1、l2、…、lm是A的m个不同的特征值，

a1、a2、…am是分别属于l1、l2、…、lm

的特征向量，即是方程的非零解

要证：线性无关设：即有，且5/9/202417特征值特征向量.在(1)式两边左乘A，得(2)在(2)式两边左乘A，得（3）5/9/202418特征值特征向量.（1）（2）（3）（m）做矩阵乘积:（*），即B可逆5/9/202419特征值特征向量.不同特征值对应的特征向量线性无关所以：则：5/9/202420特征值特征向量.定理2设l是A的特征值，a是A的属于l的特征向量，则:(1)

kl是

kA的特征值(k为任意常数)(2)lm是Am的特征值(m为正整数)(3)当A可逆时，l≠0，且l-1是A-1的特征值5/9/202421特征值特征向量.因为

a是A的属于l的特征向量，即a是方程AX=lX的非零解，所以有

Aa=la

且a≠0

证（1）：kl是

kA的特征值且a≠0

，所以a是方程kAX=klX的非零解kl是

kA的特征值因为(kA)a要证方程(kA)X=(k

)X

有非零解=k(Aa)=k(la)=(kl)a5/9/202422特征值特征向量.先证当A可逆时，

l≠0：反证：若不然，l=0由Aa=

la

，得Aa=0因为A可逆，两边左乘A-1，得

=0。矛盾证（3）当A可逆时，l≠0，且l-1是A-1的特征值再证l-1是A-1的特征值：

因为

Aa=la，两边左乘A-1，得a=A-1la

=lA-1a

且

≠0

l-1a=A-1a

即a是方程A-1

X=l-1X的非零解故l-1是A-1的特征值5/9/202423特征值特征向量.【例4】设四阶方阵A满足求的一个特征值。解：,即A可逆,由所以l=-3是A的一个特征值且由再由定理2的（1）可知：5/9/202424特征值特征向量.定理3矩阵A与其转置矩阵A’有相同的特征值证明：即A与A’有相同的特征多项式故A与A’有相同的特征值5/9/202425特征值特征向量.定理4设l1、l2、…、ln是A的n个特征值，则

说明（1）利用本定理结论(1)可检验所求的特征值是否正确。（2）由结论(2)可得性质：n阶方阵A可逆A的所有特征值li≠0（1）l1+l2+…+ln=a11+

a22+…+ann（2）l1l2…ln5/9/202426特征值特征向量.定义3若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：则称A与B相似。定理5

若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征值。5/9/202427特征值特