2024中考数学试题研究《中点问题》 课件

中点问题目录CONTENTS知识框架构建01重点例题分析02思想方法总结03课后巩固练习0401知识框架构建几何的研究对象是什么

空间的最基本概念是“位置”几何中，“位置”用点来标记；两个位置之间的差别用线段的长度来刻画.

另一个基本概念是“方向”平面内，一条射线表达一个方向；两个方向的差别用角的大小来度量.线段角线段的中点线段的和差角的和差角平分线线

段

和

角线段的中点作AB的垂直平分线得到中点P等腰三角形三线合一直角三角形斜边中线是斜边的一半三角形的中线三角形的中位线数量关系→计算位置关系→倒角中点四边形垂径定理02重点例题分析如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AC，BD的中点，连接EF交AD于点G，则线段EG的长为

．类型一

计算线段长度（15题）例1思路一：取CD的中点H，连接EH，则EH为△ACD的中位线，可证得△EFH为直角三角形并求得EF的长.利用平行线分线段成比例证得点G为EF的中点，从而得到答案.方法总结：取中点构造中位线类型一

计算线段长度（15题）思路二：以点D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，得到点A，点B，点C的坐标.利用中点坐标公式求出点E和点F的坐标，由坐标特点证明点G为中点，再由距离公式求解.方法总结：构建平面直角坐标系如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AC，BD的中点，连接EF交AD于点G，则线段EG的长为

．例1如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为

.

例2类型一

计算线段长度（15题）方法总结：取中点构造中位线得平行相似如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为

.

例2类型一

计算线段长度（15题）方法总结：倍长中线构造“8字形”全等

如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，将线段BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接AD．（1）说明△ACD的形状，并求△ACD的面积；（2）把等腰直角三角板按如图②的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合．将图②中的三角板绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜360°)，如图③所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M．猜想并证明CM与DF之间的关系；（3）在（2）的条件下，如果CE＝1，CM＝

，请直接写出α的值．例3类型二

综合与探究（22题）图①

图②

图③

如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，将线段BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接AD．（1）说明△ACD的形状，并求△ACD的面积；例3类型二

综合与探究（22题）思路：过点A作AH⊥CD于点H四边形ABCH为矩形点H为CD的中点AH为CD的中垂线△ACD为等腰三角形，面积为2（2）把等腰直角三角板按如图②的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合．将图②中的三角板绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜360°)，如图③所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M．猜想并证明CM与DF之间的关系；思路一：延长CM到点N，使MN=CM，连接BN，可得△CEM≌△NBM，则CE∥BM，CE=BM，再证△BCN≌△CDF即得CM与DF之间的数量关系；延长MC交DF于点G，倒角即得位置关系.方法总结：倍长中线构造“8字形”全等（平行的边用于倒角）思路二：延长BC到点N，使CN=BC，连接EN，可得CM为△BEN的中位线，再证△ECN≌△FCD得EN=FD，EN⊥FD，得结论.方法总结：倍长线段构造中位线证明数量关系与位置关系（2）把等腰直角三角板按如图②的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合．将图②中的三角板绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜360°)，如图③所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M．猜想并证明CM与DF之间的关系；思路三：取CE的中点N，连接MN，则MN为△BCE的中位线，再证△MNC∽△DCF，得CM=DF，∠MCN=∠CFD，延长MC交FD于点G，倒角得垂直.方法总结：取中点构造中位线得数量关系和位置关系（2）把等腰直角三角板按如图②的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合．将图②中的三角板绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜360°)，如图③所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M．猜想并证明CM与DF之间的关系；（3）在（2）的条件下，如果CE＝1，CM＝

时，请直接写出α的值．CE＝CF=1DF=

△CDF中，CF=1，CD=2，DF=

计算∠DCF注意要分类！α=60°或300°方法提示：在抽象的图形中提取部图形解决问题类型二

综合与探究（22题）

如图①，在Rt△ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，点E在AC上．点D在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.观察与发现：（1）线段BF和EF的数量关系是

．拓广与探索：（2）如图②，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．（3）如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．例4

图①

图②

图③类型二

综合与探究（22题）

如图①，在Rt△ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，点E在AC上．点D在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.观察与发现：（1）线段BF和EF的数量关系是

．例4方法总结：直角三角形斜边

中线是斜边的一半BF=EF深入挖掘：由△CDE∽△CAB可得：∠CDE=∠CAB，

过点D作DG⊥AB于点G，作DH⊥BC于点H，连接FG.①FG=AF=DF；连接FH②△FGB≌△FDE.

思路一：过点D作DG⊥AB于点G，连接FG.①FG=AF=DF；②△FGB≌△FDE.（2）如图②，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．（3）如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．方法总结：中点→构造直角三角形，利用斜边中线是斜边的一半（2）如图②，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．（3）如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．

思路二：延长BF到点G，使FG=BF，连接DG①△FAB≌△FDG；②在Rt△BEG中，

EF=BF.

延长BF到点G，使FG=BF，连接DG①△FAB≌△FDG；连接EG，BE②△BCE∽△GDE；③在Rt△BEG中，

EF=BF.方法总结：中点→倍长中线构造8字全等，平行倒角，相等倒边（2）如图②，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．（3）如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．

思路三：延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接CP，CQ①AC=PC，CD=CQ；②证共线，由中位线得EF=BF延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接DP，AQ，CP，CQ①AC=PC，CD=CQ；②△PCD≌△ACQ；③由中位线得

EF=BF（2）如图②，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．（3）如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．

思路三：延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接CP，CQ①AC=PC，CD=CQ；②证共线，由中位线得EF=BF延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接DP，AQ，CP，CQ①AC=PC，CD=CQ；②△PCD≌△ACQ；③由中位线得

EF=BF方法总结：中点→延长线段构造中位线

直角中垂线得等腰（2）如图②，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．（3）如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．

思路四：过点F作FG⊥BC于点G，则AB∥FG∥DE①利用平行线分线段成比例得BG=EG；②由FG是中垂线得EF=BF过点F作FG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，则①由(2)得BF=FH；②△FHC≌△FEC方法总结：中点→构造平行线，利用平行线分线段成比例证中点03思路方法总结04课后巩固练习如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD上一点，DE=5，F为AE的中点，若△DEF的周长为18，则OF的长为_________.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别为边AD，CD的中点，连接AF，BE，G，H分别为BE，AF的中点，连接GH，则GH的长为

．第1题图

第2题图

综合与实践

在四边形的复习课上，老师要求大家提前准备正方形的纸片，老师选取了两个边长为3的正方形ABCD和边长为4的正方形EFGH，将点A和点E重合，保持正方形ABCD不动，在正方形EFGH绕点E旋转一周的过程中，各小组提出问题并解答.乐学小组：（1）如图①，连接DH，BF，请说明DH和BF有怎样的数量关系；（2）如图②，当GH经过点C时，线段DH的长为

；

图①图②图③

图①

图②

善思小组：（3）如图③，连接DF，取DF的中点M，连接AM，BH，请说明AM和BH有怎样的数量关系；

（4）在（3）的条件下，当点M在直线AB上时，线段CH的长为

.

图③

备用图

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD上一点，DE=5，F为AE的中点，若△DEF的周长为18，则OF的长为_________.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4