广东省揭阳市高三学业水平考试数学理

2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试数学理一、选择题：共12题1.已知==,则A.B.C.D.【答案】D所以=.故答案为：D.2.已知复数=为实数,为虚数单位)的实部与虚部相等,则A.B.C.D.【答案】B【解析】因为==的实部与虚部相等,所以,则,所以,则.故答案为：B.3.已知命题;命题若,则,下列命题为假命题的是A.B.C.D.【答案】C【解析】因为=,所以命题p是真命题,则命题是假命题;若,则,但是,故命题q是假命题,命题是真命题.所以命题是假命题,均为真命题,故选C.4.已知==,且的夹角为,则A.B.C.D.【答案】B【解析】因为==,且的夹角为,所以=====.故答案为：B.5.设x,y满足约束条件,则=的最小值为A.B.C.D.0【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由目标函数z与直线=在y轴上的截距之间的关系可知,平移直线=,当直线过点B(1,5)时,目标函数=取得最小值.故答案为：A.6.函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是A.B.C.D.【答案】C【解析】由函数的部分图象可知,该函数是偶函数,故排除B;当时,,故排除D;当x=1时,对于A选项,=,故排除A,因此选C.7.如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填入A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意,循环结构的功能是为了求出的值,当k=99时,此时S=,不满足结果,则继续循环,当k=100时,S=,满足结果,则循环结束,所以判断框中应该填入的条件为:.故答案为：A.8.某几何体三视图如图所示,则此几何体的体积为A.B.C.D.704【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是:上面是底面半径为4、高是3的圆锥,下面是底面为边长为8的正方形、高是10的长方体,所以该几何体的体积V==.故答案为：C.9.已知,则A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,所以,所以,故A错误;又,所以,所以,所以,B正确;又,所以的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知,由幂函数的单调性可知,所以的大小关系不确定,故D错误.则答案为B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。10.已知抛物线,过其焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=10,以线段AB为直径的圆与y轴相交于M、N两点,则|MN|=A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】设,则|AB|=,所以,则AB的中点的横坐标为4,即圆心的横坐标为4,则圆心到y轴的距离为4,又以线段AB为直径的圆的半径为5,所以|MN|=6.故答案为：C.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。11.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为==,则A.B.C.D.或【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得,则,所以,由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=16或10,所以c=4或,由正弦定理可得==或.故答案为：D.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.已知函数满足=,若函数=与图象的交点为则A.0B.C.D.【答案】C【解析】由=知函数的图象关于直线x=2对称,且函数=的图象也关于直线x=2对称,则两个函数图象的交点两两关于直线x=2对称,故.故答案为：C.二、填空题：共4题13.的展开式中的系数为,则实数的值为________.【答案】2【解析】的展开式中的通项,令,得r=4,所以,则.故答案为：2.14.记函数=的定义域为A,在区间[3,6]上随机取一个数x,则xA的概率是__.【答案】【解析】由可得,则=,所以在区间[3,6]上随机取一个数x,则xA的概率是P=.故答案为：.........................15.设函数=,则以下结论:①的一个周期为②的图象关于直线对称③为偶函数④在单调递减其中正确的是_.(请将你认为正确的结论的代号都填上)【答案】①②④【解析】===,所以的一个周期为,故①正确;==,所以的图象关于直线对称,故②正确;==,故③错误;若,则,由余弦函数的单调性可知,在单调递减,故④正确.故答案为:①②④16.已知双曲线=的离心率为,左焦点为,当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆=上运动时,的最小值为_____.【答案】【解析】依题意可知a=1,b=,设B(0,1),由得,问题转化为求点到圆B上点的最小值,即,故．故答案为：.三、解答题：共7题17.已知等差数列满足(1)求数列的前项和;(2)若,求数列的前n项和．【答案】(1)=；（2）.【解析】试题分析：.(1)由求出公差与首项,再利用等差数列的前项和公式求和即可；(2),利用裂项相消法求和与等比数列的前项和公式求和.解析：(1)由得数列的公差=,由得,解得∴=.(2)由(1)可得,∴====18.如图所示,平面多边形中,AE=ED,AB=BD,且,现沿直线,将折起,得到四棱锥.(1)求证:;(2)若,求PD与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）正弦值为.【解析】试题分析：(1)取的中点,连,由题意可得且,则有平面,可得结论;(2)法一:以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAB的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可；法二:利用等积法:由得=,求出点D到平面PAB的距离为h,设PD与平面所成角为,则===.解析：(1)证明:取的中点,连,∵,即,∴且,又,∴平面,而平面,∴.(2)∵OP=1,OB=2,,∴,∴OP、OB、OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则,,设为平面PAB的一个法向量,则由,令则得,∴,设PD与平面所成角为,则====,故,即PD与平面所成角的正弦值为.19.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm的茎为27,叶为1．(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为和；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由茎叶图中的数据分布情况可知,乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小；(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:=；(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为,不是二级的概率为,依题意知的可能取值为:0,1,2,3,4,求出每一个变量的概率,即可得分布列与期望.解析：(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:==,故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为或0.2)和或0.12).(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为,不是二级的概率为,依题意知的可能取值为:0,1,2,3,4.又或0.4096),或0.4096),或0.1536),或0.0256),=或0.0016).故的分布列为:或.20.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在线段上,且,当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程;(2)设直线与上述轨迹相交于M、N两点,且MN的中点在直线上,求实数k的取值范围．【答案】（1）点的轨迹C方程为=；（2）k的取值范围是.【解析】试题分析：(1)设,由=得,,由,得点的轨迹C方程为；(2)联立直线与椭圆方程,由根与系数的关系式,结合MN的中点在直线上,可得=,结合求解,可得k的取值范围是．解析：(1)设,由得,==,∵点在圆上,即=,∴,即=,∴点的轨迹C方程为=.(2)设,若直线l与x轴平行,则MN的中点在y轴上,与已知矛盾,所以,把代入=,得=,则=,由,得,由,得=,所以=,解得,所以k的取值范围是．点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.21.已知函数=a为实数).(1)若是曲线的一条切线,求a的值;(2)当时,试判断函数的零点个数．【答案】（1）（2）见解析.【解析】试题分析：(1)设切线与曲线的切点为,由题意,且,联立求解可得；(2)进行二次求导,判断函数的单调性,可得,设,求导并判断函数的单调性,可得得仅当时取“=”),再分与讨论函数的单调性,即可得函数的零点个数.解析：(1)函数的定义域为,,设切线与曲线的切点为,则切线的斜率为,即,化简得*),又且,得,∴或,联立(*)式,解得.(2)设==,由得,∴即在上单调递增,在上单调递减,得,其中,设,由,得,∴在上单调递增,得,∴仅当时取“=”),当时,,得,∴在上单调递增,又,∴函数仅有一个零点,为e;②当时,,又,∴存在,使,又,而,∴当时,,当时,,∴函数在和上单调递增,在上单调递减,又,∴函数仅有一个零点,综上所述,函数仅有一个零点．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．22.在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数,;现以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和的交点为,求的值．【答案】（1）极坐标方程为；（2）=．.【解析】试题分析：(1)消去参数可得曲线C1的普通方程,即可得其极坐标方程；(2)联立曲线和的极坐标方程