福建省福州第十八中学2022-2023学年八年级上学期开门考数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州十八中八年级（上）开门考数学试卷

一、单选题（每题4分，共40分）

1.（4分）下列说法正确的是（）

A.面积相等的两个图形是全等图形

B.全等三角形的周长相等

C.所有正方形都是全等图形

D.全等三角形的边相等

2.（4分）如图，已知△OAC四△OB。，若OC=13,OB=7,则AQ的长为（）

3.（4分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸

市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A.三角形的三条角平分线的交点处

B.三角形的三条中线的交点处

C.三角形的三条高的交点处

D.以上位置都不对

4.（4分）如图所示，已知AC=D8,AO=DO,CD=100m,则A,B两点间的距离（）

RC.

A.大于100???B.等于100/MC.小于100«?D.无法确定

5.（4分）如图，已知aABC的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形

中和aABC全等的图形是（）

A.只有乙B.只有丙C.甲和乙D.乙和丙

6.（4分）如图，已知NCAE=N2A£>,AC=AD,增加下列条件：®AB=AE；②BC=ED；

®ZC=ZD；④NB=NE.其中能使△48C丝的条件有（）

7.（4分）如图，在△ABC中，A。为N8AC的平分线，DEJ_AB于E,DFLACTF,△

A8C的面积是30a#,AB=13an,AC=1cm,则。E的长（）

8.（4分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP,使之与aABC全等，从P”P2,

P3，/四个点中找出符合条件的点P，则点尸有（）

9.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CE,BE=CF,若N4=50°,则NL>EF=

()

,0B

A.55°B.60°C.65°D.70°

10.（4分）如图，在△OAB和△OC£>中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD

=40°,连接4C,BO交于点连接OM.下列结论：①AC=B。；②NAM8=40°；

③0M平分NBOC；④MO平分/BMC.其中正确的个数为（）

二、填空题（共6小题，共24分）

11.（4分）如图，/\48（7名/\£>3。,/4=45°,/4（7。=80°，则ND8c的度数为

12.（4分）如图，AABC中，AB=5,AC=4,以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别

交AB、AC于。和E,再分别以点。、E为圆心，大于二分之一OE为半径作弧，两弧交

于点尸，连接A尸并延长交BC于点G,G”L4c于H,G”=2,则△ABG的面积为.

13.（4分）如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,/8AC=20。，DELAC^E,则/

EDC=°.

14.（4分）如图，ZXABC中，/A=90°,AB=4C,8。平分/ABC交4c于O,DEIBC

于点E,且8c=6,则△1DEC的周长是

15.（4分）如图是由6个边长相等的正方形组合的图形，则/1+N2+N3=

16.（4分）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1,在RtzMBC中，ZABC

9

=90°,80是高，E是△A8C外一点，BE=BA,NE=ZC,若DE—BD,AO=9,

3

80=12,求△8OE的面积.同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅

助线：在BD上截取B尸=。£（如图2）.同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求

得ABDE的面积为.

三、解答题（共9小题，共86分）

17.（8分）如图，点B,E,C,尸在同一条直线上，AB//DE,AB=DE,BE=CF,求证:

AC=DF.

18.（8分）如图，Z1-Z2,NA=N8,AE=8E,点。在边AC上，AE与8。相交于点

O；求证：AA£C^AB£D.

19.（8分）如图，C是AB的中点，AE=BD,NA=NB.求证：ZE=ND.

20.（8分）如图，点石在。。上，BC与AE交于点尸，AB=CB,BE=BD,/l=/2.

(1)求证：AE=CD-,

(2)证明：Z1=Z3.

21.如图，在AABC中，AB=AC,。是3A延长线上一点，E是AC的中点.

（1）实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.

①作ND4C的平分线AM；

②连接BE并延长，交AM于点F.

（2）猜想与证明：试猜想4尸与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论.

22.如图，四边形AC£»B中，NO=NAB£）=90°,点。为BO的中点，且A。平分NBAC,

OELAC,垂足为点£

（1）求证：C。平分NACC；

（2）求证：OA1.OC；

（3）判断AB,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.

23.在△A8C中，NACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且于。，BEL

MN于E.

（1）当直线MN如图（1）的位置时，求证：

①空ZXCEB；

@DE=AD+BE.

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，直接写出。E、AD.BE三者之间的关

系.

24.（12分）如图，在△ABC中，A。是BC边上的中线，交BC于点D

（1）如图①，延长AO到点E,使。E=A£>,连接BE.求证：△ACDQXEBD；

（2）如图②，若NBAC=90°,试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由.

25.（12分）在△A8C中,点。、E分别在A3、AC边上，连接。E、CD,EFJ_CD于F,

DE=CE.

（1）如图1,求证：DF=CF；

(2)如图2,若NAED=/ABC,EG工BC于G,连接BE交CD于H,求证：ZABE=

ZCBE；

(3)如图3,在(2)的条件下，若BC=6CG,DH=4,求，尸的长.

图2图3

参考答案与试题解析

一、单选题（每题4分，共40分）

1.（4分）下列说法正确的是（）

A.面积相等的两个图形是全等图形

B.全等三角形的周长相等

C.所有正方形都是全等图形

D.全等三角形的边相等

【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、

周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析.

解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，错不符合题意；

8、全等三角形的周长相等，正确符合题意；

C、正方形的面积不相等，也不是全等形，错不符合题意；

。、全等三角形的对应边相等，错不符合题意.

故选：B.

2.（4分）如图，已知△OAC四△OB。，若OC=13,。8=7,则的长为（）

【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.

解：:△OAC之△020,

：.0D=0C=U,OA=OB=1,

：.AD=OD-0A^6,

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

3.（4分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸

市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A.三角形的三条角平分线的交点处

B.三角形的三条中线的交点处

C.三角形的三条高的交点处

D.以上位置都不对

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处.

故选：A.

【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解

题的关键.

4.（4分）如图所示，已知AC=£>8,AO=DO,CD=100m,则A,B两点间的距离（

B.等于100,“C.小于100”?D.无法确定

【分析】已知AC=OB,AO=DO,得OB=OC,ZAOB^ZDOC,可以判断△AOB"

DOC,所以A8=CD=100，".

解：-：AC=DB,AO=DO,

：.OB=OC,

又NAOB=/OOC,

△A08空△DOC,

AAB=CD=100m.

故选:B.

【点评】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；题目巧妙地借助两个三角形全等来

处理问题，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.本题的关键是证AAOBg△OOC,

然后利用全等的性质解题.

5.（4分）如图，已知aABC的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形

中和△A8C全等的图形是（)

A.只有乙B.只有丙C.甲和乙D.乙和丙

【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与AABC全等；丙可

根据A4S判定与△A8C全等，可得答案.

解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与aABC全等；

乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；

丙三角形72°内角及所对边与AABC对应相等且均有50°内角，可根据A4S判定乙与

△ABC全等；

则与AABC全等的有乙和丙，

故选：D.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定

定理，注意对应二字的理解很重要.

6.（4分）如图，已知NCAE=/8AO,AC=AD,增加下列条件：®AB=AE-,②BC=ED；

③NC=ND；④N8=NE.其中能使aABC彩的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据全等三角形的判定解决此题.

解：①由NCAE=/BA。，得NCAB=/£>AE.增力口AB=AE,那么AB=AE,NCAB=

ZDAE,AC=AD,推断出△ABC丝△AED,故①符合题意.

②由NC4E=NBAO,得NCAB=NDAE.添力口BC=ED,△ABC与△AEZ）不一定全等,

故②不符合题意.

③由/CAE=NBA。，得NCAB=NDAE.增加/C=/£>,那么/C=N。，NCAB=N

DAE,AC=AD,推断出△ABCgAAEO,故③符合题意.

④由NCAE=NBAD,得NCAB=NJDAE.增加NB=NE,那么NB=NE,ZCAB=Z

DAE,AC=AD,推断出△ABC也△4E£>,故④符合题意.

综上：符合题意的有①③④，共3个.

故选：C.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关

键.

7.（4分）如图，在△ABC中，为/8AC的平分线，DE1ABE,DFLACF,△

ABC的面积是30c加2,4B=13CT«,AC=lcm,则。E的长（）

【分析】根据角平分线的性质得到OE=DF,根据三角形的面积公式计算即可.

解：为NBAC的平分线，DELAB,DFVAC,

:.DE=DF,

：.S^ABC=^XABXDE+^XACXDF=30（cm）,即13XOE+/x7XQF=30（cm），

解得DE=DF=3cm,

故选：A.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

8.（4分）如图，在方格纸中，以4?为一边作△ABP,使之与△ABC全等，从修，P2,

%，匕四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）

【分析】根据全等三角形的判定得出点尸的位置即可.

解：要使△A8P与aABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个

单位长度，故点P的位置可以是外，打，尸4三个，

故选：C.

【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位

置.

9.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CE,BE=CF,若NA=50°,则

()

A.55°B.60°C.65°D.70°

【分析】首先证明△OBE丝进而得到NEFC=NOEB,再根据三角形内角和计算

出/CFE+NFEC的度数，进而得到NOEB+/FEC的度数，然后可算出NDE尸的度数.

解：\'AB=AC,

：.ZB=ZC,

在△O8E和△ECF中，

'BD=EC

<ZB=ZC-

EB=CF

:.4DBE悬AECF(SAS),

:.NEFC=NDEB,

：NA=50°,

；./C=(180°-50°)4-2=65°,

：.ZCFE+ZFEC=\80<,-65°=115°,

：.ZDEB+ZFEC=U5Q,

.♦.NOE尸=180°-115°=65°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，以及三角形内

角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°.

10.(4分)如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC^OD,OA>OC,NAOB=NCOD

=40。，连接AC,BD交于点M,连接。M.下列结论：®AC=BD；②/AMB=40°；

③OM平分NBOC；④MO平分/BMC.其中正确的个数为()

0

c.,B

A

A.4B.3C.2D.1

【分析】由SAS证明△AOCg^BOQ得出NOC4=/OQB,AC=BD,①正确；

由全等三角形的性质得出NOAC=NOB£>,由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOAC=Z

AOB+ZOBD,得出N4MB=NAOB=40°,②正确；

作OG_LMC于G,于"，如图所示：则/OGC=NCWD=90°,由AAS证明

/\OCG^/\ODH(A4S),得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出MO平分/BMC,

④正确；

由NAOB=NCOO,得出当NOOM=NAOA/时，OM才平分NBOC,假设NDOM=N

AOM,则NC。仞=NBOM,由MO平分/BMC得出/CMO=N8M0,推出△COM^4

BOM,得OB=OC,而。4=。8,所以OA=OC,而OA>OC,故③错误；即可得出结

论.

解：VZAOB=ZCOD=40),,

ZAOB+ZAOD^ZCOD+ZAOD,

即/AOC=/B。。，

OA=OB

在△4OC和△80。中，，ZAOC=ZBOD，

OC=OD

：./\AOC^/\BOD(SAS),

：.ZOCA^ZODB,AC=BD,①正确；

；.NOAC=NOBD,

由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOAC=NAOB+NOBD,

.../AM8=/AOB=40。，②正确；

作。G_LMC于G,OH_LMB于”，如图2所示：

则/OGC=NOH0=9O°,

<ZOCA=ZODB

在AOCG和△0Q”中，，ZOGC=ZOHD，

OC=OD

:.△OCG^XODH(A4S),

，OG=OH,

平分/BMC,④正确；

•:NAOB=/COD,

...当NQOM=/AOM时，0M才平分/BOC,

假设NOOM=ZAOM

'：ZAOB=ZCOD,

；.NCOM=NBOM,

平分/BMC,

：.ZCMO=ZBMO,

fZCOM=ZBOM

在△COM和ABOM中，JQM=OM，

ZCMO=ZBMO

:ACOMQ/XBOM(ASA),

；.OB=OC,

"：OA=OB

：.OA=OC

与OA>OC矛盾，

"4•③错误；

正确的个数有3个；

故选：B.

图2

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等

知识；证明三角形全等是解题的关键.

二、填空题（共6小题，共24分）

11.（4分）如图，ZUBC0△DBC,/A=45°,N4c£）=80°,则/OBC的度数为95°.

c

【分析】根据全等三角形的性质求出NO=N4=45°,NABC=NDBC,NACB=NDCB,

求出/QCB,根据三角形内角和定理求出即可.

解：VAABC^ADfiC,NA=45°,

：.ZD=ZA=45°,ZABC=ADBC,ZACB=ZDCB,

VZACD=80°,

.\ZBCD=ZACB=40°,

AZDBC=180°-ZD-ZDCB=95°,

故答案为：95.

【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出NO=/A

=45°,NABC=/DBC,NACB=/DCB是解此题的关键，注意：全等三角形的对应

角相等，对应边相等.

12.（4分）如图，△ABC中，AB=5,AC=4,以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别

交AB、AC于。和E,再分别以点。、E为圆心，大于二分之一OE为半径作弧，两弧交

于点F,连接AF并延长交BC于点G,GHVAC于H,GH=2,MAABG的面积为5.

【分析】由作法得4G平分NA4C,过G点作GQJ_A8于Q点，如图，根据角平分线的

性质得到GH=GQ=2,然后利用三角形面积公式计算.

解：由作法得AG平分/BAC,

过G点作GQJ_AB于Q点，如图，

:.GH=GQ=2,

AABG的面积=」X5X2=5.

2

故答案为：5.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了角平分线的性质.

13.（4分）如图，在△4BC中，AB=AC,BD=CD,/8AQ=20°,QE_LAC于E,则/

【分析】由“SSS”可证△AQB也△AQC,可得NCAO=NBA£>=20°,/ADB=NAOC

=90°,由。E_LAC和三角形的内角和定理求出NAOE=70°,代入NEDC=NADC-

NADE求出即可.

解：：AB=AC,BD=CD,AD^AD,

：./\ADB^/\ADC（SSS）,

：.ZCAD=ZBAD=20°,NAO"/A£>C=90°,

'：DE±AC,

：.ZADE^90°-NCA£>=70°,

AZ£DC=ZADC-ZAD£=90°-70°=20°.

故答案为：20.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的

关键是能根据性质求出NAOC和/AOE的度数，题目比较好，难度适中.

14.（4分）如图，ZXABC中，NA=90°,AB=AC,BQ平分/ABC交AC于。，DEIBC

于点E,且BC=6,则△£>07的周长是6.

Q

BEC

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OE=AD,利用“HL”证明RtA

A8。和RtaEBO全等，根据全等三角形对应边相等可得A8=AE,然后求出△OEC的周

长=BC,再根据BC=6,即可得出答案.

解：是NABC的平分线，DELBC,/A=90°,

：.DE=AD,

在RtAABD和RtAEBD中，

(BD=BD

IAD=DE'

：.Rt/\ABD^Rt/\EBD(HL),

：.AB^AE,

：.丛DEC的周长=OE+CZ)+CE

=AD+CD+CE

=4C+CE

=A8+CE

=BE+CE

=BC,

；BC=6,

.♦.△QEC的周长是6；

故答案为：6.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的性

质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△力EC的周长=BC是解题的关键.

15.(4分)如图是由6个边长相等的正方形组合的图形，则Nl+N2+/3=135。.

【分析】利用三角形全等得到Nl+/3=90°,再加上N2=45°即可.

解：利用三角形全等可知，

Zl+Z3=90°,

又因为/2=45°,

所以Nl+N2+/3=90°+45°=135°.

故答案为：135°.

【点评】本题考查的是正方形对角线的问题，解题的关键是找到全等三角形.

16.（4分）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1,在Rt^ABC中，ZABC

9

=90°,BO是高，E是AABC外一点,BE=BA,NE=NC,若DE*BD,AD=9,

一3

BD=12,求△BCE的面积.同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅

助线：在8。上截取2F=Z）E,（如图2）.同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求

【分析】由△ABF彩△8OE,求出QF,尸。的长，再由面积公式求得即可.

解：如图所示，连接A凡

/AB£>=180°-ZBDA-/BAD=90°-ZBAD,

ZC=1800-NABC-NBAO=90°-/BAD,

"：NABD=NC,

'：ZE=ZC,

；NABD=NE,

在AABF与ABED中，

'AB=BF

<ZABF=ZBED)

BF=DE

：./\ABF^/\BED(SAS),

S^ABF=S^BDEi

7

SAABD-|BD-AD=1X12X9-54,

22

•:BF畸BD专X12=8，

oo

VBF=8,

：.DF=BD-BF=\2-8=4,

=XFD><ADX4X9=18,

•••SAAFD^^

S^ABF—S^ABD-S&AFD，

:,S&BDE-S^ABF=54-18=36,

••S^BDE=36.

故答案为：36.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的

关键.

三、解答题（共9小题，共86分）

17.（8分）如图，点B,E,C,尸在同一条直线上，AB//DE,AB=DE,BE=CF,求证:

AC=DF.

【分析】首先利用平行线的性质凡再利用SAS得出AABC丝△£>£：/，得出N

ACB^ZF,根据平行线的判定即可得到结论.

【解答】证明：•.•ABaoE,

:.NB=NDEC,

又〈BE=CF,

；.BC=EF,

在AABC和中，

'AB=DE

<ZB=ZDEF-

BC=EF

/\ABC^/\DEF,

：.NACB=NF,

：.AC//DF.

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三

角形的判定方法是解题关键.

18.(8分)如图，Z1=Z2,NA=NB,AE=BE,点。在边AC上，AE与相交于点

0;求证：/XAEC^/XBED.

【分析】由“ASA”可证△AEC岭△3E£).

【解答】证明：=

：.Z\+ZAED^Z2+ZAED,

即NAEC=NBED,

在△4EC和△BED中，

，ZA=ZB

<AE=BE，

ZAEC=ZBED

:.△AECWMBED(ASA).

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法是本题

的关键.

19.(8分)如图，C是4B的中点，AE=BD,ZA=ZB.求证：ZE=ZD.

【分析】只要证明△ACEg^BC。，根据全等三角形对应角相等的性质即可解题.

【解答】证明：是AB的中点，

：.AC=BC,

在△ACE和△BCD中，

'AE=BD

«NA=/B，

AC=BC

.♦.△4CE丝△BCD(SAS),

NE=ND.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ACEgZ\3C£>是解题的关

键.

20.（8分）如图，点E在CO上，8c与AE交于点尸，AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

（1）求证：AE=CD；

（2）证明：Z1=Z3.

【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证：

（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得

证.

【解答】（1）证明：=

NABE=NCBD,

在△ABE和△C8O中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBD«

BE=BD

A/XABE^^CBD（SAS）,

：.AE=CD；

（2）证明：由（1）知，AABE注ACBD,

：.NA=NC,

又；NAFB=NCFE,

.".Z1=Z3.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解

本题的关键.

21.如图，在△ABC中，AB=AC,。是8A延长线上一点，E是AC的中点.

（1）实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.

①作/D4c的平分线AM；

②连接BE并延长，交AM于点、F.

（2）猜想与证明：试猜想4F与BC有怎样的数量关系，并证明你的结论.

【分析】（1）①利用基本作图作AM平分ND4C；

②延长BE交AM于尸点；

（2）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质证明NCAF、=/C,从而得到AF//BC,

然后证明尸丝△CEB得至IJAF=BC.

解：（1）①如图，A例为所作；

②4尸为所作；

(2)AF//BC,AF=BC.

理由如下：'：AB=AC,

ZABC=ZC,

/平分ND4C,

：.ZDAF^ZCAF,

'：ZDAC=ZABC+ZC,即ND4F+NC4F=NABC+/C,

：.ZCAF=ZC,

J.AF//BC,

是AC的中点，

：.AE=CE,

在△AEF和aCEB中,

2EAF=NC

<AE=CE，

,ZAEF=ZCEB

/./\AEF^/\CEBCASA),

：.AF=BC.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线

段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作

已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.

22.如图，四边形4c£)3中，N£>=NABQ=90°,点0为8。的中点，且A0平分N8AC,

OELAC,垂足为点E.

(1)求证：C。平分/ACQ；

(2)求证：04L0C；

(3)判断A3,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE,从而求出0E

=0D,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；

(2)利用“HL”证明△ABO和△4E。全等，根据全等三角形对应角相等可得/4。8=

NAOE,同理求出/COQ=/COE,然后求出/AOC=90°,再根据垂直的定义即可证

明；

(3)根据全等三角形对应边相等可得AB=4E,CD=CE,然后证明即可.

【解答】(1)证明：•：ZABD=90°,OA平分NBAC,OEVAC,

：.OB=OE,

；点。为8。的中点，

：.OB=OD,

：.OE=OD,

又；EO_LAC,ZD=90°,

OC平分NACO.

(2)证明：在RtZXABO和RtZVlEO中，

(A0=A0

IOB=OE'

.\RtAABO^RtAA£O(HL),

ZAOB=ZAOE,

同理求出NCOD=/COE,

AZAOC^ZAOE+ZCOE^—X180°=90°,

2

：.OA±OC.

(3)结论：AB+CD^AC.

理由：VRtAAfiO^RtAAEO,

：.AB=AE,

同理可得CC=CE,

\"AC=AE+CE,

：.AB+CD=AC.

故答案为：AB+CD=AC.

【点评】本题是四边形综合题，考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，

到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并

作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

23.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于。，BEX.

MN于E.

(1)当直线MN如图(1)的位置时，求证：

①AADgACEB；

@DE=AD+BE.

(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，直接写出力E、AD.BE三者之间的关

系DE=AD-BE.

【分析】（1）①根据AAS证明三角形全等即可；

②利用全等三角形的性质证明即可；

（2）结论：DE=AD-BE.根据A4S证出△ACC和ACEB全等即可解决问题.

【解答】（1）①证明：如图（1）中，

VZACB=90°,ZADC=90°,ZBEC=90°

：.ZACD+ZDAC=90°,ZACD+ZBCE=90°,

:.NDAC=NBCE,

在△AOC与△CEB中，

，ZADC=ZBEC=90°

<ZDAC=ZBCE，

AC=BC

...△ADCgACEB（AAS）；

②证明：由①知，△AOC岭△BEC,

：.AD=CE,BE=CD,

,:DE=CE+CD,

：.DE=AD+BE；

(2)解：结论：DE=AD=BE.

理由：如图(2)中，:AdW于。，BELMN于E.

：.ZADC=ZBEC=NACB=90°,

：.ZCAD+ZACD=W°,ZACD+ZBCE=90°.

J.ZCAD^ZBCE.

在△ACC和△CEB中,

，ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZBEC-

AC=BC

/./\ADC^/\CEB(AAS),

：.AD=CE,CD=BE,

:.DE=EC-CD=AD-BE.

故答案为：DE=AD-BE.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型.

24.(12分)如图，在△4BC中，是8c边上的中线，交BC于点D.

(1)如图①，延长AO到点E,使。E=A£>,连接BE.求证：△ACC丝△EB。：

(2)如图②，若/BAC=90°,试探究AO与BC有何数量关系，并说明理由.

图I〕图2

【分析】(1)由SAS证△ACO丝△E8O即可；

(2)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,同(1)得△ACQ丝(SAS),则

AC=BE,NDAC=NDEB,再由SAS证△BAC丝△ABE,WBC=AE,即可得出结论

【解答】(1)证明：是BC边上的中线，

：.CD=BD,

在△ACO和△E8。中，

'AD=DE

,ZADC=ZEDB.

CD=BD