数学分析十讲习题册、课后习题答案

习题1-1

1.计算下列极限

ax-xa

(1)lim------,a>0-

r-x-a

解：原式=—=(优)'k〃一

-x-ax-a

=aa\na-a-aa~]=4(Ina-1)

sinx-sintz

(2)lim—；--------；

isin(x-a)

sinx-sin.,i

解:原式=vlim-----------=(sinx)=cosa

x=a

Xf“x—a'

]imn2(yja+~^=-2),a>0;

"T8Na

解：原式=lim3(®^)2=[(/)'l]2=ln2a

〃T8用01/n,x=0

(4)lim4(l+-)/,-l],p〉0;

〃一>8n

(l+»f

解：原式=lim(x")'L=l=PX「T

H->001lx=l=P

n

⑸lim(l+tanx)1»-(l-sinx)'»

gosinx

肘#i-(l+tan%y°—1..(1—sinx)10—1

解：原式--------------lim-------------

•s。tanxio-sinx

99

=10(l+0l,=o+10(l+f)%=20

心一T

(6)lim-7=——,〃2,〃为正整数；

iVx-1

(3)

解：原式=哂舍症!

过=巴

(/),m

x=i

2.设/（x）在玉）处二阶可导，计算盛/（/+力）-2/：：0）+/（/一〃）

解.原式.尸二+①一八、。一①1加八%+人）一尸（/）+尸（/）—/'（/一人）

.八,102/2202h

=；/"(Xo)+gr'(Xo)=/"(Xo)

limm+^wu）+］而/（/一田一广（”。）

hfO2h20-2h

3.设。>0,/(。)>0,/'(a)存在，计算

f/(a)

ln/(x)-lnf(a)

解：lim[J(，)pnx-lna=]jmelnx-lnt?

x->afWX—->Q

Hm】n/(x)Tn/(a)

limln/(x)-ln/(a)x-a

eialnx-ln^gXTcix-aInx-lntz

//)a

习题1-2

1.求下列极限

(1)lim(sinJx+1-sinvx-1);

*->+00

解：原式=limcosj缶—^[(x+l)—(x—l)]=0,其中J在x—l与x+1之间

1田2痣

/八「cos(sin^)-cosx

(2)lim--------------;

gosinx

解：原式=limsmS(sm..x)=_]淞(*>(1)「巾「x)=j_,其中J在x与sinx之间

*T0xXf0gxx6

(3)lim(A/X6+X5-\/x6-x5);

A->+00

解：原式=lim4(l+-)^-(l--r]=limx--(l+^p•[(1+-)-(1--)]

•szXXXTm6XX

13111

=lim—(l+J)6=_,其中J在1一一与i+上之间

1+0033xx

.211

(4)limn(arctan——arctan-----);

〃T+<»Nn+1

解：原式=lim/_I^(_L-—!—)=1,其中其中f在」一与！之间

〃一”1+4+1H+1n

/(。+))

2.设/(x)在。处可导,f(a)>0,计算lim

”(In/(6f+-)-lnf(a-))limH(ln/(a+-)-lnf(a-))

解：原式=lime".”=efn."

8

ln/(6f+-)-ln/(tz)lnf(a——)-lnf(a)

Him----------------+lim----------------]八。)/'(。)2f(a)

n-KC1n->oo1---------------1------------------------------

=en~n=e/(“)/(“)=e〃a)

习题1-3

1.求下列极限

(1)lim,〃wO;

1。(l+x)"-l

2Y2

解：原式=lim空=2

XT。/LIX〃

/、1-cosxcos2x•••cosnx

(2)lim,-----------;

3。Vl+x2-1

kFr-Incosxcos2x•••cosnx….Incosx+Incos2xH----1-Incosnx

解：/r=hm------------------------------=-2hm-----------------------------------------

XTO1x->0x

-X2

2

cosx-1+cos2x-1+•••+cosnx-1..x2+(2x)2H—+(nx)2

=-2lim------------------------------------------=lim--------------；------------

XT。x->0

⑶蚓—

解：原式=lim^—-=lim--~~-=lim—=-

x(ex-l)1。x272xXTO2X2

Ij_

(4)limx2[(l+x)r-xA];

XT+oO

一,,-In(l+x)-Inx11

解：原式=limx2(ex-ex)=limxo2—(ln(l+x)-lnx)-limxln(l+—)

X->+00XXT—X

r1।

=limx—=1

XT+OCX

2.求下列极限

,...1-cosx-lncosx

(1)lim―：-----；----------

e'-e~x-sinx-

11

-x~2+-x~2

解：原式=lim2,2=]

102X-X-

ln(x+e")+2sinx

(2)lim

—。sin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanx

eEh「ln(l+x+-1)+2sinx「x+eA-l+2sinx

解：原式=hm--------------------------------------=lim----------------------------------------

xf。sin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanxsin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanx

「x+x+2x

lim-------------=4A

so4X-2X-X

习题L4

1.求下列极限

(1)limn2(l-nsin

〃一>oon

解：原式=lim〃2[i一〃(_L__14+0(4))]=iim(-L+o(l))=L

〃T8n3!〃3!6

/、4「？—1—工

(2)求hm--------

iosinx

6

/c十r万+“16,)_%3c

1

解:原式=物lim

XTO2

1

(3)lim[x-x92ln(l+-)l：

—00x

解：原式=lim[x—------+o(—^-))]=—

is%2xx2

(4)lim(l+-)A%-v；

*—>+Q0JQ

[x2ln(l+i)-x]

解：原式=lim<?*-e2

XT8

此题已换3.设〃x)在x=0处可导,/(O)wO,/'(0)70.若4(〃)+步(2力)一/(0)在

/if0时是比/i高阶的无穷小，试确定a1的值.

解:因为解力)=〃0)+尸(0)用+。(力),f(2h)=f(.0)+2f\Q)h+o(h)

所以°=Hm，⑻+1(2/7)-2/(0)=Um(a+b—l)/(0)+(a+2b)尸(0)+。(力)

hT)h20h

从而a+b-\=Oa+2b=0解得：a=2,b=-\

3.设/(x)在5处二阶可导，用泰勒公式求Hm/(%+")一2/(：。)+/(/一”)

ioh

解：原式

/(%)+/(％注+^^〃2+0(/)-2/(%)+/(%)-/(/)//+^^/+%(〃2)

=lim---------------------------------------------------------------------

力10n

Hm5必士吆此

JOh2

4.设/(x)在x=0处可导，且lim(半+幺^)=2.求/(O)J'(O)和

XTOXXXT°X

ARB、Lc1-/Sinx/(x)\sinx+xf(x)

解因为2=hm(「一+q')=hvm-----卢」

XT。XXx-0x"

x+心2)+X[/(O)+/'(0)x+o(x)]

lim

2

XTOX

11m(1+/(0)»+/(0)八。(犬)

10x2

所以1+/(0)=0/(0)=2,即/(0)=一"(0)=2

所以=1亩尸〃°)+广⑼一心)=lim^±^=2

X->0XA—*0XXT°X

习题1-5

1.计算下列极限

1+;1

+•••d--『

(1)lim―四

/i—>00y/n

1

J/+1+y/n2

解：原式=limi+=]im

"T8+l一“—>8J〃+l

1+〃+2。2H---\-na

(2)lim(。>1)

“TOOnan+2

nan]

解：原式=lim—lim

22

”T8na"2一5一1)4+】“TOOna-(n-l)aa-a

c、n.__4x_ci,+2a.H---\-na

2.设hma“=a,求(Dhm-----\------n-；

«-»<»"TOO

解：原式=丘01十吗-==-

-(n-1)n^xIn-12

(2)lim----；--------,。尸0,i=l,2,…，〃•

〃foo111

------------1-----------------F…H-------------

qa2-----a“

a”,a,aa..11

解：由于hm」----2=--------n--lim一=一,

〃T8n〃T8%a

n

所以lim------------—=a

“f8111

------------1-----------------F…-I-------------

%a2an

3.设lim(九〃一x〃_2)=0，求lim土■和lim当~Z±

/I—>00"〃T8〃

解：因为lim(x“-x“_2)=。，所以lim(X2“一尤2"-2)=°

〃一>00〃T8

且”lTi8m(X2"+「々,1)=。

从而有stolz定理lim且■=lim2一&2=0,

”T82n，T002

且lim旦工=lim-fi=0

〃T82〃+1〃-002

所以lim%=0,lim—~^-=lim--lim-~~-J^izL=0

“TOO〃8〃n—>00几H—>00几—|

4.设0<九[<,，其中0<9<1,并且%+]=x“（l一，

q

证明：limnxti=—.

gooq

证明：因0<玉<一,所以

q

4=须（1—所以

q24gq

0<x9<-,用数学归纳法易证，0<z<,。

qq

x

又11L=1—<1,从而X“单调递减，

由单调有界原理，limx“存在，记limx,,=L

〃TOOZl—>00

在相+i=七,（1一如“）两边令〃一>°°，可得limx“=0

“Too

〃1

所以limnxH=lim—=lim-----

M->00M->001；J->QO1I

X“X"+|X"

x“x“+ixx(l-qx„)1_qx“1

=hrm-111+1=hm—n—n---——=lim———=—

1°x“-x“+|"HX“—x〃(l-qx“)"T8qq

习题1-6

1.设/(x)在(a,+oo)内可导，且lim幺2=A,lim/'(x)存在.

XT4<OXXT+00

证明：limfr(x)=A.

X-^+CD

证明：A=lim=lim=limf'(x)

JC->+ooxXT+00JXf+<O

2.设/(x)在(凡+8)上可微，lim/(x)和lim尸(x)存在.

证明：limfr(x)=0.

XT+co

证明:记lim/(x)=A(有限),Hmf'(x)=B(有限),则

.e'f(x)e"(x)+e"'(x)

A=lim/(x)=lim—=hm-------——-=A+B

x-.t->+ooe”,r->-Ko靖

从而8=0所以lim_f(x)=O

X-

3.设f(x)在(a,+oo)上可导,对任意的a>0,

lim[ccf(x)+xff(x)]=[3,证明：lim/(x)=—.

,t—>+aOXf+8a

证明：因为a>0,所以limx"=+8,由广义罗必达法则得

..f(、xaf(x)axa-'f(x)+xaf'(x)

limf(x)=lim------=hm-----------------

0

X->-KOXT+OOCCX'

=lim"(x)+±/'(x)]=2

XT+OOaa

4.设/(x)在(a,+8)上存在有界的导函数，证明：]im/@=0.

证明：lim上也=lim,尸(x)有界，lim—1—=0,

xlnxxT+oo]nx+l“TGIIX+1

所以limlim/⑴=0

x-xlnxXT+81nx+1

习题2-1

(此题已换)1.若自然数〃不是完全平方数，证明〃是无理数.

1.证明百是无理数

证明：反证法.假若百=V(p,qwN,且p,q互质)，

P

于是由3P2=/可知国2是02的因子,从而得g2=1即02=3,这与假设矛盾

2.求下列数集的上、下确界.

(1)<1——HGN>,

n

解：supE=l,inf£=0

(2)J(l+-)n

n

解：supE=e,infE=2

(3)J(-l)n+-(-l)n+,

n

解：supE=l,mfE=-1

(4)jyly=x2,xe(-l,g)}.

解：supE=1,inf£=0

3.设石={xlx?<2,XE。},验证inf£*=—0.

证明：VxeE,由-<2得x<—&n—后是E的一个下界.

另一方面，设％〉-血也是E的下界，由有理数集在实数系中的稠密性,

在(—痣,％)区间中必有有理数V,则x'2<2=>xtE且x'<%n%

不是E的下界.按下确界定义，infE=-&

4.用定义证明上(下)确界的唯一性.

证明：设尸为数集E的上确界，即力=51^^.按定义，

叨1€£有了《夕.若夕也是£的上确界且

夕H/不妨设/>尸，则对£=/—夕>O,*。€E

有X。>/—(£'—£)即工0>£，矛盾.

下确界的唯•性类似可证

习题2-2

1.用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.

证明：设a是E的一个下界，b不是E的下界，则a<6.

令C]=g(a+b),若A是E'的下界，则取为=G，A=/?；

若C]不是E的下界,则取为二见仇二。.

令Q=*+仇)，若C2是E的下界，则取—也为

若不是E'的下界，则取的=。1，%=。2；...，

按此方式继续作下去，得一区间套{[%,"]},且满足：

。,是E的下界，/?“不是E的下界(〃=1,2,…).

由区间套定理酒G[a,也]”=1,2,…，且lima”=lin也=J.

ZJ—>oon—>ao

下证g=infE：

(l)VxeE都有xN%(〃=1,2,…)，而J=|即4=>x*,

即J是E的下界.

(2)V『〉,由于limb“=J,从而当〃充分大以后，

M-X»

有切<一.而切不是E的下界n『不是E的下界，即自是最大下界

2.设/(x)在切上无界.证明：存在x°e［a,仪,

使得/(%)在x0的任意邻域内无界.

证明：由条件知，/(x)在［a,(a+b)/2］上或［(a+2)/2,加上无界，

记使J(x)在其上无界的区间为［%,仇］；再二等分园,仇］,

记使/(x)在其上无界的区间为［出，仇］......继续作下去，

得一区间套｛［%/“］｝，满足/(x)在⑷也J(〃=1,2,…)上无界.

根据区间套定理，3x0e［an,bn］n=l,2,---,月/ima“=limZ?(1=x0.

n—>aoM—KC

因为对任意的b〉0,存在N,当〃NN时，有［%，2/u(Xo—b,x0+5),从而可知/(x)

在(X。-3,+3)上无界

3.设/(x),g(x)在［0,1］上满足3(0)>0,/(I)<0,若

g(x)在［0,1］上连续,/(x)+g(x)在［0,1］上单调递增.

证明：存在丁€［0,1］,使f4)=0.

证明：记q=0,4=1且二等分［0,1］.若/(；)20,

则记的=；也=1；若/(g)〈0,则记出=022=(.

类似地，对已取得的［an,b„］二等分，若/(制之)>0,

则记%+1=气电力向="：若/(色詈)W0,

则记善按此方式继续下去'

得一区间套｛［明也』｝，其中f(an)>O,f(b,)<0.

根据区间套定理可知，^e［an,bn］,n=l,2,3-,

且有lima”=百=limb〃.

n—>oon—>oo

因为g(x)在［0,1］上连续,所以g(a“)一>gC),g(a)->g记)(〃->oo).

注意到g(a„)<f(an)+g(an)<f(bn)+g(bn)<g(bn)可得

g(J)=lim［/(a„)+g(an)］=lim［f(bn)+g(bn)］,

n—>ooM—

再由f(an)+g(an)<f^)+g^)<f(bn)+g(bn)可知

ge)w/e)+g《)wge)，/4)=0.

习题2-3

1.证明下列数列发散.

1n

⑴无“=彳+(一1)"丁7，〃=12…

22〃+1

证因为x2„=1+卢yT1,X2„+1=；

24/2+12

5-8)所以｛%｝发散.

1

(2)yn=-----1-------1-(—I)"—,n=1,2,,,,.

nnnn

nIn+1I

证明：因为乃”=一^-->一彳，y2,1+1=-~(〃-⑹

所以｛”｝发散.

2.证明：单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.

证明：二>由收敛数列与子列的关系，结论显然

<=不妨假设数列｛及｝单调递增，且存在收敛子列limx“=A,

k

由极限定义

对任意给定的£>0,总存在正整数当左>&时，k-$<£,

从而有A—£<X<A+£；

ntlk

由于］蛆〃忆=8,对任意〃，存在正整数K2〉K「

当大〉K2时，取N=〃勺+i，

则任意〃〉N时，A-s<x=x<x<x,<A+£

n“*+INNnn山2

所以比一A|<£,即limx“=A

11H-^OO

3.设极限lim(〃sinx+/?cosx)存在，证明：a=b=O.

XT+CO

证明：记lim(asinx+bcosx)=A山海茵定理，

XT+CO

取x^}=2n7iT+OO(HT+oo),得b=A

-)兀

取XF)=2"»H---->+oo(n—>4-oo),得a=A

2

取x："=2〃乃+?—>+8(〃—>+oo),得一^(a+b)=A,a-b-A-0

(此题取消)4.数列｛%｝收敛于。的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛

于a.

(此题改为4)5.已知有界数列｛%｝发散，证明:存在两个子列,;［和｛%了｝收敛

于不同的极限.

证明：因为｛4｝有界，由致密性定理，必有收敛的子列卜：>｝,设!吧x,J)=a.

又因为｛七｝不收敛，所以存在4>0,在("4,a+£0)以外，有｛%｝的无穷多项，

记这无穷多项所成的子列为卜“⑵｝,显然卜⑵｝有界.由致密性定理，必有收敛子列卜/)｝,

设limx“⑵=/?，显然b*a.

习题2-5

1.用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性

(1)xn=144--+(-1)fl+,7；

除。-止—*■•+(-1严

解:

=—!——(―--!_L<1

〃+1〃+2〃+3n+p〃+1n

所以，对V£〉OJN=U/£],V〃>N，k，”—x,J<£,即*.｝为柯西列

(2)xn=a0+atq+a2q~+•••+anq"(\q\<1,\ak\<M,k=0,l,---).

解：k+p-xj=+…+4Af|q『"(l+|W+...+„b4

所以，对Ve>0,BN=max｛1,[In/In|^|-1｝,Vn>W,|x,)+p-x„|<s,即｛x.｝为

柯西列

2.满足下列条件的数列｛x,,｝是不是柯西列？

(1)对任意自然数〃，都有lim|xn+/)-x„|=0;

解：不是柯西列，如X,,=1+,+…对任意的自然数P，1101k“+.-%|=0;但数

2n1।

列卜.｝不收敛。

(2)k+1-xj4修〉一演/，(0<(<1,“=2,3,…);

解：卜“+p-xj4|x„+p-xn+p_|+X“+°T---+x“+i-xj

+l，2

-k+p-x.+p-i|+k+p-1一X"+”21+…+k"+i一X"I4+k"~+•■■+k""')|x2-xt\

\-k

所以，对V£〉0JN=[lnC^4]/lnA+l,V〃>N，k“+p—x』<£,即｛七｝为柯西列

|"为|1

(3)^|xt+1-xJ<M(n=l,2,---,M>0).

k=]

证明：记5“=之民+1—xj,则S“单调递增有上界〃，从而必有极限，记limS“=S

'H->00

k=\

对V£>OJN,V〃〉N,|S“一S|<]

x

从而|X.+P_X“|4k"+p-X.+0-1+„+p-i---+x“+i_X„|

XX+X

-\n+p-n+P-t|\,l+p-l-X“+0-2|+…+k"+l-X,J=|S“+”i-5„_,

41sM-S|+|S,_「S|<£故卜｝是柯西列

习题3-1

1.设定义在又,加上的函数/*)在(。力)内连续,且lim/(x)和lim/(x)存在(有限).

x->b~

问/(x)在(a,b)上是否有界？是否能取得最值？

解：在闭区间［a,切上构造辅助函数

fM,xe(a,b),

g(x)=1/(a+),x=a,

/•),x=b.

则g(x)在［a,句上连续,从而g(x)在［a,句上有界.由于g(x)=/(x)(a<x<b),故

/(x)在上也有界，即存在M>0,使得|/(x)|<M,,xe(a,b).

令M=max{A/,|/(a)|,|/(&)|),则有\f(x)\<M,xe[a,b].

条件同上，但/(x)在(a,份上却不一定能取得极值.例如：f(x)=x,xe(a,b)

2.设f(x)在(-8,+00)内连续,且limf(x)=+oo.证明f(x)在(-8,+8)内可取得最小

A->±C0

值.

证明：因为lim/(x)=+8,所以mA<0,当x<A时，有/(x)>/(0)

因为lim/(x)=+8,所以m5>0,当x〉8时，有/(x)〉/(0)

X-»-K0

从而当xw(-co,A)u(8,+oo)时,有f(x)>f(0)

又/(x)在[A,团连续，从而一定可以取到最小值加，BP3y0e[A5],使当时,

m=f(y0)</(x)且m=f(y0)</(0)；

故xe(-oo,A)u(B,+8)时，有/(x)>/(O)2/(先)

所以/(x)在先处取到最小值

习题3-2

(此题已换)1.设q,d,%>0,4<4<4.证明:方程一^+-^+-^=。

x-b{x-b2x-b3

在(如打)和(打，％)内恰好各有一个实根.

1.证明开普勒(Kepler)方程x=£sinx+a(O<£<l)有唯一实根

证明：令/(x)=x-esinx-a,则/(x)在[〃一l,a+l]连续且

f(a-l)=-1-£,sin(a-1)<0,/(a+l)=l-£sin(a+1)>0,

由零点原理mjw(〃一l,a+l),使/©)=(),即方程元=esinx+a至少有一实根

又/，(x)=l-^cosx>0,所以/(x)在(一8,+8)单调递增，所以方程x=esinx+a有

唯一实根

(此题已换)2.设函数/(x)在(〃，b)内连续且有极值点.证明：存在

xpx2e(6f,b),%。％，使得/(为)=/(X2)・

2.设。>0,讨论方程，实根的个数

解：stcpl.令/(%)=短一则limf(x)=-oo,limf(x)=/(0)=1,由零点原理，

X->-<»A-»0

/(x)=0在(-o,0)至少有一实根，又尸(x)=ex-2ax〉0(xw(—oo,0)),所以/(x)在

(-肛0)单调递增，从而方程/="2在(_oo,0)内有且仅有一实根。

x

PXp(Y—2)

step2,令g(x)=f,则limg(x)=+8,limg(x)=+oo,且g'(x)=——',所以

Xxf0+IPX

当0<x<2时，函数g(x)单调递减；当2Vx<+oo时'函数g(x)单调递增，所以函数

22

g(x)在点x=2取得极小值g(2)=幺。所以，当0<a<J时，方程g(x)=a在(0,+8)

44

22

无解；当。=一时，8(》)=4在(0,+00)有一解；当。>一时，8(幻=4在(0,+8)有两解

44

222

综上：当0<。<幺时，方程6、=以2有一解；当。=幺•时，e*=ad有两解；当。〉J

444

时，"="2有三解

3.设/(%)在[a,b]上连续，xne[a,b],limf(xn)=A.证明存在e[a,b]使

"TOO

证法1因为/(x)在[a,句上连续，所以存在最大值"和最小值机，且使机,

从而有m4A=lim/(%„)<M.由介值定理知三4e[a,b]，使/©)=4.

“TOO

证法2因为卜“｝有界，所以存在收敛子列X,”(kfoo).而/(x)在[a,切上

连续，故有f4)=limf(xnt)=lim/(%„)=A

«->00K”TOO

习题10-2

1.设/(x)在[0,1]上连续，“N2为自然数.证明：

n-\1

(1)若/(0)=/⑴，则存在<£[(),——],使得/(J)=/(4+—)；

nn

1n—\

证明:令尸(x)=/(x)—/(x+—),则产(x)£C[O,——],且

nn

?

/(o)=/(o)-/(-),F(l)=/(I)_/(2),...,F(ZLzl)=/(£z!)_/(1)

nnnnnn

从而E(0)+P(L)+…F(小1)=0

nn

若小w{0』,2,…，〃一1},使尸(与=0,取5=)即可

nn

否则于wje{0,l,2,…，〃一1},使「(与尸(』)<0,由零点原理，话w(4」)或(』二)，

nnnnnn

使F©=0

〃一11

综上，3^e[0,——],使尸G)=0,即/C)=/e+—)

nn

(2)若/(0)=0,/⑴=1,则存在Je(0,1),使得/(0+-=/(^+-).

nn

解：^F(x)=f(x+-)-f(x)--,方法同上

nn

2.设/(x)在可上连续，且f'/(x)dLr=l,f^(x)dx=〃，f\2/(x)dx=x/2.证明：存

JciJa4rz

在句，使//)=().

证：由已知经计算得，(x-〃)2/(x)dr=0

1)若〃4。或〃2匕，由积分中值定理，3^e(a,b),使©—")2/《)=0,从而/《)=0

2)否贝II,a</.i<b,f(x—〃)"(x)dr=j：(x_〃)2/(x)dr+[(x_〃)2/(x)dx=0

a)若，(x—〃)2/(x)dx=j(x—〃)2/(x)dx=0,同1),由积分中值定理

瑞e(a，M)，Me(出b)，使f&)=f&)=0

b)丫与异号，由中值定理，B?7,e(a,//),37,e

使[。一〃)2/。也=(7-〃)2/(7)，且1(x-〃)2/(3咫=(%-〃)2/(%)

所以“7)/(%)<0,有零点原理,送€(7，%)u(a,b)使/©=0

2

3.设fn(x)=cos"X+COS"TJ+…+COSX+COSX，求证

TT

(1)对任意自然数〃，方程£,(x)=l在[0,耳)内有唯一实根；

TT

证明：〃=1时，<。)=<：05X=1在[0,不)上有唯一实根％=0

JI1

〃>1时，有，/,(0)-l=n-l>0K/；,(y)-l=--<0,由零点存在原理，

TTjr

3x„e(0,y),使力(x“)=l,即力(x)=l在(0,§)上有一实根

-2

又fn'(x)=(〃cos"Tx+(n-l)cos"X+…+2cosx+l)(-sinx)<0,故fn(x)严格单

TT

调递减，所以方程力(x)=l在[0，w)内有唯一实根

jrjr

(2)设x„e[0,-)是f(x)=1的根，则limx„=-.

3n”783

证：对X〉O,£,(x)<£5x),从而九(％)=l",(x")<加(X.)，有因为加(X)

严格单调递减，故x“+i〉x”，即｛%｝严格单调递增。又｛当｝有界，所以｛%｝收敛。

TT

设limx“=A,由于x“w(0,—),所以limcos"(x")=0,在

M—>003«—>00

/,-12

1==cos"xn+cos尤〃+…+cosxn+cosxn

cosx-cosnxcosA.1.TC

=-----w--------w-，令〃一>8,有1=-------,所以cosA=—,A=—即hm冗二一

l-cosxw1-cosA23"T83

4.设/(X)在[凡切上连续,不恒为常数，且/3)=向11/(%)=/3).证明存在1£3乃),

xe[a,^]

证：令尸(x)=—-,因为/(x)在[a,切上连续，不恒为常数，且

f(a)=minf(x)=f(b),所以Hr。e(a,b),使/(x。)=max/(x),于是

/(/)=p/(^^-u()-«)/Uo)=『"(，)—/(xo)m<o，

F⑸=3-。)/3)=f[/W-/(W>0,山零点原理：

JaJa

证明存在。e(x0,b)u(a,b),使网自)=0,即f"f)dr=e—a)/e).

习题4T

[|x|xwO

1.证明函数/(x)=,「'_0没有原函数.

证:设/(%)存在原函数"x),即小(x)=fM,则小(0)=/(0)=1且尸(；)=/(I)=1,

1313

由于小(2)＜彳〈小(0),由达布定理，*e(o,2),使¥=尸6)=〃9=矛盾,

所以/(%)无原函数

2.设/(x)在功上可导，xvx2e[a,b].证明：

(1)若广(石)+/(％)=0,则存在J例使/《)=0；

证明：若广(须)=:。2)=0,则取4=司或4均可；否则;(阳)/(刀2)<0,又达布

定理，存在J介于％与々之间，使广修)=0;综上存在使广(9=0

(2)若/'(占)+/'(々)=〃，则存在会[a向使:《)=今

证明：若/'(玉)=:(々)=/，则取自=再或J=X2均可；否则

"'(王)一夕"'(々)一令<0,由达布定理，存在J介于王与々之间，使广©，；

综上存在会.向使/

习题4-2

1.求下列函数的导函数，并讨论导函数的连续性.

(1)/(x)=|(x+D|3;

(X+1)3,X>—1

解：/(幻=/\,则/(X)在x=—1连续，且

-(X+1),X<-1

x>—1时，/(X)=3(X+1)2,lim/。)=0,从而九(—1)=0

x->-l+

x<—1时，/'(x)=-3(x+l)2,lim/'(x)=0,从而/'(—1)=0所以/'(—1)=0

从而1(x)在x=—l连续。

所以/'(x)=4,在(一8,+8)连续

-3(x+1)2,x<-l

x1,x>0

⑵/(X)=2；

一x~,x<0

解：显然/(X)在x=-1连续，且

x〉0时，f'(x)=2x,limf'(x)=0,从而及(0)=0；

x<0时，f\x)=-2x,lim/'(x)=0,从而f'(0)=0所以尸(0)=0