湖南省衡阳市车江中学高三数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市车江中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A

2.若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（

）A.0 B. C. D.参考答案：D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，虚部不为0可得a的值.【详解】解：由题意得：，由复数是纯虚数，可得，可得，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子分母同时乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简.3.，，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D4.已知O为坐标原点，双曲线的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，则双曲线的离心率为Ａ．2

B．3

Ｃ．

D．参考答案：C5.已知集合,,则（

）A．(0,2)

B．[0,2]

C．{0,2}

D．{0,1,2}参考答案：D6.设是直线，a，β是两个不同的平面（

）A.若∥a，∥β，则a∥β

B.若∥a，⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，⊥a，则⊥β

D.若a⊥β,∥a，则⊥β参考答案：B7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B． C． D．参考答案：A该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则.故选.8.（）（A） （B） （C）

（D）参考答案：B略9.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于

A.

B.

C.

D.参考答案：C

【知识点】二项式系数的性质．J3

解析：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr，令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．【思路点拨】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．10.已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O上，且PA=PB=PC=，AB=BC=CA=2，则球O的表面积为

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

．参考答案：略12.复数，则实数的值是（

）A．

B．

C．

D．—参考答案：A略13.已知向量，，若，则实数m=______.参考答案：-2【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：

，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.14.已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=．参考答案：﹣6【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（﹣a）的值求出f（a）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣a）+f（a）=2．∵f（a）=8，∴f（a）=﹣6．故答案为﹣6．15.极坐标系与参数方程选做题)若分别是曲线和上的动点，则两点间的距离的最小值是

；

参考答案：16.在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_____参考答案：17.对于四面体ABCD，给出下列四个命题①②③④其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）参考答案：答案：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池。（Ⅰ）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V(x)，并求函数V(x)的定义域；（Ⅱ）指出函数V(x)的单调区间；（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？参考答案：解析：（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x,则蓄水池的容积为：.

由得函数V(x)的定义域为x∈(0,3).

………4分（Ⅱ）由得.令，解得x<1或x>3;

令，解得1<x<3. 故函数V(x)的单调增区间是（0，1），单调减区间为（1，3）.………8分（Ⅲ）令，得x=1或x=3（舍）.并求得V(1)=16.

由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值.

故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是.

………12分19.（本小题满分12分）等比数列中，，且是和的等差中项，若(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和参考答案：（1）由解得：

………………（6分）（2）………（8分）……（12分）20.已知函数处分别取得极值

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值.

参考答案：解析：（I）

.

（II）

当变化时，的变化情况如下表：－1（－1，1）1+0－0+极大值1极小值－1

由上表可知：

在区间是增函数；

在区间（－1，1）上，是减函数，

因此，当有极大值为1；

当有极小值为－1.

21.（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，右顶点为Q，以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，直线PQ与圆O相交得到的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与以F1、F2为直径的圆O相切，并且与椭圆C交于不同的两点A、B，求△AOB的面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，则O到直线PQ的距离d==，由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）讨论直线AB的斜率不存在，求得△ABO的面积，若存在设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），由圆O与直线l相切，得m2=k2+1．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，则O到直线PQ的距离d==，由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，在△ODP中，根据勾股定理可知：（）2+（）2=b2，①由a2=b2+c2=2b2，②由①②解得：b2=1，a2=2，∴椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，AB过椭圆的焦点，令x=1代入椭圆方程可得y=±，可得|AB|=，S△ABO=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），∵圆O与直线l相切，∵=1，∴m2=k2+1．由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同的点，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即m2﹣2k2＜1，∴k2＞0．由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，则丨AB丨=?=?=?，△AOB的面积S=?丨AB丨?d=，令1+2k2=t（t＞1），可得k2=，则S==?=?＜．综上可得，△AOB的面积的最大值为．【点评】本题主要考查椭圆的概念和性质，直线和椭圆的位置关系，圆的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题．22.（本小题满分13分）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数）．（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【知识点】导数的应用B12（1）当时，取极小值，其极小值为（2）（1），．当时，．

当时，，此时函数递减；

当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．（2）解：由（1