湖南省岳阳市白羊中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市白羊中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．2.设为虚数单位，则复数A.

B.

C.

D.参考答案：D法一：.法二：3.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a+c=2b，3sinB=5sinA，则角C=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，可得a=b，进而可求c=，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinB=5sinA，∴由正弦定理，可得3b=5a，∴a=b，∵a+c=2b，∴c=，∴cosC==﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故选：B．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．4.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，F是AB的中点，E是PB上的一点，则下列说法正确的是（

）A.若，则平面PACB.若，则四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥体积的6倍C.三棱锥P-ADC中有且只有三个面是直角三角形D.平面BCP⊥平面ACE参考答案：AD【分析】利用中位线的性质即可判断选项A；先求得四棱锥P-ABCD的体积与四棱锥E-ABCD的体积的关系,再由四棱锥E-ABCD的体积与三棱锥的关系进而判断选项B；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C；先证明平面,进而证明平面平面,即可判断选项D.【详解】对于选项A,因为,所以是的中点,因为F是的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,故A正确；对于选项B,因为,所以,因为,所以梯形ABCD的面积为,,所以,所以,故B错误；对于选项C,因为底面,所以,,所以,为直角三角形,又,所以,则为直角三角形,所以,,则,所以是直角三角形,故三棱锥的四个面都是直角三角形,故C错误；对于选项D,因为底面ABCD,所以,在中,,在直角梯形ABCD中,,所以,则,因为,所以平面,所以平面平面,故D正确,故选:AD【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.5.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的八个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AB、A1D1的中点，则经过点E、F的球的截面的面积的最小值是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.如图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为，且||=，若，则值为（）

A．2 B．4 C． D．参考答案：B7.已知等比数列{an}中，公比，则a4=（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由已知把a3a5a7=64转化为a4的方程求解．【解答】解：在等比数列{an}中，由，得，解得a4=8．故选：D．8.执行右图所示的程序框图后，输出的结果为（

）A

B

C

D参考答案：C略9.函数（)的图象如图所示,则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，则P（A）=0.5，P（AB）=0.2，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率．【解答】解：设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，∵开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，∴P（A）=0.5，P（AB）=0.2，∴在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率：P（B|A）===0.4．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥均为等边三角形，二面角的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是

.

参考答案：52π12.若实数x，y满足约束条件，则z=lny﹣lnx的最大值是．参考答案：ln3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数z=lny﹣lnx为z=ln，由图求出的最大值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由z=lny﹣lnx=ln，而的最大值为kOA=3，∴z=lny﹣lnx的最大值是ln3．故答案为：ln3．13.若是纯虚数，则实数a的值是

▲

．参考答案：答案：114.设均为正实数，且，则的最小值为

．参考答案：1615.设，的二项展开式中含项的系数为7，则____．参考答案：16.直角坐标系中，圆C的参数议程是（

为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C的极坐标是

。参考答案：17.已知满足约束条件,则目标函数的取值范围

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.参考答案：由

cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,

sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得

故

，

或

（舍去），于是

B=或B=.又由

知或所以B=。19.2017年10月18日上午9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕.习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告.人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况.某调査网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4：1.将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示.(1)求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；(2)把年龄在第1，2，3组的观众称为青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人，请完成下面2×2列联表，则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？

通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年

中老年

合计

附：（其中样本容量）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）由频率分布直方图可得：10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=l，解得a=0.035，

（3分）所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5（6分）（2）由题意得2×2列联表:

通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年2896124中老年126476合计40160200（8分）计算得的观测值为，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关.（12分）20.设为实数，函数,.

（Ⅰ）求的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当且时，.参考答案：（Ⅰ）解：由知。令，得。于是，当变化时，和的变化情况如下表：0+单调递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是。在处取得极小值。极小值为

（Ⅱ）证明：设，于是。由（Ⅰ）知当时取最小值为于是对任意,都有，所以在R内单调递增。

于是，当时，对任意，都有，而从而对任意，都有。即故略21.若函数，在点处的斜率为．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值．参考答案：(1)；(2).考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.22.已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和最小值；（Ⅱ）若函数在上是最小值为，求的值；（Ⅲ）当（其中=2.71828…是自然对数的底数）.参考答案：解：（Ⅰ）

同理，令

∴f(x)单调递增区间为，单调递减