第五节-对坐标曲面积分省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第五节一、有向曲面及曲面元素投影二、对坐标曲面积分概念与性质

三、对坐标曲面积分计算法四、两类曲面积分联络机动目录上页下页返回结束对坐标曲面积分第十章1/28一、有向曲面及曲面元素投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面经典)机动目录上页下页返回结束2/28其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧要求

指定了侧曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上投影记为面积为则要求类似可要求机动目录上页下页返回结束3/28二、对坐标曲面积分概念与性质

1.引例设稳定流动不可压缩流体速度场为求单位时间流过有向曲面

流量

.分析:若

是面积为S平面,则流量法向量:流速为常向量:机动目录上页下页返回结束4/28对普通有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动不可压缩流体速度场进行分析可得,则机动目录上页下页返回结束5/28设

为光滑有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.以下极限都存在向量场若对

任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束6/28引例中,流过有向曲面

流体流量为称为Q在有向曲面

上对

z,x曲面积分;称为R在有向曲面

上对

x,

y

曲面积分.称为P在有向曲面

上对

y,z

曲面积分;若记

正侧单位法向量为令则对坐标曲面积分也常写成以下向量形式机动目录上页下页返回结束7/283.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

ˉ表示

反向曲面,则机动目录上页下页返回结束8/28三、对坐标曲面积分计算法定理:设光滑曲面取上侧,是

上连续函数,则证:∵

取上侧,机动目录上页下页返回结束9/28

•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:假如积分曲面

取下侧,则机动目录上页下页返回结束10/28例1.

计算其中

是以原点为中心,边长为

a

正立方体整个表面外侧.解:

利用对称性.原式

顶部取上侧

底部取下侧机动目录上页下页返回结束11/28解:把

分为上下两部分依据对称性思索:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中

为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动目录上页下页返回结束12/28机动目录上页下页返回结束13/28例3.设S是球面外侧,计算解:利用轮换对称性,有机动目录上页下页返回结束14/28四、两类曲面积分联络曲面方向使用方法向量方向余弦刻画机动目录上页下页返回结束15/28令向量形式(A在n上投影)机动目录上页下页返回结束16/28例4.

位于原点电量为q点电荷产生电场为解:。求E经过球面

:r=R外侧电通量

.机动目录上页下页返回结束17/28例5.设是其外法线与z轴正向夹成锐角,计算解:机动目录上页下页返回结束18/28例6.

计算曲面积分其中

解:利用两类曲面积分联络,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分下侧.机动目录上页下页返回结束19/28原式=机动目录上页下页返回结束20/28内容小结定义:1.两类曲面积分及其联络

机动目录上页下页返回结束21/28性质:联络:思索:方向相关,上述联络公式是否矛盾?两类曲线积分定义一个与

方向无关,一个与

机动目录上页下页返回结束22/282.惯用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不一样时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分特殊情况.转化机动目录上页下页返回结束23/28当时，（上侧取“+”,下侧取“

”)类似可考虑在yoz面及zox面上二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束24/28思索与练习1.P167题2提醒:设则

取上侧时,

取下侧时,2.P184题13.P167题3(3)机动目录上页下页返回结束25/28是平面在第四卦限部分上侧,计算提醒:求出

法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167题3(3).设作业

P1673(1),(2),(4);4(1),