广东省广州市金鹰职业高级中学高三数学理联考试题含解析

广东省广州市金鹰职业高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出|PF1|=c，再由双曲线定义可以推导出2a=c，从而求出该双曲线的离心率．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=2x，|F1F2|=2c，∵∠PF1F2=60°，∴cos60°==?x=c，∵|PF2|﹣|PF1|=2a，∴x=2a=c，∴e==．故选：D．2.已知数列{an}满足：，则(

)A.16 B.25 C.28 D.33参考答案：C【分析】依次递推求出得解.【详解】n=1时，，n=2时，，n=3时，，n=4时，，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知，.若是与的等比中项，则的最小值为（

）A．8

B．4

C．1

D．2参考答案：B考点：基本不等式．【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把变为展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意．4.等比数列中，则=（

）A.70

B.40

C.30

D.90参考答案：答案：B5.“成等差数列”是“”成立的A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是四棱锥，且是棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质、分割法、柱体和椎体的体积公式求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是四棱锥M﹣PSQN，且四棱锥是棱长为2的正方体的一部分，直观图如图所示：由正方体的性质得，所以该四棱锥的体积为：V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=，故选A．7.已知非零向量与满足且

则为（

）

A．等边三角形

B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形参考答案：A

8.下面是关于复数z=2﹣i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z2=3﹣4i；p3：z的共轭复数为﹣2+i；p4：z的虚部为﹣1，其中真命题为（）A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4E．p2，p4 参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由z=2﹣i，知p1：|z|=，p2：z2=（2﹣i）2=3﹣4i，p3：z的共轭复数为2+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z=2﹣i，∴p1：|z|=，p2：z2=（2﹣i）2=3﹣4i，p3：z的共轭复数为2+i，p4：z的虚部为﹣1．∴其中真命题为：p2，p4．故选：C．9.设函数y=f（x）在区间D上的导函数为f′（x），f′（x）在区间D上的导函数为g（x）．若在区间D上，g（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间D上为“凸函数”．已知实数m是常数，f（x）=，若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f（x）在区间（a，b）上都为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过二次求解导函数，转化当|m|≤2时关于m的一次函数h（m）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立，两次不等式求解即可．【解答】解：实数m是常数，f（x）=，f′（x）=，f″（x）=x2﹣mx﹣3，当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立，等价于当|m|≤2时关于m的一次函数h（m）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立．∴h（﹣2）＜0且h（2）＜0，综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2．故选：B．10.下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________参考答案：12.已知函数，则________.参考答案：-213.在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____．参考答案：【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【详解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案为：．

14.函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为x=．参考答案：考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的对称轴方程为x=，k∈Z，从而可求离坐标原点最近的一条对称轴的方程．解答：解：∵函数的对称轴方程为x=，k∈Z∴当k=﹣1时，x=是离坐标原点最近的一条对称轴的方程．故答案为：x=．点评：本题主要考察了正弦函数的图象与性质，属于基础题．15.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中

点，则__________.参考答案：略16.由直线,,与曲线所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：17.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.参考答案：9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为，因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数是定义在，0)∪(0，上的奇函数，当x?，0)时，=.(1)求当x?(0，时，的表达式；(2)若a>-1，判断在(0，上的单调性，并证明你的结论.参考答案：(1)设x?(0，，则，所以f(-x)=，又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x?(0，.

(2)x?(0，时，f(x)=，，x3?(0，，，又a>-1，所以>0，即，所以f(x)在(0，上递增.19.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．参考答案：【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角，则：△BDE∽△BCA．则：，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割线定理得：BD?AB=BE?BC，由于：BE=2AD，设AD=t，则：2（2﹣t）=（2+2t）?2t解得：t=，即AD的长为．【点评】本题考查的知识要点：三角形相似的判定的应用，圆周角的性质的应用，割线定理得应用，主要考查学生的应用能力．20.（13分）由大于0的自然数构成的等差数列，它的最大项为26，其所有2项的和多为70.（1）求数列的项数n；（2）求此数列.参考答案：解析：设数列的首项为，公差为d（a,d）若d>0时，由知末项最大且为26.于是又从而可知n=3,4,5若n=3时，由①式知，不可取若n=4时，由①式知亦不可取若n=5时，由①式知，a1=2而d=6符合条件，从而n=5.………………（8分）于是数列2，8，14，20，26在d<0时，可同理求得n=5，数列为：26，20，14，8，2.………………（13分）21.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0．20．45bC

（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。参考答案：

解：（I）由频率分布表得，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以等级系数为5的恰有2件，所以，从而所以（II）从日用品中任取两件，所有可能的结果为：，设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率22.若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．

①求证：数列为“隔项等差”数列，并求