数学建模实例

微分方程模型二、微分方程模型三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介四、微分方程的MATLAB求解五、微分方程综合案例分析5/8/20241数学建模实例微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介5/8/20242数学建模实例引例一在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者的死亡时间。解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k为比例系数。由牛顿冷却定律，得则通解为5/8/20243数学建模实例由已知，由因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。可得微分方程的特解：，代入解得图1尸体的温度下降曲线5/8/20244数学建模实例建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程．2、利用微元分析方法建模根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。3、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。5/8/20245数学建模实例微分方程的建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等．2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式．二、微分方程模型5/8/20246数学建模实例3、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。5/8/20247数学建模实例案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计：（1）星期六该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，N周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析5/8/20248数学建模实例解1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：5/8/20249数学建模实例1、“每天”：体重的变化＝输入一输出其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗．2、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：每天的净吸收量＝2500–1200＝1300（cal)每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)转换成脂肪量＝1300–16W（cal）3、体重的变化／天＝(千克／天)5/8/202410数学建模实例1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：5/8/202411数学建模实例有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位的匹配，利用单位匹配5/8/202412数学建模实例1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：5/8/202413数学建模实例建立表达式积分后可求得其通解为：（1）当时，每天体重的变化：初始条件为：，代入解出则5/8/202414数学建模实例积分后可求得其通解为：（2）当时，每天体重的变化：初始条件为：，代入解出则5/8/202415数学建模实例积分后可求得其通解为：（2）当时，食物的摄入量恢复正常初始条件为：，代入解出则5/8/202416数学建模实例最后得到不同阶段的微分方程是：5/8/202417数学建模实例（1）代入对应方程，求得现回答上述问题（2）要满足体重不增，即所以因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以解得因此，n周后的体重为5/8/202418数学建模实例案例2在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年前？（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少）5/8/202419数学建模实例（1）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词“速率”相当)5/8/202420数学建模实例（2）解微分方程的通解为：由初始条件，故有由问题，当，代入原方程5/8/202421数学建模实例案例3、追线问题我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。5/8/202422数学建模实例图2走私船与缉私舰的位置关系(c,0)xD(x,y)走私船R(0,at)缉私艇O5/8/202423数学建模实例几何关系5/8/202424数学建模实例如何消去时间t?1、求导：2、速度与路程的关系：3、分解得：（这里有负号是因为s随x的减小而增大）4、将第2、3步代入第1步，可得模型5/8/202425数学建模实例追线模型：模型的解：5/8/202426数学建模实例解的进一步讨论（1）若a<b，从而k<1，由积分式得当x=0时，即走私船被缉私舰捕捉前所花的时间为所跑过的距离为（2）若a=b，即k=1，由积分式得显然x不能取零值，即缉私舰不可能追上走私船。（3）若a>b，即k>1，显然缉私舰也不可能追上走私船。5/8/202427数学建模实例如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详案例4湖泊污染问题的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)图3小湖示意图5/8/202428数学建模实例湖泊污染问题分析设湖水在t时的污染程度为C(t)，即每立方米受污染的水中含有Cm3的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0<t<30的时间内，污染物流入湖中小湖示意图的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速率是60×0.1C(m3/min)，因为每立方流走的水中含有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变，所以可列方程：5/8/202429数学建模实例由初始条件：，可得微分方程的特解为显然，t=30时，污染达到高峰，所以因污染源被截断，故微分方程变为它的特解为：湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量－污染物排出量5/8/202430数学建模实例当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时的t=T，即解得Z取不同值时的浓度C(30)和时间T51015200.002390.004780.007170.0095655273891810145/8/202431数学建模实例何为房室系统？在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，（注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很简单，意图在于介绍建模方法。交换环境内部单房室系统均匀分布案例5药物在体内的变化（房室模型）5/8/202432数学建模实例药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：药物分布的单房室模型单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。机体环境药物总量图3-8

假设药物均匀分布5/8/202433数学建模实例情况1快速静脉注射机体环境只输出不输入房室其解为：药物的浓度：

与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：负增长率的Malthus模型在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：（3.12）

5/8/202434数学建模实例情况2恒速静脉点滴机体环境恒定速率输入房室药物似恒速点滴方式进入体内，即:则体内药物总量满足：（x(0)=0）（3.13）这是一个一阶常系数线性方程，其解为：或易见：称为稳态血药浓度对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间的间隔时间设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故：（第一次）0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者体内的初始药物浓度不为零。5/8/202435数学建模实例情况3口服药或肌注y(t)x(t)k1ykx环境机体外部药物口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足：D为口服或肌注药物总量因而：所以：解得：从而药物浓度：在通常情况下，总有k1>k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当k1>k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（flip-flop）。当k1=k时，对固定的t，令k→k1取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：5/8/202436数学建模实例如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。房室系统我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。5/8/202437数学建模实例国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。五、微分方程综合案例分析5/8/202438数学建模实例大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，对大李碰到的情况做出解释.5/8/202439数学建模实例参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量38352825181512107745/8/202440数学建模实例问题分析一个人的血中酒精含量取决于他喝了多少酒、他体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝脏）的吸收与分解进体液的。因此本文把酒精的从胃肠（含肝脏）向体液转移情况用如下简图直观地表示：k11为酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数；k12为酒精从胃肠进入体液的速率系数；k21为酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；f(t)为酒精进入胃肠的速率。5/8/202441数学建模实例由题意，参照房室模型，可建立如下微分方程组：（1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0时，胃肠中的酒精量x1(0)为一瓶酒中的酒精a与饮酒瓶数N的乘积Na，而此时体液中的酒精量y1(0)为0。因此初始条件为体液（或血液）中的酒精的浓度为5/8/202442数学建模实例（2）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的酒精量x2(0)为N瓶酒中的酒精质量Na与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量x1(T1)之和，而此时体液中的酒精量y1(0)为第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量y1(T1)，因此大李第二次喝酒的模型如下：5/8/202443数学建模实例解以上微分方程组，得令，，解可转化为5/8/202444数学建模实例N＝2，运用最小二乘拟合法，求解得作图如下：5/8/202445数学建模实例将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午12点饮一瓶啤酒，即N=1时，到下午6点第一次检查时体液中的酒精含量（即血液中的酒精含量）所以大李通过了第一次检查。5/8/202446数学建模实例大李第二次喝酒模型的方程解为：考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了大约半个小时，假设大李从第一次检验到第二次喝酒之间间隔0.5小时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：20.2448(毫克/百毫升)。这就解释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。5/8/202447数学建模实例5/8/202448数学建模实例问题及其背景降落伞（parachute）是由柔性纺织物制成的伞状气动力减速器，可分为人用伞和物用伞，在军事、抢险救灾等方面有着广泛的用途。人用伞使用时通常离开飞行器后马上张开，但有时因为特殊需要，要求跳伞者从高空跳下，降落适当距离后才在半空中手动开伞，一般要求跳伞者在空中停留的时间尽可能短，又能以安全的速度落地。那么，何时张伞好呢？降落伞何时张开好5/8/202449数学建模实例分析我们主要关心什么呢？是跳伞者的落

地速度和在空中的停留时间。因此我们首先要考虑跳伞者的降落速度，它是时间的函数。跳伞者（包括降落伞，下同）在降落过程中主要受到重力和空气阻力的作用以及气流运动的影响，一般所受到的空气阻力与降落速度成正比。因为我们主要关心一般情况下降落速度的垂直分量变化情况，可以忽略水平分量，不考虑气流运动的影响，只考虑其作垂直降落运动。5/8/202450数学建模实例根据牛顿运动学第二定律以及加

速度是速度关于时间的导数，我们

就能列出降落速度满足的微分方程。虽然张伞前后跳伞者所受到的空气阻力的情况差别较大，但可认为仅是所受空气阻力与降落速度的比例系数不同而已，这样，如果忽略张伞时间，可以分张伞前和张伞后来建立类似的模型。下面主要建立张伞后的模型。5/8/202451数学建模实例模型的假设跳伞者（包括降落伞）在降落过程中只受到重力和空气阻力的作用，只作垂直降落运动。所受到的空气阻力的大小与降落速率成正比，比例系数是与时间无关的常数，设为k。张伞时刻为t=0，此时降落速率为v0。5/8/202452数学建模实例模型的建立设跳伞者（包括降落伞）的质量为重力加速度为，降落速度为由Newton力学第二定律，可得：，即

这就是跳伞者的降落速度满足的数学模型，这是一个常微分方程的初值问题。5/8/202453数学建模实例模型的求解如何求解这个模型呢？注意到即，我们有其中为任意常数。将定解条件代入，即得因此，模型的解为：5/8/202454数学建模实例模型解的分析和应用因为，随着时间的增大，降落速度将很快趋于常值落地有足够的时间，那么落地时的降落。。如果从张伞到速度约等于5/8/202455数学建模实例的大小与伞张开时伞面的形状和有效面积有关，考虑安全等原因，张伞经过10秒后约下降速度约6.0000076米/秒，通常设计降落伞使得，若米/秒，117.55米，此时降落已非常接近6米/秒的速度。所以，一个经过一定训练的跳伞者，若从离地面8000米的高空跳伞，即使离地面只有几百米时才张开伞，也能安全着地，而这和刚跳落时就张伞相比，空中滞留时间将大大减少。5/8/202456数学建模实例进一步的考虑

上述模型可根据需要作进一步的改进。比如，因为空气的稀薄程度与海拔高度有关，因此的大小也与海拔有一定关系，可认为此时可转而考虑降落速度与的关系。高度，设时开始张伞，此时速度为因为，5/8/202457数学建模实例所以原模型可以改写为：同学们可以根据具体情况分析求解此模型。5/8/202458数学建模实例求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)ToMATLAB（ff1）结果：u=tan(t-c)五、微分方程的MATLAB求解ezplot5/8/202459数学建模实例解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为:y=3e-2xsin（5x）ToMATLAB（ff2）5/8/202460数学建模实例解输入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t

z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

ToMATLAB（ff3）返回5/8/202461数学建模实例微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解．而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式．因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的．返回5/8/202462数学建模实例（二）用MAT