2.3第二课时一元二次不等式的综合问题课件高一上学期数学人教A版

第二课时一元二次不等式的综合问题2．3二次函数与一元二次方程、不等式[方法技巧](1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．

题型二一元二次不等式的实际应用

【学透用活】[典例2]某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3m，AD＝2m．要使矩形AMPN的面积大于32m2，则DN的长应在什么范围内？[方法技巧]解不等式应用题的步骤解决一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择未知量并设出此未知量，再概括题目中的不等关系列不等式．

【对点练清】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解为10<x<20，又因为x≥15，所以15≤x<20.故应将这批台灯的销售价格制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.题型三不等式恒成立问题

【学透用活】[典例3]

(1)若对∀x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．[解]

(1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0<m<4，∴m的取值范围为{m|0<m<4}．(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}．[方法技巧]对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解．【对点练清】1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．2．已知不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，求a的取值范围．解：∵不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)＜0，解得a＞2或a＜－2.故a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．1＜x＜3{x|1＜x＜3}无解∅二、应用性——强调学以致用2．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率每降低x个百分点，收购量相应能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. [析题建模]

税率降低x个百分点(逻辑推理)―→即调节后税率为(8－x)%(逻辑推理)―→收购量能增加2x个百分点(数学运算)―→此时总收购量为m(1＋2x%)吨(数据分析)―→原计划的78%即为2400m×