人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 重点难点训练

第一章空间向量与立体几何

空间角度与品巨离归类.............................................................2

1.线面角基础..............................................................2

2.二面角基础..............................................................5

3.异面直线所成的角........................................................7

4.给角求角（值）1：线面角................................................10

5.给角求角（值）2：二面角................................................14

6.探索性动点型1：线面角.................................................17

7.探索性动点型2：二面角.................................................20

8.翻折中的角度...........................................................23

9.角度范围与最值.........................................................26

10.距离与长度（体积）....................................................30

空间向量基本定理及空间范围与最值.............................................37

1.空间向量基底...........................................................37

2.基底表示向量...........................................................39

3.共面...................................................................41

4.空间向量概念综合.......................................................43

5.空间向量数量积.........................................................46

6.空间向量求长度.........................................................49

7.数量积最值与范围.......................................................52

8.空间长度最值与取值范围................................................55

9.空间角度范围最值.......................................................58

10.轨迹..................................................................62

空间角度与距离归类

1.线面角基础

【典例分析】

如图，在四棱锥P-A8MV中，△PNM是边长为2的正三角形，ANLNP,AN//BM,AN=3,

BM=T，AB=2亚,C,3分别是线段AB,NP的中点.

(1)求证：8〃平面PBM；

(2)求证：平面平面MWP；

(3)求直线。与平面/WP所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析⑵证明见解析⑶娅

20

【分析】(I)取中点Q,连CQ,DQ,由线面平行的判定定理可得OQ〃平面BMP,CQ//

平面BMP,再由面面平行的判定定理可得平面CDQ//平面BMP及性质定理可得答案：

(2)过B作BE〃MN交AN于E,mAB-=AE2+BE2^AEIBE,由线面垂直的判定定理

可得AN平面NMP，面面垂直的判定定理可得答案；

(3)以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面.的法向量，由线面角的向量求法可得答

案.

(1)如图，取MN中点Q,连CQ,OQ,为中位线，OQ〃例?，又平面BMP,

MPu平面BMP，二DQ//平面BMP，同理，在梯形ABMN中，CQ〃,又CQN平面BMP,

MSu平面创始，CQ〃平面BMP,且OQu平面CD0,CQu平面C。。，DQcCQ=Q,

，平面。>。〃平面创〃3,又C£>u平面C£»Q,所以CD〃平面四0尸.E

(2)如上图，在四边形"MN中，过3作8E〃MN交AN于E，在△AE8中，得AE=2,BE=2,

AB=2血，则432=4炉+8炉，得AELBE，；BE〃MN,：.ANLNM,又由已知条件

AN工NP,NMcNP=N,MW,NPu平面故AN_L平面M0P,又AVu平面4VM8,

二平面ANMB±平面NMP.

(3)PMN为等腰三角形，...OM_LNP,乂因为4V_L平面MNP,以。为原点建立空间直

角坐标系，如图:可得0(0,0,0),P(1,0,0),N(-L0,0),M(0,^,0),A(-1,0,3),网0,百1),

C|-2>V>2，设平面A8P的法向量为n=(x,y,z),AB=(l,G,-2),AP=(2,0,-3),根据

“.”=。，得卜+"y-2z=(),解得〃=(3,4,2],℃=，！，£2],设直线《。与平面印

n-AP=02x-3z=0

所成角为。，则sin®=cos(C。,”

的正弦值sin0=主色.

【变式训练】

如图，在四棱锥尸-A3C。中，底面A3。为菱形，E,尸分别为上4,8c的中点,

p

(1)证明：EF〃平面PCD.

(2)若PD_L平面ABC。，ZADC=120°,HPD=2AD=4,求直线"■与平面DEF所成角的正弦

值.

【答案】(1)证明见解析(2)生医

35

【分析】(1)取尸。的中点G,利用线面平行的判定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面DEF的法向量，再求线面角.

(1)证明：取尸。的中点G,连接CG,EG.因为E，尸分别为R4,BC的中点，所以EG〃A£),

EG=-AD,又底面A8C£»为菱形，所以CF〃4)，CF=^AO所以EG〃CF,EG=CF,所

22

以四边形EGC77为平行四边形，所以所〃CG.乂CGu平面PC。，EFg平面PC。，所以EF〃

平面PCD.

(2)因为即_1_平1mABCD,ZWC=120°,所以以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标

因为A£>=2,PO=4,所以£>(0,0,0),尸(6,0,0),

A(0,2,0),£(0,1,2),则QE=(O,l,2),力尸=(30,0),AF=(后一2,0),设平面。肝的法向

[y+2z=0

量m=(x,y,z),则j百0'令z=l,得m=(0,-2,1),设直线AF与平面£)£尸所成的角为

tn-AF|4|4后

则sin®=F-J

35

2.二面角基础

【典例分析】

如图，在四棱锥P-ABC。中，A48P是直角三角形，ZAPS=90°,四边形A8CD是等腰梯形,

AB//CD,ZBAD=NBAP=60°,AB=2CD=4.

⑴证明：AB±DP；

(2)若平面ABC£>_L平面ABP,求平面ABP与平面CD?的夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵叵

2

【解析】

【分析】

(1)取A8中点E,取AE中点凡由题可得AB_LZ)F,ABA.FP,进而可得AB_L平面。FP,

即得；

(2)建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法即得.

(1)如图，取A8中点E,连接QE,EP,取4E中点尸，连接。F,FP,

以

(2)因为平面ABC。L平面4如，S.DFYAB，所以OF，平面4死.以尸为坐标原点，FP，

EB，的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则网道,0,(»,

D(0,0,>/3),C(0,2,73),PD=1-瓜0,6),PC=1Y,2,吟,平面43户的一个法向量

fiPD=->/3x+VJz=0

F。=(0,0,g).设平面COP的一个法向量〃=(x,y,z),则<°,BP-

〃PC=0-\/3x+2y+乖>z=0

/、/厂门\FDn>/2

可取”=(1,0,1),所以8s(尸2")=阿同=彳，所以平面他「与平面CDP的夹角的正弦值为

V2

~~

【变式训练】

如图所示，四棱锥S-AB8中，平面SAD,平面A8CD,底面A8C£>是边长为2正方形,

SA=2y[2,SC=4,AC与8。交于点。，点E在线段S£>上.

⑴求证：S4_L平面ABCD；

(2)若0E〃平面SAB,求二面角S—AC—E的余弦值.

【答案】⑴证明见解析⑵竽

【分析】

(1)根据面面垂立性质定理得平面&W,进而证明S4_LAB,再根据集合关系证明

S4LAC即可证明结论；

(2)根据题意，E为必的中点，进而以48,ARAS分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，利用坐标法求解即可；

(1)证明：因为平面SA£>J_平面A8CD且交线为AO，又A8i平面A8CD且4),所以

AB_L平面9，又SAu平面9，所以副_LAB.因为A3CO是边长为2正方形，所以4c=2近，

又SA=2&SC=4,所以ST+AC2=SC2,即SA_LAC,又因为ABCAC=A,AB,ACu平面

ABCD,所以S4_L平面A8CD

(2)解：因为OE〃平面OEu平面S8D,平面S3。|平面SAB=SB,所以OE〃SB,

因为。为的中点，所以E为S3的中点，以A8,A£),AS分别为x轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系，则有A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),S(0,0,2&),目0,1,0),易得平面SAC的

/??•AE=0

一个法向量为"=。8=(2,-2,0),设平面E4C的一个法向量为m=(x,y,z),贝U

m-AC=0

y+y/2z=0

取z=l,则，"=(々,-0,1),设平面SAC与平面E4C所成夹角为。，则

2x+2y=0

cos®="if=：九=挛，所以平面S4C与平面EAC所成夹角的余弦值为巫.

叶〃2yl27555

3.异面直线所成的角

【典例分析】

如图所示，ABCD-AB£R是棱长为1的正方体.

⑴设△BAC的重心为O,求证：直线平面朋心；

(2)设瓦/分别是棱A。、AG上的点，且。E=。尸="，M为棱A8的中点，若异面直线ZW与

EF所成的角的余弦值为正，求。的值.

10

【答案】(1)证明见解析；(2)立.

4

【分析】

(1)由正方体性质证明与O_L平面ABG，4。与平面ABG的交点即为重心。，从而证得结

论成立；

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角，从而求得。值.

(1)

设AG3Q=N,连接。片，

首先DD,1平面ABCR,AGU平面4£CQ,则DD,±A,C,,

又BR±AG，DDJ\B\D\=〃，u平面8£>£>内，

所以AG_L平面3。。片，而BQu平面BDD4,所以AG，始。，

同理ABJ.BQ,AGA8=A，AG，A8u平面ABC-所以用力，平面A8G，连接8N交用。

于。，

因为£>A=DB=DG，所以。是等边V&BG的中心也是重心，所以平面ABG,

(2)如图，以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则E(a,0,0),M(l,1,0),尸(0,a,l),

DM=(l,g,0),EF={-a,a,V),由题意卜os<EF>|=1DMEFx/2

DM\\EF\

解得：”=也（负值舍去）.

【变式训练】

如图，在直三棱柱A8C-AAG中，AC=BC=6,ZACB=90°.M=2,。为A3的中点.

/PM

（1）求证：AG〃平面8<0；

（2）求异面直线AC,与B,C所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析;

【分析】

（1）设63与旦（7的交点为£,连接。E,由三角形中位线定理可证得0E//4G，从而可得AC"

平面CDa;

（2）由DE//4G可得NCED为AG与8。所成的角（或其补角），在△CDE中，解三角形可求得

cos/CED,即为所求.

（1）

证明：设C|B与的交点为£,连接OE,

•.•四边形8CC内为正方形,E是8G的中点，又。是A3的中

点,

DE//AC,.乂OEu平面C£>4，4G<Z平面CD片，AR〃平面

（2）解：•••OE〃AG，.•.NCED为AG与BQ所成的角（或其补角）.

在△(?£>£：中，ED=-AC.=-,CD=-AB=\,CE=-CB.=—

2122212

CE2+DE2-CD2

cosZCED=2....异面直线AG与与c所成角的余弦

2CEDE3

值为|.

4.给角求角（值）1：线面角

【典例分析】

如图，在四棱锥中，A4_L底面ABCD,AB1AD,BC//AD,PA=AB=BC=2,4）=4,

E为棱尸。的中点，尸是线段PC上一动点.

⑴求证：平面P8CL平面R4B；

⑵若直线M与平面旗8所成角的正弦值为当时'求二面角尸的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)-远

6

【分析】

(1)证明出3C，平面利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)以点A为坐标原点，AB、AD.”所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设PF=/IPC，其中0W/W1,利用已知条件求出2的值，然后利用空间向量法可求得二面角

尸—E4—D的余弦值.

(1)证明：因为BC//AD,则3C_L/W,R4_L平面ABC£>,BCu平面A8CE>,

.-.BC±PA,

PAAB=A,PA,A3i平面8C平面,8Cu平面P8C,因此，平面P8C_L

平面PAB.

(2)解：因为P4_L底面ABC"ABA.AD,

以点A为坐标原点，AB.AD,心所在直线分别为x、丫、z轴建立如下图所示的空间直角坐

标系，

则4(0,0,0)、3(2,0,0)、C(2,2,0)、£>(0,4,0)、E(0,2,l)、P(0,0,2),

设依=/lPC=2(2,2,-2)=(2424-22),BF=BP+PF=(2A-2,2Z,2-2Z),其中0W4W1,

易知平面A3CD的一个法向量为〃=((),0,1),

।I2-22J31

由已知可得卜祇<〃,8尸>=AT=/,=工~,解得2=:，

11咖叫J2X(2"2)2+4.232

所以，P为PC的中点，即尸(1,1,1),设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),AE=(0,2,1),

AF=(1,1,1),

则F.AK-Zy+z-O,取y=l,可得根=(ij,_2),易知平面ADE的一个法向量为3=(1,0,0),

〃?•AF=x+y+z=0

mn1,6

所以，008<//1,/1>=|-^-|=-^=—,由图可知，二面角F—E4—D的平面角为钝角，

故二面角尸-E4-D的余弦值为.

6

【变式训练】

如图，PD垂直于梯形ABC。所在平面，ZADC=ZBAD=90°,F为R4中点，PD=也,

AB=AD=^CD=1,四边形PACE为矩形.

⑴求证：AC〃平面OEF；

(2)求二面角A—3C-尸的大小；

(3)在线段E尸上是否存在一点。，使得8。与平面8c尸所成角的大小为30。?若存在，求出尸。的

长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)£(3)存在，|F(2|=—

4112

【分析】

(1)首先以点。为原点，建立空间直角坐标系，求平面£>EF的法向量4,利用AP.”=0,即

可证明线面垂直；

(2)分别求平面BC尸和A8c的法向量外和乙，利用公式cose%,%>,即可求解：

(3)首先利用向量共线，设点0(1，240(；+4],利用线面角的向量公式，即可求得义的

值.

(1)

证明：以。为原点，以。A,DC,OP所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

由题意得，r>(0,0,0),A(1,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),E(0,2,近)，P(O,O,0)’「2,0，~'

7

则AC=（—1,2,0）,平面。历的一个法向量勺=（x,y,z）,DE=（0,2，V2）,DF=「。毋

22J

n}•DE=2y+&z=0

由，1V2,取z=2,得勺=(一20,-五2),

n.•DF=—x+——z=0

122

ACnx=-1X(-2V2)4-2X(-V2)+0X2=0,

AC_L勺，AC〃平面DEF；

/f—\UUU

(2)设平面P8C的一个法向量4=(x,y,z),尸8=(1,1,一&)，BC=(—1,1,0),由

n-PB=x+y-0z=0

2,取x=l,解得“2=（1,1,五）设平面ABC的一个法向量4=（0,0,1）,

n2-BC=-x+y=0

V2

COS<7?2，%>=

同同~2

jr

由图可知二面角A-8C一尸为锐二面角’二面角A-8C-尸的大小为了；

（3）设存在点Q满足条件，由E（O,2,0）,尸;,0,乎，设尸。=2尸£（04241）,

（4_；，y°，z2-母）=〃-；,2,

（1-2&（1+幻）r1+20（1+储）

整理得。三，22，—彳~,BQ=±（2A-1,—~2,直线B。与平面8cp所成角

的大小为30°,

BQ%J_

/.sin—=|cos<BQ,n>|=||==

62IBQ||巧|2jl912-i(U+72

则笳=1,由0W/IW1,得4=1,即。点和♦点重合,

故在线段所上.存在一点Q,且忸0=怪尸|=孚.

5.给角求角(值)2：二面角

【典例分析】

如图，四棱锥户-他。短中，底面为矩形，PAL平面点E在线段P。上.

(1)若E为尸。的中点，证明：依〃平面A£C；

5万

(2)若R4=2,PD=2AB=^,若二面角E-AC-B的大小为?，试求PE:E£＞的值.

【答案】(1)证明见解析(2)2

【分析】

(1)连接BO交AC于。，连接0E,利用中位线的性质可得出OE//PB,再利用线面平行的判

定定理可证得结论成立；

(2)以点A为坐标原点，AB.AD.AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设PE=2PD，其中0W/W1,利用空间向量法可得出关于2的等式，结合2的取值范围可求得

义的值，即可得解.

(1)证明：连接3。交AC丁0,连接OE,

边形ABCD为矩形，O为8。的中点，又因为E为PD的中点，则OEHPB，因为OEu平面AEC,

产8cz平面AEC,因此，P8〃平面ACE.

(2)解：由题设P4_L平面ABCD,四边形A3CO为矩形，以点A为坐标原点，48、AO、AP

所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

P4L平面ABC。，AQu平面ABC£),

‘办_1_AD,所以，AD=VPD2-Pfii=2\/3，则。(2,2月,0)、£>((),2石,0)、P(0,0,2)、A(0,0,0),

设PE=/l尸£>=/le,2"-2)=(0,26,-24),其中0W4W1,则AE=AP+PE=(0,26M2-22),

ir-\[m-AC-2x+2\/3y=0

AC=2,2石,0,设平面ACE的法向量为〃?=(x,y,z),则:，取

p?7-AE=2V3Ay+(2-22)z=0

y=^-l,可得机=(g(lT)"-l,g/l),易知平面ABC的一个法向量为〃=(0,0,1),由题可

I,"九JQ;G7pp

得上江<九〃>=｝「#=/V-----•=+，因为0W4W1,解得4=；,此时­=2.

11H-H,4(2-炉+3/23ED

【变式训练】

如图，在四棱锥E—A8C。中，BC//AD,AB1AD,AB=BC=1,BE=3,A£=V10,C,

。都在平面ABE的上方.

(1)证明：平面3CEJ_平面A3CD；

(2)若且平面COE与平面4BE所成锐二面角的余弦值为当画，求四棱锥£-A8C£>

46

的体积.

【答案】(1)证明见解析.

(2)2

【分析】

(1)先证A8_L平面BCE,再证明平面BCE_L平面ABCD.

(2)设AO长为f,建立空间直角坐标系，计算两个待求平面的法向量，代入公式求出f的值，然

后计算四棱锥的体积.

(1)

BC//AD]

,又人长+台炉=10=AE2

AB.LAD]

所以成，BC\BE=B,所以A5L平面3CE,

乂ABi平面ABC。

所以，平面8CEL平面ABCZX

(2)

因为BCLBE，结合(1)问易得AB、BC、BE两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系

所以CE=(3,0,-l),CD=(0,1,r-1),设平面CUE的法向量为〃=(x,y,z)

CEn=0[3x-z=0,、

由得/八八令z=3则〃=(1,3—3f,3)又CB_L平面48E所以取平面ABE

[CDn=Q[y+(f-l)z=O'

的法向量为，*=(0,0，1)

n-m33屈

解得7=3或t=-1(舍).即45=3,所以四边形

同同,10+(3-3/)2

ABCQ的面积5,加您=2,由题知8£_L/W,BEYBC,ABcBC=B，,BE_L平面A8CO

所以8E为四棱锥E-ABCD的高，所以四棱锥E-ABCD的体积为

^=1^fiCD-B£=1x2x3=2.故四棱锥E-ABC。的体积为2.

6.探索性动点型1：线面角

【典例分析】

如图，在长方体ABS-AgGA中，AB=AD=\,朋=2,E是线段。。上的动点.

(1)求证：ACLBE-,

⑵是否存在点E,使得直线AC与平面所成角为45。，若存在，求出DE的长；若不存在,

请说明理由.

7

【答案】⑴证明见解析⑵存在‘。八r【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直的性质定理进行证明.

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

4(7<：底面43。£),，。［。，46'.又AC_L£>3,D、DDB=D,：.ACA.^^DXDB,又BEu平

面Z）Q8,.•.ACJ_BE

（2）假设存在这样的点E,使得直线AC与平面BGE所成角为45。.设£>E=〃O4>142）,如

图，以。为原点，直线D4,DC,。"分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,O,O),8(1,1,0),C(0,l,0),q(0,1,2),E(0,0,2).AAC=(-1,1,0),

BE=(-1-1,2),BC；=(-1,0,2).设平面8C£的法向量为加=(x,y,z),则

\1'令x=2,则z=l,)，=4一2..•.平面8GE的一个法向量为

mBE=-x-y+Az=0,

w=(2,2-2,1).sin45°=卜os(“7,AC,卜=-j=12+[-2|_,解得...

।'，]叫AC,4+(又一2『+1x024

7

存在这样的点E,当OE=:时，直线AC与平面BCE所成角为45。.

4

【变式训练】

在四棱锥?一A8C£>中，己知AB〃C£>,AB±AD,BCYPA,AB=2AD=2CD=2,PA=R,

PC=2,E是PB上的点.

(1)求证：PC_L底面A8CD；

(2)是否存在点E使得出与平面E4C所成角的正弦值为:？若存在，求出该点的位置；不存在,

请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，E点为尸8上靠近B点的三等分点

【分析】

(1)首先证明BCL面PAC,再结合线面垂直的判断定理，证明

(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，求平面EAC的法向量〃，利用sin^=|cos<>|=g，

即可求得4的值.

(1)

在，AOC中：AD=DC=\,ZADC=90°,所以AC=VL

在，AfiC中：AC=亚，AB=2,Zfi4c=45。，

由余弦定理有：BC2=AB2+AC2-2ABAC-cos45°=2

BC=y[2:.AB2=AC2+BC2>所以ZACB=90。，所以3CJ.AC.①

又因为8C_LR4-②，由①②，PAAC=A,所以8c，面尸47,所以BC_LPC③.

在中：AC=0，PC=2,PA=A，所以尸CLAC.④，由③④，ACBC=C,所

以PCI面A3CD

(2)

以A为原点，以AD，A8,竖直向上分别为x、y、z轴建立直角坐标系.则有4(0,0,0),8(0,2,0),

C(l,l,0),£>(1,0,0),尸(1,1,2),设5£=；1即=；1(1,一1,2)=(4-42/1),则

AE=AB+BE=(A,2-A,2A),AC=(1,1,0),AP=(1,1,2),设与=(x,y,z)为面E4C的法向量,

n-AE=0

则有:解得“=(-/U"-l),设所求线面角为。，则有sine=kos<4P,〃>|

n-AC=0

APn2-2/12I

=-,解得3万+2/1—1=0,所以4=].所以E点为PB上靠

MHIT

近8点的三等分点，满足条件.

7.探索性动点型2：二面角

【典例分析】

如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AS4D是等边三角形，平面SA0J•平面

ABCD,AB=1,E为棱SA上一点，P为A£>的中点，四棱锥S-ABCD的体积为2更.

3

（1）若E为棱弘的中点，尸是S3的中点，求证：平面在户〃平面SCO；

（2）是否存在点£,使得平面尸石5与平面SAD所成的锐二面角的余弦值为乂处？若存在，

10

确定点£的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析：（2）存在，点E位于AS的靠近A点的三等分点.

【分析】

（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）假设存在点后满足题意，根据题中条件，先求出AD的长，再以尸为坐标原点，P4所在

直线为x轴，过点尸与A5平行的直线为了轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，得

到尸（0,0,0）,A（l,0,0）,S（0,0,V3）,设

AE=AAS=4（—l,0,G）=（-A,0,V3A）（0<2<1）,分别表示出平面PEB与平面SAD的一

个法向量，根据向量夹角余弦值，求出九=；,即可得出结果.

【详解】（1）证明：因为E、E分别是弘、S3的中点，所以EFV/AB，

在矩形ABC。中，AB//CD,所以EF7/CD,乂因为E、P分别是SA、的中点，所以

EP//SD,

又因为跖〃CZ），EFcEP=E,EF,EPu平面PEF，SO,C0u平面SC。，

所以平面尸E尸〃平面SCD.

（2）解：假设棱弘上存在点E满足题意.在等边三角形S4D中，P为AD的中点，于是

SP1AD,

又平面S4D_L平面ABCD，平面SADc平面ABCZ）=，SPu平面SA。,

所以SPJ■平面A8C0，所以SP是四棱锥S-ABCD的高，设AD=m，则SP=3/n，

2

S矩形ABC。=m，

斫口“/_'cCp_1石_2石

r

4^S-ABCD-S矩形ABDDtSP-—m-m--^-，

所以加=2,

以尸为坐标原点，以所在直线为X轴，过点尸与AB平行的直线为y轴，尸S所在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.则尸(0,0,0),A(l,0,0),B(l,l,o),S仅,0,6),设

AE=AAS=X(-l,0,G)=(-4(),6x)(0<2<1),

PE=/Vl+AE=(1,0,0)+(—X,0,G/l)=(1—40,G/Q,=(1,1,0),

设平面PKB的一个法I可量为4=(x,y,z),有《''，令x=&2,

勺•PB=x+y=0

则勺=(\/3Z,—\/3A,A—ij,

mt

易知平面S4D的一个法向量%=(0,1,0)，

画，因为OW/IW1,所以丸=」，

所以,05(勺，4

闷国力力一22+1103

所以存在点E，位于AS的靠近A点的三等分点.

【变式训练】

如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面ABCD为正方形，且正方形ABCD边长为2,以，平面ABCD,

PA=AB,E为线段P8的中点，下为线段BC上的动点.

(1)求证：AEJ_平面P8C；

(2)试确定点尸的位置，使平面AEF与平面PC。所成的锐二面角为30°.

【答案】(1)证明见解析；(2)点尸为8c中点.

【分析】

(1)先根据线面垂直性质与判定定理得AE_LBC,再根据等腰三角形性质得AE_LP8,最后根

据线面垂直判定定理得结果；

(2)先建立空间直角坐标系，利用F坐标，结合空间向量数量积求二面角，再根据条件列方程

解得结果.

【详解】

(1)平面ABC。，BCU平面ABC。，：.PALBC,为正方形，J.AB1.BC,

XPAHAB=A,PA,48U平面以B,，8C_L平面以B,，AEU平面以8,

：.AE±BC,'：PA=AB,E为线段PB的中点，又PBCBC=B,PB,BCu平面P8C,

，AE_L平面PBC；

(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设正方形ABC。的边长为2,则A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),

0(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),

uuai

AE=(1,0,1),PC=(2,2,-2),PQ=(0,2,-2)，设F(2,2,0)(09S2),，AF=(2,4,0),

n•AE=0%+Z1=0

设平面AEF的一个法向量为“=6,%,zj,则《

n•AF-02%+4y=0

x1=-A

令yi=2,则n=(-2,2,2),设平面PCD的一个法向量为根=(九2,%,z2)，

Z]=/I

m•PC-0x2+y2-z2=0X=Q

则《,令”=1,则＜2772=(0,1,1)

m•PD—0)2―2=°Z2=]

irr

m-n|2+A|_6

•；平面A"与平面PCD所成的锐二面角为30。，二|cos30°|=

1T2

m\nV2xV2/l+42

解得7=1，

当点尸为8c中点时，平面AEF与平面PC。所成的锐二面角为30。.

BX

8.翻折中的角度

【典例分析】

如图(一)四边形4BCD是等腰梯形，DC//AB,DC=2,AB=4,NA3C=60。，过。点作QE_LAB,

垂足为E点，将..A£»沿QE折到<E£>位置如图(二)，且A'C=2&-

(1)证明：平面A'£OJ_平面EBCD；

f

Ap1

(2)已知点P在棱4c上，且正=不，求二面角。一£尸一。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)叵

14

【分析】

(1)根据勾股定理证明A'ELEC,再根据线面垂直的判定证明4名_1面后30进而得到平面

平面EBCD-.

(2)以£为坐标原点，建立空间直角坐标系E-xyz,分别求得平面CEP和平面EPD的法向量，

根据面面角的向量求法求解即可

(1)

证明：在等腰梯形ABCZ)中，DE±AB,J.DELAE,：.A'EYDE

DC=2,AB=4)ZLAJBC=60°,BE=3>BC=AD=2,DE=A/J

在，EBC中，知EC=V7,•.,A'E=AE=1,VA'C=242,A'E2+EC2=AC2

A,El.EC,EC,£>E<=®IEBCD,ECDE=E,AEJL面E8CO

"/A'Eu面AE£),；.面A'ED±面EBCD

(2)由(1)知A'EJjfliEBCD,EDLEB.♦.以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E-孙z

A（0,0,l）,£＞（0,6,0）,C（2,60）,CA'=（-2,-73,l）

r

设Api..CP・?若••7•科="。+。。=I24,x手/3,24设勺=a，y，zj是面

iCZC/iJ3IDDD,

C£产的法向量,

2732_n

勺£尸=0§%1+可乂+§4=0

令玉=6,，y=-24=0,q=(G,-2,0)

%.EC=O

2xj+\/3yl=0

H2EP=0,f2x2+V3y2+2z2=0

设%=（%,%，22）是面。石。的法向量，**•%=o

%•ED=0'yfjy2=0

令Zz=-1,/.x2=l,%cos®=1-“=2/^

•'772x73+414

由图知，二面角c-EP-Z）的余弦值为锐二面角，余弦值叵

14

【变式训练】

DE

如图1,在等边..A8C中，点O,E分别为边A8,AC上的动点且满足£>E〃8C,记下=几.将

BC

△ADE沿OE翻折到△MDE的位置并使得平面MDEA.平面DECB,连接MB,MC得到图2,

点N为MC的中点.

（1）当EN〃平面M8O时，求4的值；

（2）试探究：随着力值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果

不改变，请求出二面角8-M£）-E'的正弦值大小.

【答案】（1）%=；（2）不改变，乎

【分析】（1）苜先取MB的中点为P,连接OP，PN,再结合线面平行的性质即可得到

（2）利用空间向量法求解即可.

（D

M

N

取MS的中点为尸，连接OP,PN,匣//因为MN=CN,MP=BP,