《高等数学》教案(162学时)

第一章：函数与极限

一、教学内容及学时分配

1.函数5学时

2.数列的极限1.5学时

3.函数的极限3.5学时

4.无穷大与无穷小2.5学时

5.极限运算法则2学时

6.极限存在准则•两个重要极限2.5学时

7.无穷小的比较2学时

8.函数的连续性4.5学时

9.闭区间上连续函数的性质1.5学时

二、教学目的与要求

1.理解函数、函数的图象、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等概念及性质。

2.理解复合函数的概念，会求分段函数的复合函数，掌握反函数的概念及其本质。

3.掌握基本初等函数的性质及其图象，熟悉初等函数的概念。

4.理解数列极限的概念。

5.掌握数列极限的性质及四则运算法则。

6.熟悉单调有界数列必有极限的准则，掌握数列极限的夹逼准则。

7.理解函数极限的概念（含自变量趋于有限值和无穷大时的极限及单侧极限）。

8.掌握函数极限的性质及四则运算法则，能利用两个重要极限求有关极限，熟悉第二重要极限的推

广结果。

9.掌握有理函数的极限运算规律及推广结果。

10.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的比较法，会用等价无穷小求极限。

11.能用极限知识处理一些实际问题。

12.理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性，能区分间断点的类别。

13.掌握初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用。（卜四）

熟悉曲线的渐近线的定义，能求一些简单曲线的渐近线。

三、教学重点与难点

1.函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性

2.初等函数的定义以及基本初等函数的性质、图形

3.极限的概念及性质

4.两个重要极限以及等价无穷小在极限运算中的应用

5.连续的概念

6.零点定理及其应用

四、教学方法和教具：讲授；多媒体课件

第一节：函数

一、集合与区间

］、集合

、具鲁某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素

表示方法：用A,B,C,D表示集合；用a,b,c,d表示集合中的元素

1）A={4，。2，〃3,..}2）4={x|x的性质尸}元素与集合的关系：aAaeA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N,Z,Q,R,N+

集合与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，

记作AuB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B

若作AuB且AwB则称A是B的真子集。空集0uA

2、区间

开区间（。力）闭区间卜力］半开半闭区间（a,4\a,b）有限、无限区间

邻域U（a,S）=（a-瓦a+5）a邻域的中心b邻域的半径

去心邻域6（。,b）左、右邻域

二、函数概念

定义（见教材）记为y=f（x）,xeD自变量、因变量、定义域、值域、函数值用/、g、

（P

函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分

枝.

例：1）y=22）y=

1x>0

3）符号函数y=<Qx=04）取整函数y=［x］（阶梯曲线）

-1x<0

5）分段函数y=<0<x<l

1+Xx>1

三、函数的几种特性

1、函数的有界性（上界、下界；有界、；界）有界的充要条件：既有上界又有下界。

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2、函数的单调性（单增、单减）在XI、X2点比较函数值/（项）与/（》2）的大小（注：与区间有关）

3、函数的奇偶性（定义域对称、/（x）与/（-X）关系决定）图形特点（关于原点、Y轴对称）

4、函数的周期性（定义域中成立：/（x+/）=/（x））

四、反函数

函数与反函数的图像关y=x于对称，儿个反三角函数

五、复合函数•初等函数

1、复合函数：函数〃=g（y）定义域为5,函数y=/（x）在D上有定义、且/（O）uZ）|。则”=g（/（x））

为复合函数。（注意：构成条件）

2、初等函数：（定义见教材）

1）基函数：y=xa2）指数函数：y=ax3）对数函数y=log,,（x）

4）三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y-secx,y-escx

5）反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

以上五种函数为基本初等函数。初等函数的定义见教材

作业：67T93，4,6,13,16,17

第二节：数列的极限

一、数列

1、数列的定义

数列就是由数组成的序列。一般写成：%a2%«4..........缩写为｛〃“｝

例1数列口］是这样一个数列卜“｝,其中x„=-,〃=1,2,3,4,5.....

n

—.1111

也可与为：1，一，一..........

2345

可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0,记为lim’=0

〃TCO〃

2、数列的极限、收敛、发散的定义

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1如果数列卜“｝收敛，那么它的极限是唯•的

定理2如果数列｛x,J收敛，那么数列卜“｝一定有界

定理3如果数列““｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且收敛于a

作业P2&(教师提示，学生不做在作业本上)

第三节：函数的极限

一、自变量趋向有限值时函数的极限

如果自变量x趋于X。时.，相应的函数值/(x)趋于某实数A,则称A为x趋于X。时/(x)的极限，

记为：lim/(X)=Ao

例(见教材)左、右极限。单侧极限、极限的关系例(见教材)

二、自变量趋向无穷大时函数的极限

如果当W无限增大时，相应的函数值/(x)趋于某实数A,则称A为x趋于8时/(x)的极限记为：

lim/(x)=A例(见教材)

在无穷远点8的左右极限：/(+8)=lim/(x)/(—8)=lim/(x)

*->+00XT-00

关系为：lim/(x)=A<=>limf(x)=A=lim/(x)例(见教材)

XTcoX->+OOXf-8

三、函数极限的性质

1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的周部保号性4、函数极限与数列极限的关系

作业鸟6.37(教师提示，学生不做在作业本上)

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小1、定义2、性质例(见教材)

二、无穷大1、定义2、性质例(见教材)

注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，如果/*)为无穷大，则」一为无穷小；反之，如果/(x)为无穷小，且

/(x)

/(X)丰0则一1—为无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系(注意是在自变量的同一个变化

/(x)

过程中)

作业与31，2,4

第五节：极限运算法则

1、若函数/和g在点/有极限,则lim(/(x)+g(x))=lim/(x)+limg(x)

x->xox->xoXT与

2、若函数/和g在点x0有极限,则lim(/(%)•g(x))=lim/(%)-limg(x)

.r—>.t0x—>.r0x—>x0

特殊:lim(a•/(x))=a-limf(x)

X—x—>x0

3、若函数/和g在点与有极限，并且limg(x)=£wO,则lim32=二——=上

Eo(g(x)Jlimg(x)0

4、设函数y=f[g(x)｝是由函数丁=f(〃)与〃=g(x)复合而成,Hg。)]在点,的某去心邻域内有定

0

义，若limg(i)=〃o，lim/(w)=A,且存在，〉O,当xe[/(々pg))时，有则

XfXoU->UQ

lim/[g(x)]=lim/(〃)=A

例：求下述极限

..x-3..2x-33丁+4/+2

1101^5-------hm^----------lim——------------

7/一9I1x-5x+4A-»CO7r+5/-3

3X2-2X-1[.2/—x2+5

lim——；---；---hm―；-------sinx

is2x3-x2+5—83x2-2x-ilim-----

xfoox

作业P50_5l1,2,3

第六节：极限存在准则•两个重要极限

定理1夹逼定理:三数列心“｝、｛)，“｝和也,｝,

如果从某个号码起成立：1)xn<yn<zni并且已知｛x“｝和｛z“｝收敛，2)limx“=a=limz”,

X—>00X—

则有结论：limy”=a例(见教材)

X->00

定理2单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

八「sinx1

两个重要极限：①lim----=I②lim(lH—)A=e

Xf°X•98x

例：求下列极限

I

「tanx一l-cosxaresinx「I、*

lim----lim----——lim-------lim(l——)lim(cosx)」

XTXT。XXf8XXT

OX10XO

作业儿1,2,3

第七节：无穷小的比较

定义：设a及/?都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小.

如果lim2=0,就说?是比a高阶的无穷小，记为住o(a).

a

如果lim2=8,就说夕是比a低阶的无穷小.

如果lim2=cwO,就说〃与a是同阶无穷小.

a

如果Hm"4~=cwO,k>0,就说/?是关于。的k阶无穷小.

ak

如果lim2=l,就说夕与a是等价无穷小，记为a〜夕.

a

例1.3X2=O(X)(X->0).例2.当时，■!■是比-V低阶的无穷小.

nn

例3.当R-3时，X2-9与x-3是同阶无穷小.例4,当X-0时，l-cosx是关于x的二阶无穷小.

例5.当工―>0时,sin犬与x是等价无穷小，即sinx〜x(/—>0).

定理1£与。是等价无穷小的充分必要条件为分a+o(a).

例6.因为当工.0时sinx~x,tanx〜x,1-cosx〜,所以当工一。时，有

sini(x),tan—(x),~-=#+。(V),

定理2，设a〜a;阳炉,且lim?*存在，则lim2=lim&.

aaa

定理2表明，求两个无穷小之比的极限时;分子及分母都可用等价无穷小来代替.因此，如果用来代替

的无穷小选取得适当，则可使计算简化.

例7.求1加注.例8.求lim等).例9.lim-'二

x->0Sin5xA-->0X3+3；V.r->0COSX—l

作业Pa1,2,4

第八节：函数的连续性

一、函数连续性的概念

函数/在点与连续，当且仅当该点的函数值/(x0)、左极限/(%-0)与右极限f(x0+0)三者相等：

f(xo-O)=/(x0)=/(x0+0)

或者：当且仅当函数/在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。lim/(x)=f(x0)

函数在区间(a,b)连续指：区间中每一点都连续。

函数在区间［a,b］连续指：区间(a,b)中每一点都连续，端点处单侧连续。

连续函数的图像通常是条连续且不间断的曲线

二、函数的间断点

若:/(x0-0)=/(/)=/(%+0)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：f(xo+0)Hf(Xo-O)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上一出现一个跳跃。

2、第二类间断点与：左极限/(%-0)与右极限/(%+0)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

三、初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.lim/(X)=f(x0)且limg(x)=g(x0)=>lim{a-f(x)+)3-g(x)}=a-f(x0)+J3-g(x0)

XTXQXTX。

2lim/(x)=/(/)且limg(x)=g(x°)=>lim{/(x)*g(x)}=f(xQ)*g(x0)

Xf0XTXoXTX0

f(X)f(x)

3.1加/(》)=/(4)且limg(x)=gOo)HO=>lim=n

A—>x0g(x)g(Xo)

反函数连续定理：如果函数/：?=/。),％6。/是严格单调增加(减少)并且连续的，则存在它的反函

数/t：x=/T（y）,ye叫，并且//也是严格单调增加（减少）并且连续的。

注：通常惯用x表示自变量，y表示因变量。反函数也可表成y=/T（x）xGDr>

复合函数的连续性定理：

设函数/和g满足复合条件乜U。/,若函数g在点X。连续；g（Xo）=M0,又若/函数在点“0连

续，则复合函数/og在点/处连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换位置：lim/（g（x））=/（limg（x））

Xf%XTXo

初等函数在其定义区间内连续。

作业P"1,3,5,6

第九节：闭区间上连续函数的性质

一、最大值与最小值

最大值与最小值：对于在区间/上有定义的函数/x）,如果有xoel,使得对于任一xel都有段）7沏）

如）加ro））则称/（xo）是函数Ax）在区间/上的最大值（最小值）.

例如，函薮/（x）=l+sinx在区间［0,2用上有最大值2和最小值0.又如，函数火x）=sgnx在区间（-8,+oo）内有

最大值I和最小值-1.在开区间（0,+oo）内，sgnx的最大值和最小值都是1.但函数凡r）=x在开区间仅，匕）内既

无最大值又无最小值.

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.

定理1说明，如果函数/W在闭区间口,0上连续，那么至少有一点看e［a,处使大输是犬x）在［〃，切上的

最大值，又至少有一点会可出b］,使式务）是段）在句上的最小值.

注意：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或

最小值.

例：在开区间37）考察函数尸x.

-x+10<%<1

又如,y=/（x）=1x=\在闭区间［0,2］上无最大值和最小值.

-x+3l<x<2

定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.

二、介值定理

零点：如果X。使犬刖）=0,则须称为函数式行的零点.

定理3（零点定理）设大x）在闭区间值们上连续，且/（a）与犬8）异号，那么在开区间仅，b）内至少有一点&使

定理4（介值定理）设函数段）在闭区间叵目上连续，且在这区间的端点取不同的函数值/）=A及加）=8,

那么，对于A与8之间的任意一个数C,在开区间（。,份内至少有一点彳，使得/（9=C.

定理4,（介值定理）设函数兀目在闭区间［a,々上连续，且共。）可㈤，那么，对于人〃）与Ab）之间的任意一个数

C,在开区间（a,b）内至少有一点使得AJ=C.

定理4的几何意义：连续曲线弧）/尤）与水平直线产C至少交于一点.

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

例证明方程/_4x2+1=0在区间（0,1）内至少有一个根.

作业：吕51>2

第二章导数与微分

一、教学内容及学时分配

1.导数概念5学时

2.函数的和、差、积、商的求导法则2学时

3.反函数和复合函数的求导法则3学时

4.高阶导数1学时

5.隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数3学时

6.变化率问题举例及相关变化率2学时

7.函数的微分2学时

8.微分的应用1学时

二、教学目的与要求

1.理解导数的概念及其几何意义，会求曲线的切线方程和法线方程，会用导数描述一些物理量，知

道函数的可微性和连续性的关系。

2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式，

掌握反函数、隐函数的求导方法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法。

3.能求分段函数在分段点处的导数，并能利用此知识确定分段函数中的待定常数。

4.理解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数。

5.知道可微与可导的关系，熟悉微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，

熟练掌握微分公式及法则的逆向使用。

6.掌握微分在近似计算和误差估计中的应用。

三、教学重点与难点

1.导数的概念以及导数在几何、物理中的应用

2.常用求导公式

3.复合函数、隐函数的求导法则

四、教学方法和教具：讲授；多媒体课件

第一节：导数概念

1、定义―—包=lim〃/+&）7（x。）=5/⑴一/。。）

-TOAXXTXQX-XQ

/(,r+Ax)-/(x)

r'(x)=lim

Ax

左导数f\x0）=lim"/=lim"划一"%）

Arf（TArXT与-X-XQ

右导数/+（Xo）=lim/（/+-）-/（/）=limfM-fW

AxI江X-XQ

所以r（X。）=Aoz（x0）=/,（x0）=A

可以证明：可导=＞连续。即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。

2、导数的几何意义

曲线〉=/（》）在点（%，%）处切线：y-%=r（xo）（x-x。）法线：'（xf）

J（工0）

在k0处可导性

0x=0

例2已知人%)存在，则lim/U+2/»)-/(x0)=2/'(%)

*-oh--------

lim/(%二5""4%)=-5/(%)

h—>0h----------

hmf(x0+3h)-f(x0-h)=["(Xi)-"%).—?)-/(%)

/i—>0h/»->ohh

=4/(x。)

例3设函数/(x)可导，则lim/2(》+-)-<(*)=2/(x)r(x)

AxTOA%-------------

*2

例4设/*)=厂X-%0为使/(x)在x=x°处可导，应如何选取常数a、b

ax+bx>xQ

例5f(x)=x(x-l)(x-2)•,…Q-9),则r(0)=

例6设/(x)在尤=0的某邻域内连续，iim、Z里—=2，则/'(0)=______

V1+X-I

例7设函数/(l+x)=a〃x),且f!(O)=b(4,6¥0),问广’⑴存在否？(答：/()=•)

作业/_90L(2)、(4),4,6.(4)、(7),7,9,10,12,13,16

第二节：函数和、差、积、商的求导法则

一、函数和的求导法则（Pw_92）

33

例1.y=2x-5X2+3X-7,求y'例2./(x)=x+4cosx-sin-y,求/'(x)及/”(三).

二、函数积的求导法则（鸟3-94）例3.y=e1(sinx+cosx),求y'.

三、函数商的求导法则（44）例4.y=tanx,求y'.例5.y=secx,求y'.

作业&_991.（1）＞（3）,2,4,5,7.奇数题，8.奇数题，9.偶数题

第三节：反函数和复合函数的求导法则

一、反函数的导数

如果函数00，）在某区间内单调、可导且/'（y"0,那么它的反函数月'TQ）在对应区间心｛*式丫）,

厘｝内也可导，并且［二（研=肃.或案=今

~dy

例1.证明：在(-1,1)内有(arcsinx)'=J,(arccosx)"=一一----

Vl-x2/

例2.证明：在(-co,+8)内有(arctanx)'=―二(arccotx)'=一-].

1+x1+x2

例3证明：在(0,+8)内有(log„x)'=―--.

xlna

几个常用求导公式

(1)(0=o,,⑵(小〃—，(3)(sinxy=cosx,(4)(cosx)'=-sinx,

(5)(tanx)r=sec2x,(6)(cotx)'=-cscx,(7)(secx)z=secxtanx(8)(escx/=-cscxcotx,

(12)(lnx),=l,

⑼(axy=axIna,(10)(/)'=",(11)(log,,xy=-y—,

xlnaX

(13)(arcsinx)z=

r-J—=(14)(arccosx)r=一一.(15)(arctanxY=-(16)

vl-x2y/l-x2l+x2

(arccotxY=—■——-

1+x2

二、复合函数的求导法则

dudy_

定理：w=c(x)在点x处有导数区，y=/(M)在对应点u处有导数而，则复合函数y=/［夕(切

在点x处也有导数，且包=包.四=r(“).，(x)

dxdudx

例1求下列函数的导数

arctg-1

1.y=xsin(2x2+1)2.mJl+v?3.y=arctgyfx4A.y—ax

8.y=ah+xa，+bx

例2设产八小),求管

22

一优+1--,x<0

例3设〃制=°(a>0,aHl),求「⑴

sinx八

---,x>0

.x

作业/8T1O1.偶数题，2.偶数题，3.偶数题，4,5,9

第四节：高阶导数

g1=1"'伉+词-仆)=1"'(止/(%),产)(x)="g)(x)T

2

dxx=x0…Axfx-xQ

例1设y=x(2x-l)2(x+3)3贝ijy(6)=

f(x)Xw0

X

例2设/(x)在(-00,+00)上具有二阶连续导数，且/(0)=0,对函数g(x)h

ax=o

(1)确定a的值，使g(x)在(-co,+oo)内连续

(2)对(1)中确定的“，证明g(x)在(-8,+oo)内的一阶导数连续

作业片42，3.(1),4,7.(1)、(2)

第五节：隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

若方程F(x,y尸0确定了产y(x),只需方程两边对x求导就可以计算出包，(注意尸y(x))

dx

例1设ysinx-cos(x-y)=0求y

例2设y=y(x)是由方程*+ln上=0所确定的隐函数，求y'(0)

x+1

例3y=y(x)是由方程+孙=6所确定的隐函数，求(o),y"(o)«

例4设丁=但三应三五求y

■\(x-3)(x-4)

二、由参数方程所确定的函数的导数

公式,:若“《x="(p(t)，则在一定条件(见教材)下有虫=空2

dx(p(t)

例］设卜=e"T求会

y=r+1dx,dx2

例2设y=y(x)是由方程组(x"-2T所确定的函数，求9

[y-evsin/-1=0

作业425T26L⑴、(3),2,3.(2),4.(3)、(4),5.(2),7.(1),8.(2)

第六节：变化率问题举例及相关变化率

例一气球从离开观察员50Q/处离地面铅直上升，其速度为140m/min(分).当气球高度为500m时，观察员

视线的仰角增加率是多少？(答：华=杂=0.14(弧度/秒).即观察员视线的仰角增加率是每秒0.14弧

at500

度)

第七节：函数的微分

一、微分的定义

设函数在某区间内有定义,即及xo+Ax在这区间内，如果函数的增量△)，/xo+Ar)/xo)可表示为

^y=AAx+o(^x),其中A是不依赖于以的常数，那么称函数)H>)在点须是可微的，而W叫做函数

在点均相应于自变量增量〃的微分，记作dy,即dy=AAx

函数可微的条件：函数式x)在点的可微的充分必要条件是函数外)在点X。可导，且当函数人x)在点X。可微时,

其微分一定是d)ms)Ax.

例1求函薮尸？在41和x=3处的微分.例2.求函数当x=2,Ar=0.02时的微分.

自变量的微分：通常把自变量x的增量Ax称为自变量的微分，记作心，即于是函数月(x)的微分

又可记作dy=f'(x)dx.从而有学=f'(x).

二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1.基本初等函数的微分公式(见教材)

2.函数和、差、积、商的微分法则(见教材)

3.复合函数的微分法则

无论"是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变.这一性质称为微分形式不

变性.

例3.y=sin(2x+l),求dy.例4.y=ln(l+eF),求力.例5.y=el-3'cosx,求dy.

例6.在括号中填入适当的函数，使等式成立.

(1)J()=Mx;

(2)d()=cosa>tdt.

作业片44T453.偶数题，4

第八节:微分的应用(学生自学，教师答疑)

如果函数月㈤在点X0处的导数尸(30,且M很小时，我们有

^yady=f'(xo)/^x,

△月(%0+©)也0)3)守，(劭加，

/Uo+Ar)M>o)4/'(Xo心.

若令x=x()+Ax,即Ar=x-xo,那么又有

o)+f'(Xo)(X-Xo).

特别当xo=O吐有

—旭时'(0比

例1.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm.估计一了每

只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cn?)?.

例2.利用微分计算sin30O3()，的近似值.

作业不布置作业

第三章中值定理与导数的应用

一、教学内容及学时分配

1.中值定理4学时

2.洛必达法则4学时

3.泰勒中值定理1学时

4.函数的单调性和曲线的凹凸性4学时

5.函数的极值和最大值、最小值3学时

6.函数图形的描绘2学时

二、教学目的与要求

1.理解并能应用费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理处理一些简单问题；熟悉柯西中值定理的内容,

了解柯西中值定理的一些简单应用。

2.了解泰勒中值定理的内容及简单应用。

3.掌握用洛必达法则求各类未定式极限的方法。

4.理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，能利用函数的单调性

证明简单的不等式，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用(如：不等式的证明，实际问题的处理)。

5.掌握用导数判断曲线的凹凸性和求拐点的方法。

6.会求曲线的各类渐近线；能描绘函数图象。

三、教学重点与难点

1.罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用

2.判定曲线的单调性和凹凸性以及利用函数的单调性证明不等式

3.利用洛必达法则求未定式极限

4.求函数的最大值和最小值

四、教学方法和教具：讲授；多媒体课件

第一节：中值定理

一、罗尔定理

若/(x)满足：⑴在［a,可上连续.(2)在(。⑼内可导.⑶/(a)=/(fe)

则至少存在一点(a/),使r《)=0

例1设g(x)=x(x+l)(2x+l)(3x-l),

则在区间(-1,0)内，方程g("=0至少有2个实根；在(-1,1)内g"(x)=0至少有2个根

例2设“X)在［0,1］可导，且〃0)=〃1)=0,证明存在〃€(0,1),使得/(7)+〃/(〃)=0

例3设“X)在［0,1］可导，且〃0)=〃1)=0,证明存在〃，使得生(〃)+户(〃)=0

二、拉格朗日中值定理

若/(x)满足：①在［。,可上连续；②在(。力)内可导，

则存在百e使得=

推论：⑴如果在区间I上尸(x)=0,则在I上〃x)=c

(2)如果在区间I上/(x)〉0(<0),则/(x)在I上单增(减)

例4证明：当凶<1时,有arctan；arcsinx=~~

例5证明：当x>0时，有上<in(l+x)<x

作业片624,5,6,7

第二节：洛必达法则

一、7类未定式：1、9型2、方型3、0*8型4、8-8型5、0°型6、8°型7、1°°型

000

9型和艺型未定式的处理方法--洛必达法则(见教材)

二、

000

1.sinax「x-sinx1—3x+2

例1lim--------例2hm-----------例3lim-----------------

x-。sinbxx-OX'ix-x-x+\

f-arctanx..Inx

例4lim--------例---5----hm-----例6lim卞(2>o)

Xf+ooXXf+OOJQn

三、其它类型未定式的处理方法

limx"

例7+例8lim(secx-tanx)

x->0XT-兀

作业加1-2

第三节：泰勒中值定理

泰勒中值定理如果函数«r)在含有沏的某个开区间(a,b)内具有直到5+1)的阶导数，则当x在(“，3内

时可以表示为(X-X0)的一个n次多项式与一个余项R“(x)之和：

/(x)=/(Xo)+/'(Xo)(x-Xo)+]/"(Xo)(x-Xo)2+•••+；/叫Xo)(x-Xo)"+M(x)

2!〃！

其中&。)=与"等。一%)"+14介于为与X之间).

如果对于每个固定的〃，当X在区间(凡与内变动时，-向)(x)1总不超过一个常数M则有估计式:

悌网启然(“一劭平焉/T。叫

在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成

2(n)

f(x)=f(x0)+f\x0)(x-x0)+^-f"(x0')(x-x0)+--•+^/(x0)(x-x0)«+o[(je-x())«].

Z!Hl

当xo=O时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是

f(x)=/(0)+/'(0)x+*x2+...+Z^2)x,,+&(x),

2!nl

或/(x)=/(O)+/'(O)x+空N+…空x"+心),

其中&(幻=竺g“+i

(n+1)!

由此得近似公式：

/(x)«/(0)+f'(0)x+^^-x2+…+尸：(叭”.

2!rv.

第四节：函数的单调性和曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法(见教材)

例1设x〉0,证明ln(l+%)<x例2设x>0，证明V+iAinx

例3设a〉p>e,证明p01>ap

例4设〃x)在[0,c]上可导，且/'(X)单调减少，/(0)=0

证明：++,0<a<b<a+b<co

二、曲线的凹凸性与拐点

在区间I上，若广(x)〉0(<0),则曲线y=/(x)在区间I上是凹(凸)的,

在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。

可能的拐点，(x)=0和/"(X)不存在的点

(%-以

例5求曲线y=-~—的凹凸区间和拐点

X

作业441，2，4,5,6,7.(1)

第五节：函数的极值和最大、最小值

一、函数的极值

1)定义：如在与的某邻域内，恒有/(x)与6)，(/(*2/(毛))，则称/(%)为函数〃x)的一个极大(小)

值。

可能极值点：/(灯不存在的点与/'(6=0的点(驻点)

2)判别方法(见教材)

例1设函数/(x)在x=0的某邻域内可导，r(0)=0,如今［=一;，则"0)是"X)的极_i_值。

例2设y=/(X)满足关系式y-2y'+4y=0,且/(%)=o，则/(x)在/点处_A_

A、取得极大值B、取得最小值C、在小某邻域内单增D、在毛某邻域内单减

例3已知函数“X)对切x满足4•”(x)+3x［/。)了=1一"，如［优)=0，(/*0)，则_A_

A、是的极小值B、/(%)是“X)的极大值C、(/、/(%))是曲线的拐点

D、/(X。)不是〃x)的极值，(.%J(x。))也不是曲线y=〃x)的拐点。

二、函数的最大、最小值

(1)求出连续函数/(x)在3力)内可能的极值点，不需判别是极大还是极小值，求出它们的函数值，再

与端点的函数值进行比较，其中最大的(小)为/(x)在句上的最大(小)值。

(2)连续函数/(x)在(a,b)内可能极值点唯一，如可能极值点是极小值点则它为/(x)在(a,b)内的

最小值点；如是极大值点则为最大值点。

(3)实际问题据题意可不判别。

例4设04x41,p>\证明2'-p<xp+(l-x)p<l

提示求/(x)=/+(l—x)”在［0,1］上的最大、最小值

例5在抛物线y=4-xz上的第一象限部分求一点P,过P点作切线，使该切线与坐标轴所围的三角形面

积最小。

作业A95T97L⑴、⑶、(5),2,3,4.(1),5,6,7,8

第六节：函数图形的描绘

一、曲线的渐近线

1.铅直渐近线2.水平渐近线3,斜渐近线

2x-l