陈文登考研高等数学复习指南习题及答案解析

高等数学

习题一

1.填空题

⑴设tan（l±£）«-「"成,则常数==_

［解答］蹙（竽・=驰（1+$・=/

口•a=3--£=*，g-D由题意可得Q-I=I即<«=2

(2)fan_)=_

**•*+*+1*+#+2M¥ft

।解答］心1+嘉三~+^^

1+2+…+尤_#(%+D

『+#+#—劭'+2)

I+2.+m《1+2+・・・+%_.(if+D

7+X+1储+*+2+K+M/+#+12(l+x+l)

卜〃("D_■W+D.2

4-2M)-20?+“+D2

由夹逼原则可得原式=：

则a-=_fb=_fc=

o

得

可o

［解答］当XTQ时，由o-

原式w-sm*_"E：.上学人同理可得

力曲Hl+力/

故原式二5埸招

（4）已知/'。）=2则工，。啜一/⑦=

［解答］原式=翦-r--:小

｛器:;.则加加一

（5）已知函数/*）=

［解答］/IAx）］=D（r）|＞［，又|/a）|*lxw（Y0,3所以/I/U）l=1

⑹fan4）=_

［解答］原式=fcn

VK+'K/M+&-6

・fan=♦2

*2

⑺设函数/（X）有连续的导函数，/（D）=0,/f（p）=*,若

1⑸+。如xx.O

27（x）=«X'在*=0处连续，则常数.£=_

A,x=0

［解答］人=3』（©+‘一工=母/Tx）+aegx-JXS+a-8+d

(8)设当xrO时，/(x)="一上巴为*的3阶无穷小，则a=_>=

1+OT

f_l+以

I解答］现审丝

/+”+/可-a

♦I+b-a=0

33xa+46xs

//(1+24+5*)；.-

&M———…*—1-»1+2A=0

I6x+12&r'

由此可得0=2,b=--

22

(9)

cosx(x-s®x)

解答］原式=烈

xsnx

■.x1

bn,=-

7676

00)已知fan-................=今0,，8),则ji=

…x4-5-D*r

„mo-t

=hnl—=fan--

［解答］4=fcn-f-----------r

f*1_(二柄***£Jc

用

若极限存在贝U1991-±=0得*=1X1故A^——

1991

2.选择题

⑴设」(x)和*T0在毒上©内有定义，为连续函数，且工(蜀,

有间断点，则

工〈6必有间断点/(X)工必有间断点

《0)/0/必有间断点工*之，曲必有间断点

*1*

［解答］若一连续，则h㈣!理处工也连续，与题设矛盾，所以应该选二.

(4)H*X'・

⑵设函数则一1是

(即偶函数］无界函数(C)周期函数N单调函数

［解答］因为所以二三，又K—o为无界函数，当任意给定一正数居，

都存在@=-1时，使得,于是玲法苦常玩言片故

一福雄为无界函数，所以应该选(«).

⑶当3=4时，函数.6的极限是

人4等于(00=&等于。)为专法不存在但不为京

0r=-4t

所以应该选(D)

r(z-i)dx

⑷若函数/(X)=---了-----，*工0在x=0处连续，贝IJd的值是

x=0

5：'⑺1(Q2(D)1

I(r^-iyxZ-l-

僚答］现一^=翦丁=黜云=0'则"°，所以应该选(4).

极限+工…“3]的值是

(5)faa(2巾/SD'J

胸。⑷1©2(D)不存在

［解答］原式

=整巾-**5+…+小］=1,所以应该选g

⑹设巴啰器立=8,则

・;值是

(4)1(ft2(D)均不对

［解答］原式=fcn//=38解得。=我所以应该选(C).

-X

⑺设fanJ二D(x二2Xx二3Xx二必x一分=我则匚.的值为

f(3x-2『

(甩a=LjS=l(S)a=5.#=!(C)a=5,#=!(O)均不对

33y

［解答］原式=fcn」L=A，由上可得a=\A=J,所以应该选(6.

>-*(3x)*8T

⑻设双：_耕僦则当*->q时，

10/00是士的等价无穷小(切/(»)与是,同阶但非等价无穷小

是比F较低阶的无穷小（0）/00是比T较高阶无穷小

［解答］原式=Em-__-__-=faB2kh2-l-rh3=k6.所以应该选(S)

⑼设现。+x*+2?1+知+.=$则.：的值是

(勒—1(S)1(Q2(0)3

［解答］若原式极限存在，当XT0时，由9可得a=-1,所以应该选（本.

0

宜atawix+t(l-c»gM)_&

⑩设其中—+J*a则必有

1岐1-加+</。-/)一，

(期&="<%b=~(Q.=4c(D)a=-4c

”原式.岩器

2x-l

..asecx-x

氏M西

2x-l2x-\

。4=2

2e

可得a--4c，所以应该选（O）.

3.计算题

⑴求下列极限

HM•上事£

［解答］原式=lime，=.f廿=。"母"=有

②uxi^(2snx+co3x)a

［解答］原式=fan<"

③bn(in—+«•—),

［解答］原式=hm(2an

▲ZXXI

=frn(cc«-)tf(2an—+D'

XrXX

=8Tj

④皓于

［解答］原式飞0+累*V

_1-CMX11

■M-----------------------r=—

*^cosjr(l+«nx)x*」

所以原极限=

⑵求下列极限

①一卬+尸

TarwwW--1

［解答］原式里】跖+1=颔

②tan(-5--cor,J0

［解答］原式=fan刖'=l+fa»

J。xssinax***xw

I_CQ82x

1+irn-----2j._2sh2x-4jr

2X…如87

③J

ztanxln(l+x)

［解答］原式・^^2丝1邛三五,母

⑶求下列极限

①组M?-(!+»］

［解答］原式=fan("LH—O+x尸)

(—=X)

x

1

24smm尤=24btt工_

i丈i星

-ln(l+x)

i

_%，E1H+RK1T)

I/

l-l-ln(l+x)

2x

②in——

上用赤

［解答］原式=七各1=fen-j------=fan痴》1

*rl-kl"»->—

T

(3)8m［(x+-)4-(x4-—)+...+(*4-^-1^)］.1

*AMX

［解答］原式=km-_-x4-bn

■―»jfjgMJt

=x+afan-X—=为

4♦•X*

1

*--a

2

故由夹逼原则知原式=1

当K=。时，原式=：

当时，原式=im-..=-I

⑥邸与其中a>0.»>0

gUIBZ3.

［解答］原式**2=♦丁=疑(2.x)

^■(1-cosx)

4.设J(X)=x=0试讨论/CO在*・0处的连续性和可导性.

—cost2dix>0

2sinX

［解答］⑴由Em^-yO-cesK)=fcn_----=1

于是在M=0处连续.

⑵分别求/GO在工=。处的左、右导数

£«»)=区手月

支m=区工£一凌-D=区卜丁I==0

所以在x=o处连续且可导.

5.求下列函数的间断点并判别类型.

①/⑻=2»4-1

2,+1

［解答］x=0为函数/（X）的间断点

所以X=0为函数第一类跳跃间断点.

I.x

②小frh

［解答］当时,/W=0

当上|>1时,/3=

当kl〈i时,/«=

即fan/(x)«/(+0，所以x=±1为函数，(方第一类间断点.

碎"4.0

2cosx

③/W=

m—L—,x>0

xa-l

［解答］当x=0时，

fan史上空■=0

1"2a»x

所以x=0为第一类跳跃间断点.

当二=1时，一一不存在，所以r=：为第二类间断点.

P-t

4*+>rK

当-军时，fan式“+」=

22CMx2ntx2

所以x=-：5为第一类可去间断点.

当X=-(4X4-「时，・*---------=8

2中2C9SX

所以x=-(5+当为第二类无穷间断点.

4

6.试确定常数ajb的值，使极限熟玲c/存在，并求该极限值.

ax1〜空当空存在

［解答］原式=bn

Z5x*

0

由丫可得8+1=0，即b=-l

0

3ax2j6ox+2xtf-**匚&+2"

则原式-5?^20?20x3

同理由9可得3*2=0,即a=~-

03

,-2+&"-2»-**(-2*)t

所以原式

3-20?--340*W

7.设/Q0=—r-[7l+«»+«>ax-(a+flvax)],且x=0是fM的可去间断

sinx

点，求a#的值.

［解答］处/(*)=鹑：1+<"1，+。：；(。+“皿”)存在,由孩可得a=l.

CMX4-2«xcesxq

原式=年动+**+而％---------存在，同理由!可得”■•!.

t2wnXCMX02

8.设tan[<—+7/+2).-外='6=0.求aC的值.

一"1+九+印、.I.J£$(1+为+2?尸一1

fel(—?—)-3=寓——z------------

原式史3匕=5小山

10£1。/

i^a(7+a*)=7a=l,即h=Z

x*3n—x>0

9.讨论函数/(*)=x在x=0处的连续性.

,■+A.x40

[解答]当a>0时，bnx*an—=fani=o

x****»

所以若A--1时，/CO在*=0连续.

若户*-1时，在x=0为第一•类跳跃间断点.

当aWO时，x=0是/(引的第二类间断点.

10.设/(X)在x=0的某邻域内二阶可导，且bn［吧震+［单］=。.求

IXX

/©/me及蚂爷上

［解答］向%=玄・W-+0(27?)

31

/(x)=/(Q)4-A0)«+0(?)

由知三可得

%g[3a等+0(27xl)+"6+A0)x+i+0(x1)]

$5[<3+/(0)”+心/+(学-争9+0(27?)+0(?))

所以

/W)=-3/◎=0,八8号2=9

3乌盘…加」

***x12x***22

第二章

一、填空题

7.设区+第卜超4)=go则上.

［解答］原式=/J/&+誓-/("=依、)=:/*(,)所以上=!

・《■・xt^x33

8.已知£［/(p^)l=^则吗=_

［解答］原式《-%=；即/X^r)=-y

令x2=2,贝U/'(T)=-l

9.设/1为可导函数，"ih(/［«a/(x)D)贝iJ-=_

dx

［解答］原式=/Kx)aw/(x)A«n/WJ<»•{/(»/(x)D

10.设函数尸=/(€由方程8Km=d-1所确定，则曲线,=/(右在点

(OLD处的法线方程为一

［解答］两边求导+向(*(/+研=。

将*=。,尸=1代入可得4n=-2

故所求的方程为X-力+2-0

选择题

1.设“x)可导,S(x)=/(jrXl+|m/则/8)■。是尹GO在x=0处可导的

(4)充分必要条件(步充分但非必要条件

(6必要但非充分条件(O)既非充分又非必要条件

［解答］r(o)==区-'(-1J6=/*©-/◎

知°)=区篝#叽区逊(正幽=小).

若F(x)在x=0处可导=史(0)=再@)，即/(0)=0,所以应该选(4).

2.设/G0是连续函数，且*00=［*/("〃，则尸但=

⑸尸/(L)_/(x)(D)<V(e-*)+/(x)

［解答］/，噂=/(•<»(.T)，_/(X)=/(x),所以应该选(4)

3.已知函数具有任意阶导数，且/七。=1/00产，则当判为大于2的正整数时,

/⑴的七阶导数一,8是

sMiirwr*1(切</。)「疝©火刀沪(切

成了⑶产

［解答］=

=»x/(K)iazw=

由数学归纳法可得，*〃©=川(/(*)/*，所以应该选M).

4.设函数对任意1均满足/(l+x)=<(x),且其中a石为非零常数，则

(0/(®在；=1:处不可导(«)/⑴在1=:处可导，且/V)・d

(C)丁㈤在L=：处可导，且/XD-*W)/C0在二=：处可导，且,岫

［解答］人"*/a+3-〃D=n叭8yy领3,故应选(6.

二、选择

7.设/(力=«'0**>。在x=0处可导，则

ax+b1<0

a=IQ=0(属a=O.fr为任意常数

(Q<x=0,d=0(0a=lA为任意常数

［解答］由_/(不在x-。连续可得

In；,/(x)=ki；,sinI=km_Cax+h)=A=0

由,《力在x=0可导得

xan-为—人

・b4b.

Em-----一=区"+。二。=0则a=。，所以应该选(C).

X

8.设700)=0,则/(“)在x=o处可导的充要条件为

存在(协)in：/。一?)存在

©连3/。-0存在(D)鸿/网-"*)1存在

［解答］当x-»O时，--I〜史，则1/(1-?)=Im+0(A))

*■»*h-左

等价于/TO)吃牛,所以应该选(步.

9.设函数/(X)在(YO/MO)上可导，则

(4)当fan/(X)=YO时，必有fanf*M=-co

(切当J,(*)=Y□时，必有的/(«)=-W

♦fX-•w

(C)当bm〃K)=48时，必有=g

—

9)当月(4・*°时，必有fa^/(x)-*»

［解答］若设/(*)=*时，(为(。)均错误，若设/(»)=/时，(仍错误，故选(£)).

io.设函数jc=a在*■。处可导，则函数I/Q)［在*■。处不可导的充分条件是

(X)/(a)=0且/«)=0(S)/(a)=。且/•(«)*0

(Q/(tf)>0且/X«)>0(P)以《)v0且/X<r)<0

［解答］令(以，由导数定义可得产％»)=/必-"⑷|

若/g）＞o,由/（力的连续性及保号性可得/㈤此时正⑷=/Q）

若/(«)<o,同理可得田(《)=-小).

故若不存在，则/(a)=O

若/(o)=0,且/«)wO,设由于im以2=79)>。

***x・o

所以当真as时，/Q)>0,jrva时，/(x)<0

则理g)=firn

喇=6zZ^=-/y

***■•x-a

故“)不存在，所以应该选(切.

三.计算题

1."HE(IO+3/)I，求y

［解答］/=-----~=-［-皿10+V)J6x=-6xtan(10+3xJ)

co<10+3*3

2.已知可导，1y=/tM*+4■!■?)］,求j'.

［解答］八八心+^77)］,_

V<i+*(ta(x+v«+*))

3.已知［/油.「85M1+士丁,求丁.

［解答］等式两边对F求导可得

=&MXJ-2x4-eo«y

化简可得y=2x^1

Z-2/o»>a

4.设,为tx的函数是由方程4Jx2*尸，=arcteft±确定的,求y*.

［解答］等式两边对T求导可得

12x+V/1_

亚♦沙2j/e1

化简得

x-y

5.已知卜"'8m，求学.

Ly=/coM

［解答］x,=^f»tc«i-<fme

（fy_（xw£

dx

d，_d2也；2

小,由dxdxl+CMi）1

6.设X=JF，+J”=（X'4"ar）挈，求生.

du

［解答］等式两边对：求导可得

I?_____

1=>，+，》可得v=—!—又石可？Gx+。

2>4-12

所以空=-----------------==

&X27+D（2x+D'/?+x

求丸,乳

7.设函数/（力二阶可导，/XQ）*0,且

［解答］==

生|尸八,叫=3

企LTroL

叫=3-rm2八期/M/W/YQ）=9fs居户6

京（r（w）jj-tmr

8.设曲线X=，A=A&）由方程组V-to，确定，求该曲线在：=：处的曲率＞

［解答］/=/。+。/=-＜一,则

氢=（/_必血__石

2^¥1^-2t

〃-2»»。+9'

k=—=嫉1+S：

a+x2)5

,g(X)-C8X

四.已知/(x)=,其中4（x）有二阶连续的导数，且£（0）=1

⑴确定白的值，使/⑴在*—0点连续;⑵求八力

期成富)+-X=*Y0)=。

X

即当a=时，/（x）在x=0处连续.

（2）当"Q时,有

当了=。时，由导数的定义有

/皿=d#x…7»皿=

TL

_gTCO+CXK1.小■”

——=声r⑦+U

五.已知当xSOR'L」（x）有定义且二阶可导，问明机。为何值时

/(1)x4。

；是二阶可导.

1ax*ix1-ex>0

［解答］FQO在*=0处连续

则PCrti)=im(«?+iw+c)=u=f(-0)=/_(0)即e=E(S

户加=反侬产=以”世=/加

M(o)=屎*“)］❿=d+版:c_/(ro=耳四+好=b

，0c）在x=0处一阶可导，则有5=/!（6

7sx<o

此时，爪加『灿工=。

2ax+6x>0

=沃r，x）j^*w）=：（"■y^（p）

W■息丁额■区一+：£◎.&

F(x)在N=0处二阶可导，则有4=二工(0)

2

六.已知求广)(外

［解答］/(X)=?(―1_)-X».(|+X»+…+/+...)

I-*

=5+£♦+…+4"…|xj<］

又/口)在x=0处的麦克劳林级数展开式为

*电喙

通过比较可得，当岸=Zb时，/*)(0)=闻

当*=4+1时，/(>,(0)=0(t-u-)

七.设y=xln*,求ywo).

［解答］y・iftx+i,/=-,g，产=T(■■吗

K

通过递推公式可得/a>(x)=亡1)^一期

当.：=:时，=(-旷2(“-2)!

八.证明j/=(arrn*产满足方程

(I-/)卢7-(2»-DayW-(时/产7・0

证明:

化简可得（i-x1）y'-ay,+2=o

y=o

=(1-x')y-5V-41y*■0

0*^=0得证

第三章

1.求下列不定积分.

r1LI十A

h石

ji71IX

lI一

I生11+

rkX

=-j=-+c

(bLLX4ch1

21--

rcosx-t-mx+l1+输。

1

J(I-I-CMX)14-co«x

僚答］原式」借七

(4)r―^—dx

Jx(/+1)

［解劄原式中热4川-$2)

・：(h/-E/+D］+c

8

二明-乩八。十。

O

⑸［&

Jt+wiX4-COSX

［解答］设x=3t.(ir=2A

原式=2［中加>d=2［_］+二&，.

1l+«n2t-FCMZIJsib2i+2eM3l

=2］旬金工+F

J2costsin/+2cos1Z*2cos/

=Jn+tanO<A=+㈤

"f-h|cos2|+£=1-E卜14'©

=铲_蕾粒iH+卢|cwJr_M#c

2.求下列不定积分.

⑴Jdx

Q+l)W+2x+2

［解答］设x+t」通=-鼻

*r

原式=f一或kD

("DW+D'+l

I急=-E+…卜高+，

f±2k

1+x

-jJi/i+?rf(i+/1)-Jj：］4a+q，

a

=-l(1(l+t)i-动+力+e

<ix

⑶

(2-+l)Jx、l

［解答］设x=tant.dx=secaidt

r_____吱_____rctrxidt

JcotL(2t»、+D12sh’few"

«J南？，-arcim(热0♦<:

Jl+sm，

=(aresh--iJa1-A)+c

2aa

(5)J/(I-—)%

［解答］设X=fllt,dx=t>MtA

原式=Jco«*Aft=J(C8：+1)&=:卜co?2f+2cos2i+1.

=lj(C°*^+14-2c.»a+D(fl

412

-j(-iin42+an2t+^4)+<?

=；(:而1-Jl-向%•(l-2向20+2siftI-+我+c

3■5K-2#E—T,

=-arcsmx+-----------v*-x

88

（6）J号支

［解答］设x=；,贝|Jdx--dc

原式=-\iyfT-^dt==+C

/J

［解答］设K=；，〃=-：＜*

原式=ircg«£++c

3.求下列不定积分.

［解答］原式=“器二？二-一门+。

⑵r——_

J2*(1+4，)

［解答］设2，=4,则小=」；■.当

h2t

原式,白J焉k.高成T击的

--^-(---anclanO+e---J-(^-*+aretan2*)+＜：

■12/bi2

4.求下列不定积分.

［解答］设x-2=；,〃=-；＜*

原式=-［产(丝34=［/(2＜+1)”

=-1(324**+80t*r+8Qt*+40tw+3"

=-(32.fl+80—+80—+40—+10—+—)+e

'9998979695X’

f324080

99(X-T4叉X-2)»98CT-2T

591

+-----------=7-+-----------=■+------------H-1+C

t2(x-2)*1X^-2)M(X-2)MI

［解答］设x=->dx=--^di

而)

原式

rHOa)

2

=_%1+平+,

2x3

5.求下列不定积分.

(1)

［解答］原式=Jx(l+cos2x)d;x=J(X4-XCOS2JT)^C

4G

.1rx*1.CM2x、.

xaxir-jxcos2xax=—+—z(ximo2x4B----)+e

=—+—sm2^+-cos2^4c

448

(2)JMC，血

［解答］JMCSJ&&=jsecx^(tanx)

=secx-tanx-Jtanx-secx-tanxdx

«wcx-Unx-JCsec^x-Osecxdk

tecx-tanx-J«ec>«tfk+jttcjcdr

所以

=^[secxtanx+ln.|secx4-tanxp4-c

(3)

[解答]原式=jQn幻3或_婷)=_(鱼卢_3|勺上

=_(更更+3臾立一61号的

=-(^^-+3^-^-6fhx心]

XXJX

=_[5?_^+3^^+6史-6[]&]

XXXJ/

=-匕®X)1+冲X)'+6hx+6J+e

X

⑷Jcot(hxMx

[解答]原式=xcoi(bx)+Jsttfln幻小

=xco«(hx)+xsa(lnx)-|cos(kix)dx

移项得

JcMnx)dx=^[cos(h^)4-SBt(tox)]+c

44

XCM—

⑸

JsnJC

X

48$.一

XC8-t,

［解答］原式------------=f-------JuH--------------------------)

8*7」8曲，；42m,-

22

=_1(—-----[---4x)

sin—m_

22

X2XIX

---esc---cot—+e

8242

6.求下列不定积分.

⑴产K+疝石&

［解答］原式

2

x+Jl+x)f1

T7?JJl+X

再求J----r-f---dx

J—,jnv

设x=taaX>贝iJdr=sec'他

原式“看=岛田中"黑曲

rg0

TI-2向，

所以

…崎野以悟卷

JJv^?

［解答］设Metin*=上.tec’0=dx

原式«'sec?0.“•tanfsectdt-J/rf($ccZ)

==£wc4f陋f+tand+c

=Jl+x2arctanx-ia<x+*4-c

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［解答］设arctan。'=，.《eJ她=/&

原式=备激=］令㈣°=_/］闻8-'°

-【土第=。击—-。

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/卬*冷£20

7.设/«-求J〃3r

{(/*2i—加**.s<0

［解答］当xNQ时

J/a加=卜Mi+/忒力

表必分1

=*/+041+力・/)+,

当x<0时

J(xa-2x-3>7小=_《/-2x-加7图1("收

=-(xJ-2x-3)r--2(x+1)<*+2卜一’近

=_(/_2_3>-2(彳+加7+2»7+与

-—.7(/+4s+D+Q

因为/(x)在*=0处连续，可得c,-l=q=c,所以

g］:K/+DUI+^)—-I+C，XN0

/W='2

4-4x+1)+<,x<0

8.设jO-4-)X+58fX,(%。为不同时为零的常数)，求/(X)

［解答］设，*=4，/*)=asin(ki0+Aon(bi4),

则/(t)=向g0+bcc»(]nl)技

又|on(h=Zor{h-jc<M(h

joM0n4>£=XCMOQ<)4-jiuOk

所以

/(O=y[«Oai)-co^iZ)|+y[*B(k>Z)+co<b4)l+c

即/《吊=g《a+姆x)+(»-a)c«a(hx)]4-c

9.求下列不定积分.

⑴(2x+3>*

[解答]原式=[3八断第一/知=竺■”

JIa3

3

(2)J(3xJ-2x+5)J(3x-l>ir

[解答]原式=gjCJ/_2r+»；g『―2r+5)

.s

=*i_2x+»+c

⑶e”产；.0血

33

[解答]原式=fh(x+yi+jC)d[h(x+^j+x)]

=i(Hx+jrr?)p+<

(4)

xdx

［解答］原式=J

k<l+Jl+/+1+VH-^h/l+x1

lr_______d(，+D_______

=Wxi+S+x：)Ji+/

叩+、

=fJxQ=rrf［h(uVu?)］

一J“i+4+—xi+由+/)-*i+-+?)

=++JP)|+C

io.设当xwO时，fCO连续，求［♦")-£：”")我

［解答］原式:1八二.里竺必旦■.尊2a

er・/

“卜华佟

岑*睁

--出十，+e

Z

11.设/Yc8X+2)=4a2x+tan?*,求/(x).

1

［解答］设C4«x4-2=1，则八£)=-Q-2尸

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