《流体力学与流体机械 第2版》课件 第七章 粘性流体力学

第七章：粘性流体动力学基础实际流体都是有粘性的,粘性流体运动中不可避免地存在阻力、衰减和扩散现象，运动时总是伴随着内摩擦和传热过程，发生能量损耗。粘性流体动力学：就是研究粘性不能忽略时的流体宏观运动2第一节：纳维—斯托克斯（Navier—Stokes）方程理想流体运动微分方程组或分别指单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力，或者为牛顿第二运动定律所表达的内容。3在理想流体运动微分方程组中，引入粘性力的作用，其表达式为：粘性流体运动微分方程组可以表示为：其矢量形式可以表示为：显然：方程表示质量力、表面力、粘性力、惯性力的平衡关系4一、粘性流体中的应力理想流体（平衡流体）时，作用在流体微团表面上的力只有一个与表面垂直的压应力，这个压应力称为理想流体的动压强（平衡流体的静压强）。其特性为：1）方向沿作用面的内法线方向，2）大小与作用面的方位无关。实际流体中，一点处的三个方向的应力由于切应力的存在，不再垂直于作用面，而与作用面斜交，即具有某一方向，应写成，

，

，实际流体中，任一点处的应力p由于切应力的存在，不再垂直于作用面，而与作用面斜交，应力分解为垂直于作用面的应力和平行于作用面的应力，见右图。

下标1表示力作用面的法线方向，下标2表示应力分量所指的方向5过任一点O作在三个互相垂直的微元面积则其应力分别为：当六面体或微元面积趋于零时，六面体趋于一个点，它反映了实际流体一点处的应力情况。实际流体中任一点的应力分量可用这9个应力分量组成的应力矩阵表示。这个矩阵代表了一点处的应力。6二、以应力形式表示的运动微分方程对粘性流体中的流体为微团进行力分析，应该牛顿第二运动定律进行分析，即可得到。在OXYZ坐标系中，取边长分别为dx,dy,dz的正微元六面体，其中心点为M，假定六面体趋向于无穷下时，则其应力对应为当为有限体积时，其应力可以表示为上图所示。采用数学中采用的Taylor级数展开，可以得到另外三个面上的应力情况分别为，7以X方向为例，进行受力分析，1.表面力：正应力部分左面右面8切应力部分后面前面下面上面因此，X方向表面力合力为，92.质量力x方向的单位质量力为，六面体质量为，因此作用在x方向的质量力可以表示为，3.根据牛顿第二运动定律简化整理，并加入y、z方向，10这一方程就是以应力形式表示的运动微分方程，加上连续性方程，称为粘性流体运动微分方程组。在以上方程组中，通常质量力为已知量，若考虑不可压缩流体，则流体密度也为已知量。未知量为3个速度分量和9个应力分量，显然方程组数目为4，无法求解12个量。必须找出补充方程。三、切应力分量之间的关系切应力分量之间存在着一定的联系，应用力矩平衡原理可以证明切应力具有对称性。

利用力矩平衡证明，选择通过两个相对面形心的轴（此轴显然平行于某个坐标轴），以平行于ox轴的x’-x’为例，说明问题。找出对此轴的产生力矩的力，求出力矩。11产生力矩的应力有，产生的力矩分别为根据力矩平衡12四、切应力与变形速度的关系对于平面流动：

三维流动，考虑与

z轴垂直的平面，正方形微团经过

时间dt后变成菱形，这一四边形的角变形速度为：13将牛顿内摩擦定律推广到三维，称广义的牛顿内摩擦定律：五、法向应力与变形速度的关系对于理想流体：14粘性流体中，流体微团除了发生角变形（角变形引起切应力）,同时发生直线变形，使微团产生拉伸或压缩。流体微团的线变形速度，这一线变形速度将引起附加的法向应力（与理想流体相比）。线变形引起的附加法向应力，可以仿照牛顿内摩擦定律（广义），即认为附加法向应力等于动力粘度与两倍线变形速度的乘积。15将以上三式相加，可得：将三个相互垂直的法向应力的算术平均值定义为粘性流体中的压强。在以上方程组中，通常质量力为已知量，若考虑不可压缩流体，则流体密度也为已知量。未知量为3个速度分量和9个应力分量，显然方程组数目为4，无法求解12个量。必须找出补充方程（显然找到了9个补充方程，加上p未知，因此共13个方程，可以求解13个分量）。我们补充了3个切应力之间关系的方程，3个切应力与变形速度之间的关系，3个正应力与变形速度之间的关系。将各关系式汇总，以x方向，六、N-S方程的导出16同理，可得y/z方向的流体方程17七、不可压缩粘性流体运动基本方程组及定解条件1．N-S方程组求解不可压缩粘性流体运动的基本方程组包括反映质量守恒的连续性方程，反映牛顿第二运动定律（动量方程）的运动方程。2．定解条件初始条件：在初始时刻，方程组的解应等于该时刻给定的函数值，数学上可以表示为：

18边界条件：在运动流体的边界上，方程组的解应该满足的条件称为边界条件。边界条件随具体问题而定。通常有以下三种情况：边界为固体边壁（包括可渗透边壁）、不同流体的分解面（包括自由液面、气液界面、液液界面）、流动的入口和出口断面。固壁边界条件：自由液面边界条件：19第二节

N-S方程的精确解N-S方程为一组非线性二阶偏微分方程组，这使方程的求解变得十分困难。对于某些简单的流动，非线性对流项简化或消失，N-S方程变为线性的方程，用解析的方法求出其解，这类解称为精确解。求解粘性流动的N-S方程精确解的一般方法是：根据流动问题的特点对方程进行简化，使非线性项简化或消失，然后根据边界条件求出方程的解。在文献中能够查到的精确解迄今为止只有几十个，而且其中的大部分不能够直接用到实际问题中去。20一、圆管内的定常层流运动（哈根-泊肃叶流动）有一半径为R的无穷长直圆管，不可压缩粘性流体在压力梯度

的作用下作定常直线层流运动。设管道水平放置，讨论管内流动的速度分布。1．N-S方程组212．简化方程2.1流动只有轴向运动流动为充分发展流动，其形态沿x轴向不变，即2.2定常流动2.3质量力沿z方向22方程组得到简化：自动满足静力学基本方程23方程组简化为一元泊松方程，并考虑到速度的对称性：3.解方程速度梯度为常数，将偏微分转化成全微分，解此方程。在管轴中心，速度取得最大值，因此速度的一阶导数为零。24积分得：在管道壁面，速度为零，，因此。考虑在管长为L的圆管内流动流体，压强降低2526二、两平行平板间的粘性流动（库埃特流动）如图所示，两块无穷大的平行平板间充满着均质不可压缩粘性流体，板间的流体作平行于

轴的定常层流流动，压力梯度为，求流场的速度分布。1．N-S方程组272．简化方程2.1流动只有x方向运动（z方向无穷大）流动为充分发展流动，其形态沿x轴向不变，即2.2定常流动2.3质量力沿y方向,对流动不产生影响28方程组得到简化：29方程组简化为很简单方程，并考虑到全导数：3.解方程速度梯度为常数，将偏微分转化成全微分，积分此方程，得，

。

边界条件：积分常数：速度分布为：30当上板出现速度U时，求解速度分布边界条件：积分常数：31第三节

边界层概念边界层理论是由普朗特（

Prandtl）在1904年提出的。这一理论可归结为:雷诺数较大的实际流体流动可看作由两种不同性质的流动所组成，一是固体边界附近的边界层流动，粘性作用不可忽略，但边界层较薄；二是边界层以外的流动，在这一流动中粘性的作用可以忽略，流动可以按照简单的理想流体的流动来处理。

这种处理实际流体流动的方法，为近代流体力学的发展开辟了新的途径。将大

数下绕流物体表面速度梯度很大的薄层称为边界层。边界层内速度梯度大意味着粘性力对流动有影响。而在边界层以外的广大区域速度梯度很小，粘性的影响可以忽略，流动可看作为理想流体的无旋流动。32一、层流边界层、湍流边界层随着边界层厚度的增大，流速梯度减小，粘性切应力的作用也随之减小，边界层内的流动将从层流经过过渡段变成紊流。边界层也变为紊流边界层。在紧靠平板处，存在一层厚度很薄的粘性底层。设边界层内转折点为Xc,则对应的雷诺数为边界层临界雷诺数，实验测量得到：1．与物体长度相比，边界层厚度很小，沿流动方向边界层逐渐增。2．边界层内沿厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大。3．由于边界层很薄，可以认为，边界层内部任一点的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强。4．边界层内粘性力与惯性力是同一数量级的二种力都要考虑。边界层的特点具有以下几点：33二、边界层厚度为了区分边界层和势流区，提出边界层厚度的概念。分为边界层的名义厚度，边界层排挤厚度和动量损失厚度。设边界层内速度为vx

，对于二维（平面）流动，速度是坐标

的函数。外部势流的速度记为

U(x)，它只是x的函数

，对厚度比较薄的平板

。1．边界层厚度（名义厚度）是边界法向的一段距离，在该处的流体的速度等于相应的势流速度的0.99倍。用公式表示如下：2．边界层的排挤厚度由于壁面对流动的影响，使边界附近的流体速度小于外部势流速度。这样在相同边界条件下，理想流体的流动和实际流体的流动之间的流量就不相等，其差值为：34在图中即为阴影线的面积，这一面积可用等值矩形来替代，称为位移厚度或排挤厚度。对薄平板，位移厚度可以这样来解释，如果流体作为理想流体看待，为使与实际流体流动的流量相等，考虑到边界层速度减小的影响，固壁必须向外移动一段距离，移动后的固壁以外的理想势流的流量与原固壁实际流体的流量完全相等，这一距离称为位移厚度。35第四节

层流边界层的微分方程描述粘性流体流动的方程是N-S方程，由于方程复杂，求解十分困难。因此必须根据边界层特点对N-S方程进行简化，经过简化后的N-S方程称为边界层方程。以平板边界层流动来进行讨论，获得层流边界层的微分方程：设流动为定常流动，且边界层内流动全部为层流，且不计质量力。N-S方程和连续性方程为：361.简化分析1），方程（2）可以不予考虑；2）在x方向的变化远小于在

y方向的变化，所以在方程（1）中，也可以不计。3）同等重要；4）写成2.量级分析1）将x的数量级为1，vx的数量级为1，则y与vy的数量级分别为（一阶无穷小）37由方程的各项量级相等，2）由方程的各项量级相等，方程（2）对于方程（1）是高一阶小量，可以忽略。同时，在方程（1）中是高二阶的无穷小。对于方程N-S方程在边界层内为：对应的边界条件：在整个边界层厚度方向压强不变，都等于边界层外边界处的势流压强。38对于平板边界层，可利用伯努利方程将此压强与势流速度U（x）之间建立关系。带入简化后的边界层方程，得对应的边界条件：非线性项仍有困难39第六节

边界层动量积分关系式Prandtl边界层流方程比N-S方程仍是一个二阶偏微分方程组。自1920年以后，发展了许多求解边界层的近似方法，而且无需借助计算机能给出许多重要的结果。其中包括了卡门动量积分关系式。平面定常流动的边界层动量积分关系式设：1）物体表面为平直或微有弯曲（曲率半径不大可不计离心力）；2）略去质量力（平面流动、质量力不产生影响）。在边界层中取以控制体ABCD，如图所示。其中BD为固体壁面，AC为边界层的外边界，AB、CD为两个过流断面。动量定理可叙述为：单位时间内流出、流进控制体的动量之差

作用在控制体内流体上的力。401.动量关系（单位时间内）经AB流入的质量：对应的动量为：经CD流出的质量：对应的动量为：由连续性方程，流入质量

=流出质量，所以AC面上流入质量为：对应的动量为：

单位时间内对应的动量通量为：（1）412.流体受力情况分析（只考虑沿x方向的力）

AB面上受到力：CD面上受到力：AC面上受到力：BD面上受到力：合力表示为：（2）3.结论：动量定理（1）=（2）简化卡门动量积分方程，由卡门1921年导出。424.说明1）外边界上的势流速度可以由势流理论求出；2）压强梯度由外部势流流场的B.E.求出，3）流体密度为已知常数。显然，为已知，未知数为因此动量积分关系式求解还要补充二个关系式，通常将以下二个式子作为补充关系式：通常，边界层内的速度分布按已有经验假定，假定愈接近实际，结果便愈准确。43第七节

平板边界层的近似计算一、层流边界层的近似计算1.边界层动量积分方程平板很薄，不会引起边界层外流动的改变，所以在外边界上速度都是即边界层中，p=C，这种边界层流动称为无压强梯度的边界层。方程中未知数为，补充相应方程。（1）442．速度分布假定假定在层流边界层内速度分布以的幂函数表示，是一个小量，四阶以上很小可不计，待定系数确定如下：1）在平板表面上2）在边界层外边界上，3）在平板表面上，由边界层方程求解得：45于是得速度分布为，3.利用牛顿内摩擦定律，得到与壁面的剪切力（3）（2）4.对（1）（2）（3）方程联合求解：求解5.一个壁面的摩擦力与摩擦系数46二、湍流边界层的近似计算1.边界层动量积分方程平板很薄，不会引起边界层外流动的改变，所以在外边界上速度都是即边界层中，p=C，这种边界层流动称为无压强梯度的边界层。方程中未知数为，补充相应方程。（1）472．速度分布假定普朗特假定，平板边界层内的速度分布与光滑圆管的速度分布具有相同的形式，3．剪切应力剪切应力也借用圆管（光滑管紊流）的公式其中速度为平均流速，沿程阻力系数采用布拉修斯公式，其中Re可以表示为，（2）（3）484.对（1）（2）（3）方程联合求解：5.一个壁面的摩擦力与摩擦系数适用范围更大的Re数，，49三、混合边界层的近似计算在平板边界层中，通常前端为层流边界层，后部为湍流边界层，当层流段与湍流段相比不能忽略时，应分别考虑层流段和湍流段，这一边界层称为混合边界层。研究混合边界层，作以下两个假设。1）在平板的A点层流边界层实际转变为湍流边界层；2）湍流边界层的厚度变化，层内速度和切应力的计算都从前缘点O开始。在A点以前按层流处理，A点之后按紊流处理。对A点之后的这一段紊流边界层的处理方法是：整个区域（A）是紊流边界层扣除A点以前的层流边界层。：混合边界层的阻力：湍流边界层的阻力：层流边界层的阻力50OA段层流阻力：OB段湍流阻力：OA段湍流阻力：阻力为：其中：为临界点转变为雷诺数表征：51其中：摩擦系数：混合边界层阻力系数的公式：

A与的关系52第八节

边界层分离及减阻边界层分离是边界层流动在一定条件下发生的一种极重要的流动现象，下面举一典型的边界层分离的例子。一、边界层分离图示为一均匀流绕固定圆柱的流动，现取一条正对圆心的流线分析，沿该流线的流速，越接近圆柱体时流速越小，由B.E，压强则越来越大，到

a点时，速度为零，压强最大，

a点称为驻点或者停滞点。由于流体是不可压缩的，流体质点在a点压力作用下，沿圆柱面两侧向前流动，流体质点便将部分压能转化成动能。53在圆柱壁面的粘滞作用下，从a点开始形成边界层内流动，从a-b区间，由于圆柱面的弯曲，使流线密集，边界层内流动处于加速减压的情况。但过了b点以后，情况则相反，由于流速的扩散，边界层内流动转而处在减速加压的情况。此时，在切应力消耗动能和减速加压的双重作用下，边界层迅速扩大，边界层内流速和横向速度梯度迅速降低，到达e点。

故又出现驻点。然后，流体质点改变运动方向，脱离边界，向外侧流去，这种现象称为边层分离，e点称为分离点。边界层离开物体后，e点的下游，必将有新的流体来补形成反向回流，即出现旋涡区。在边界有突变或局部突出时，由于流体运动的惯性，不能沿着突变的边界作急剧的转折，因而也将产生边界层的脱离，出现旋涡区，它与边界缓慢变化时产生边界层原因本质是相同的。边界层分离现象以及回流旋涡区的产生，在工程实际中的流动问题是常见的，例管道或渠道的突然扩大、突然缩小、转弯等，以及在流动中遇到障碍物，如闸阀、桥墩、拦污栅等。54边界层分离现象还会导致压差阻力，特别是分离旋涡区较大时，压差阻力较大，在物体的绕流阻力中起主导作用（绕流阻力

摩擦阻力

+压差阻力）。在实际工程中，减小边界层的分离区，能减小绕流阻力。所以管道、渠道进口段闸墩、桥墩的外形，汽车、飞机、船舶的外形，都要设计成流线形以减小边界层分离，起到流态稳定、阻力损失小的作用。二、绕流物体的阻力物体表面上的切应力产生的阻力称为摩擦阻力，物体表面上压差产生的阻力称为压差阻力。剪切应力产生的摩擦阻力是流体的粘性的反应，压差阻力产生的根本原因也在于流体的粘性。55以圆柱体绕流为例：理想流体绕圆柱流动时，圆柱表面的压强分布是对称的，压差阻力为零。粘性流体绕圆柱体流动时，在其表面出现边界层，边界发生分离之后，物体的后部出现尾涡区，尾涡区的压强很低，约等于分离点的压强，因此尾涡区是低压区（），就造成物体前后存在明显的压差，增加绕流物体阻力，故称为压差阻力。由此可见，分离流动引起的低压尾涡是产生压差阻力的根本原因，分离区域越大，压差阻力就越大。为了减小压差阻力，就应该设法推迟边界层分离现象的发生。摩擦阻力和压差阻力都很难用理论分析的方法计算出来，通常是通过实验方法获得。粘性阻力（摩擦阻力）在总压力中占的比重及Re数对阻力的影响以圆柱绕流的阻力系数加以说明：56当Re<100时，阻力系数随着Re的增大迅速减小，Re在100-1000范围内时，阻力系数略有减小，粘性损失所占比例不足5%。Re在1000-2*105时，阻力学术略有增加，约为1.2左右。Re在2*105-5*105时，阻力系数突然降低到0.3左右。这种阻力突然降低的现象称为阻力危机。其原因是边界层由层流变成紊流，分离点向下游移动，使分离区大大减小，压差阻力大幅下降。57第九节

湍流及其时均法则湍流与层流运动有本质的不同，这种不同之处就是湍流的不规则和无秩序的运动特性，现代称为混沌现象。但湍流不完全是随机的，因为它必须服从流体运动基本方程组。雷诺提出的统计平均方法是湍流研究的起点，他把不规则的湍流场分解为规则的平均场和不规则的脉动场，把研究湍流的重点引向湍流统计平均特性。雷诺导出了脉动场的平均输运概念，即雷诺应力。如何封闭雷诺应力问题？一、湍流的定义与特征湍流是局部速度、压力等流动参数在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。雷诺认为湍流是一种蜿蜓曲折、起伏不定的流动。欣兹认为湍流是流体运动的一种不规则情形，在湍流中各种流动参数随时间和空间呈现随机的变化，因而具有明确的统计平均值。581.不规则性湍流的运动是由大小不等的涡体所组成的无规则的随机运动。它的速度场和压强场都是随机的。由于湍流运动的不规则性，使得不可能将运动作为时间和空间坐标的函数进行描述。但有可能用统计的方法得出各种量，如速度、压强、温度等各自的平均值。近代相干结构发现以后，湍流被看成是一种拟序结构，它由小涡体的随机运动场和相干结构的相干运动场叠加而成。2.湍流扩散湍流扩散增加了动量、热量和质量的传递。如湍流中过流断面的速度分布就比层流情况下要均匀得多。湍流中由于涡体相互混杂，引起流体内部动量交换，动量大的质点将动量传递给动量小的质点，动量小的质点影响动量大的质点，结果造成断面速度分布均匀。3.能量耗损湍流中小涡体的混杂运动，通过粘性作用大量耗损能量，如果不连续供给湍流能量，则湍流将迅速衰减。二、湍流的分类湍流的脉动不是流体的物理本质而是运动状态，根据湍流运动特征将湍流分成不同的类型。591．壁面湍流和自由湍流将有无固体壁面对湍流运动的影响分为壁面湍流和自由湍流。壁面湍流表示由固体壁面所产生并受它连续影响的湍流，如管内湍流。自由湍流表示不受固体壁面限制和影响的湍流，如自由射流、尾迹流等。2．各向同性湍流和剪切湍流按湍流场中任一空间点上各方向脉动速度的统计学特征有无差别，分为各向同性湍流与非各向同性湍流（或剪切湍流）。当满足称各向同性湍流，否则称剪切湍流。在剪切湍流中，由于各方向脉动速度的差异，必定存在平均的脉动速度梯度，产生平均剪切应力，因而把非各向同性湍流称为剪切湍流。3．拟湍流和真湍流当湍流场中的物理量在时间和空间上各自具有互不相同的恒定周期性的湍流模式时，这种流场称为拟湍流。实际湍流场在时间和空间上都是随机的，因而拟湍流是一种假想的湍流场。拟湍流中常用的一种是准定常湍流，这是指湍流场中任一物理量的平均值与时间无关，或者说随时间变化极缓慢的一种湍流运动。60三、时均运算法则与指数表示法湍流场是一个拟随机场，它的特征量与随机量的统计参数紧密相连。湍流中的速度、压强随时间和空间作随机变化，1886年雷诺将湍流的物理量用平均值与脉动值的和来表示，将湍流场看成是平均运动场和脉动运动场的叠加。1.现介绍时均运算法则：设

f、g为湍流中物理量的瞬时值，则在准定常的均匀湍流场中具有以下的时均运算规律。（1）．时均物理量的平均值等于原来的时均值（2）．脉动物理量的平均值等于零（3）．瞬时物理量之和的平均值，等于各个物理量平均值之和（4）．时均物理量与脉动物理量之积的平均值等于零

61（5）．时均物理量与瞬时物理量之积的平均值，等于两个时均物理量之积

（6）．两个瞬时物理量之积的平均值，等于两个平均物理量之积与两个脉动量之积的平均值之和（7）．瞬时物理量对空间坐标或时间坐标各阶导数的平均值，等于时均物理量对同一坐标的各阶导数值，积分也相同

时均方法也称雷诺法则，这种平均意味着把湍流中各种尺度涡的作用等同对待，它们的个性被抹平了，从而个性所具有的某些信息被平均掉了。特别是大涡拟序结构发现以后，这种平均不能反映大涡的特征，其缺点更明显。因此有的学者提出改用滤波平均的方法，但目前只是一个新的方向。622.指标表示法可使流体力学中的方程书写简洁的一种方法。6364四、雷诺方程1.把平均值和脉动值表示的瞬时值代入粘性流体运动的基本方程（即N-S方程）中，对时间平均化，得到湍流时均运动的雷诺方程。不可压缩粘性流体的N-S方程组为将代入指标表示的N-S方程组中。65

66根据连续性方程与时均法则-（）雷诺在1895年导出。称为湍流平均运动的雷诺方程。称为湍流附加应力或雷诺应力,是湍流运动引起的附加项。67雷诺方程在直角坐标系下的形式雷诺方程比对应的层流运动方程多出了雷诺应力项，方程组是一个非封闭的方程组。对湍流雷诺应力研究，需要建立雷诺方程和连续性方程以外的补充方程，称为湍流模式理论。2.雷诺应力的物理意义，68693.湍流模式分类湍流模式理论就是根据理论和经验，对雷诺平均运动方程的雷诺应力项建立表达式或方程，以使方程组封闭求解的理论。在湍流的工程应用理论中，常按方程组中所用湍流量的偏微分方程数目来划分，称雷诺方法。1）“0”方程模式：只用湍流平均运动方程和连续性方程作为方程组，并把方程组中的雷诺应力假设为平均物理量的某种代数函数，使方程组封闭。2）“1”方程模式：在“0”方程的基础上，增加一个湍流量的偏微分方程，然后再作适当的假设使方程组封闭。3）“2”方程模式：在“0”方程的基础上，增加二个湍流量的偏微分方程，使方程组封闭。4）应力方程模式：除了用湍流平均运动方程和连续性方程以外，增加湍流应力的偏微分方程和三阶速度相关量的偏微分方程，作适当的物理假设而使方程组封闭。70五、湍流模式理论1.零方程模型（1）.1877年布辛涅斯克建议用一种假想的涡粘性系数（类似于牛顿内摩擦定律），并由时均速度梯度计算雷诺应力。其中：

υt—涡粘性系数，与运动粘性系数有相同的量纲。推广至三维情况：称为单位质量流体的湍动能。两种动量交换是有实质区别的，因为分子运动通常只受分子平均速度（即温度）的影响，与宏观运动无关。而流体质点的脉动与平均湍流运动能量直接相关，