广东省湛江市雷州唐家中学高三数学文期末试卷含解析

广东省湛江市雷州唐家中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过曲线上点处的切线平行于直线点的坐标为(

)参考答案：A略2.已知是实数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略3.已知，命题，则（

）A．是假命题;B．是假命题;C.是真命题;

D.是真命题

参考答案：D4.已知角为第三象限角，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知等差数列、的公差分别为2、3，且，则数列是（A）等差数列且公差为6

（B）等差数列且公差为5（C）等比数列且公比为8

（D）等比数列且公比为9参考答案：答案：A6.已知cos（﹣α）=，α∈（0，），则=（）A． B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知求得sin（），然后利用诱导公式及倍角公式化简得答案．【解答】解：∵α∈（0，），∴∈（0，），又cos（﹣α）=，∴sin（）=．又cos2α=sin（）=2sin（）cos（）．∴===．故选：A．7.已知全集，，，则集合A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20π B．15π C．10π D．2π参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π，故选：A．9.已知数列满足，，则数列的前40项的和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由已知条件得到，，，左右两侧累加得到正好是数列的前40项的和，消去一些项，计算得到。故答案为D。

10.如图，设是图中边长为2的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．参考答案：画出图形易知积分上限为，积分下限为，易知面积为．12.已知f（x）=sin4ωx﹣cos4ωx（ω＞0）的值域为A，若对任意a∈R，存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x1），f（x2）]=A，设x2﹣x1的最小值为g（ω），则g（ω）的值域为．参考答案：（0，1]【考点】GI：三角函数的化简求值；HW：三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，结合题意可得函数f（x）的周期小于或等于2，即≤2，求得ω≥，根据x2﹣x1的最小值为半个周期，可得g（ω）==≤=1，由此可得g（ω）的值域．【解答】解：已知f（x）=sin4ωx﹣cos4ωx=（sin2ωx+cos2ωx）?（sin2ωx﹣cos2ωx）=﹣cos2ωx（ω＞0）的值域为A=[﹣1，1]，若对任意a∈R，存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x1），f（x2）]=A，则f（x1）=﹣1，f（x2）=1，故函数f（x）的周期小于或等于2，即≤2，故有ω≥，根据x2﹣x1的最小值为半个周期，可得g（ω）==≤=1，则g（ω）的值域为（0，1]，故答案为：（0，1]．13.（06年全国卷Ⅰ）设，式中变量满足下列条件，则z的最大值为_____________。参考答案：答案：11解析：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.14.若的展开式中各项系数之和为_____________;参考答案：略15.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则此双曲线两条准线间距离为_____．参考答案：16.定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是

．参考答案：17.以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为______.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和,,，且当时,.（1）求证:数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，记数列的前项和为.设是整数，问是否存在正整数,使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（1）当时,,,代入并化简得,………4分,又由得,代入可解得,∴，也满足,而恒为正值,∴数列是等比数列.………6分

（2）由⑴知.当时,,又，∴

………8分（3）当时，,此时，又∴.

…………………10分故，当时，，……12分若，则等式为，不是整数，不符合题意；……………14分若，则等式为，∵是整数,

∴必是的因数,

∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.……………16分略19.如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；（Ⅲ）若，当为何值时，．

参考答案：解析:(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以．

……1分因为是一个长方体，所以，而，所以，所以．

……3分因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．…4分(Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．……5分因为，所以，所以就是与平面所成的角．……6分因为，，所以．

……7分所以与平面所成的角的正切值为．

……8分(Ⅲ)解：当时，．

……9分当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以．

……10分而，与在同一个平面内，所以．

……11分而，所以，所以．

……12分方法二、方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有，，，．

……2分于是，，，所以，．……3分所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．

……4分(Ⅱ)，所以，而平面的一个法向量为．…5分所以．

……6分所以与平面所成的角的正弦值为．

……7分所以与平面所成的角的正切值为．

……8分(Ⅲ)，所以，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为．

……10分若要使得，则要，即，解得．…11分所以当时，．

……12分20.如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）

参考答案：（Ⅰ）能（Ⅱ）米且米试题解析：解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，

...............2分则由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为，

...............5分令，得米米.所以此时能保证上述采光要求.

...............7分（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）.

...............9分故太阳光线所在直线方程为，

令，得，由，得.

...............11分所以.当且仅当时取等号.

所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大.

.............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－＝－(x－30)，即．

........10分由直线与半圆H相切，得．而点H(r，h)在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，1111]即，从而．

...............13分又.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大.

...........16分考点：直线与圆位置关系【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．121.已知，不等式的解集为.（1）求集合；（2）当时，证明：.参考答案：（1）（2）详见解析试题分析：（1）利用绝对值定义将不等式等价转化为三个不等式组，最后求它们的并集（2）利用分析法证明：注意等价变形，注意利用因式分解转化为判断因子符号.试题解析：解：（1）不等式的解等价于：，解得：，故；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

考点：绝对值定义,分析法【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．22.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱BB1⊥平面ABC，D是棱BC的中点，点M在BB1棱上，且CM⊥AC1，AB=1，BB1=2．（1）求三棱锥D﹣ABC1的体积；（2）求证：A1B∥平面AC1D；（3）求证：CM⊥C1D．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）侧棱BB1⊥平面ABC，利用==即可得出．（2）连接A1C交AC1于点E，连接ED，可得AE=EC1，利用三角形中位线定理可得ED∥A1B，利用线面平行的判定定理可得：A1B∥平面AC1D；（3）由△ABC是正三角形，BD=DC，可得AD⊥DC，由侧棱BB1⊥平面ABC，可得BB1⊥AD，于是AD⊥平面BCC1B1，可得：CM⊥平面AC1D．即可证明．（1）解：∵侧棱BB1⊥平面ABC，