专题4.5三角形的中位线定理专项提升训练（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题4.5三角形的中位线定理专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022•广东）如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（）A． B． C．1 D．2【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE的长度．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC＝4，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×4＝2，故选：D．2．（2022春•黔西南州期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB＝2CD＝20（m），故选：C．3．（2022•沿河县二模）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF＝BC，FE＝AB，DE＝AC；∴DF+FE+DE＝BC+AB+AC＝（AB+BC+CA）＝×18＝9，故选：B．4．（2022春•兴隆县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长为（）A． B．1 C． D．2【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；又∵点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴根据三角形的中位线定理可得：AB＝2OE＝4．则OE＝2故选：D．5．（2022春•渝北区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，若OE＝2，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE是三角形的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2OE．【解答】解：在▱ABCD中，OA＝OC，∵点E是BC的中点，∴OE是三角形的中位线，∴AB＝2OE＝2×2＝4．故选：B．6．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（）A．26° B．28° C．30° D．32°【分析】延长BE交AC于G，证△ABE≌△AGE（ASA），得BE＝GE，再由三角形中位线定理得EF∥GC，则∠EFD＝∠C，然后求出∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE交AC于G，如图所示：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠BAE＝∠GAE＝∠BAC＝40°，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠GEA＝90°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（ASA），∴BE＝GE，∵F为BC的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF∥GC，∴∠EFD＝∠C，∵∠BEA＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C．7．（2021春•徐州期末）已知△PQR是直角三角形，∠R为直角，线段RQ比线段PR短，M为线段PQ的中点，N为线段QR的中点，S是三角形内部的点，线段MN比线段MS长，图中，符合以上表述的是（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件判断图形即可．【解答】解：∵△PQR是直角三角形，∠R为直角，线段RQ比线段PR短，M为线段PQ的中点，N为线段QR的中点，S是三角形内部的点，线段MN比线段MS长，∴图中，符合以上表述的是D选项，故选：D．8．（2021春•商河县校级期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32 B．16 C．8 D．4【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线，从而求得结论．【解答】解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴E为CD的中点，又∵F是CB的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，EF＝BD，∵BD＝16，∴EF＝8，故选：C．9．（2021春•埇桥区期末）在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB＝8，BC＝6，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB＝8，∴DE∥AB，DE＝AB＝4．∴∠EDC＝∠ABC．∵BF平分∠ABC，∴∠EDC＝2∠FBD．∵在△BDF中，∠EDC＝∠FBD+∠BFD，∴∠DBF＝∠DFB，∴FD＝BD＝BC＝×6＝3．∴FE＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故选：A．10．（2021春•惠民县期末）如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC的三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A． B． C．（）2014 D．（）2015【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的．【解答】解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以：第2个三角形对应周长为；第3个三角形对应的周长为；第4个三角形对应的周长为；以此类推，第N个三角形对应的周长为（）n﹣1；所以第2015个三角形对应的周长为（）2014．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•海安市期末）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝10，则DE＝5．【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出DE的长．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵BC＝10，∴DE＝5．故答案为：5．12．（2022春•宁远县期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，找到AO、BO的中点M、N，并且测出MN的长为13m，则A、B间的距离为26m．【分析】M、N是AO和BO的中点，则MN是△ABC的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：∵M、N是AO和BO的中点，∴AB＝2MN＝2×13＝26（m）．故答案是：26m．13．（2022春•澧县期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为14．【分析】根据三角形的中位线可得DF＝BC，EF＝AB，判定四边形BEFD为平行四边形，利用平行四边形的性质可求解．【解答】解：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，DF＝BC，EF＝AB，∴四边形BEFD为平行四边形，∵四边形BEFD周长为14，∴DF+EF＝7，∴AB+BC＝14．故答案为14．14．（2022•南京模拟）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝8，则MN＝．【分析】根据题目的已知条件易求DC的长为3，易证MN是三角形ADC的中位线，由三角形中位线定理即可求出MN的长．【解答】解：∵BD＝AB，BM⊥AD于点M，∴AM＝DM，∵N是AC的中点，∴AN＝CN，∴MN是三角形ADC的中位线，∴MN＝DC，∵AB＝5，BC＝8，∴DC＝3，∴MN＝，故答案是：．15．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为3．【分析】证明△ABQ≌△EBQ，则AQ＝EQ，AB＝BE，同理AQ＝DP，AP＝DP，则PQ是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，∴AB+AC＝26﹣10＝16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ＝EQ，AB＝BE，同理，AP＝DP，AC＝CD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，∵AQ＝DP，AP＝DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ＝DE＝3．故答案是：3．16．（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．【解答】解：连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵S△ABC＝＝，∴CM＝，∴DE＝＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022•扬州模拟）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，说明△ADE与△DCF全等的理由．【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DC，根据AAS定理证明△ADE与△DCF全等．【解答】证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠DCF，∠DFC＝∠EDF，∵DF∥AB，∴∠AED＝∠EDF，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF．18．（2022春•榆阳区期末）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF．【分析】由已知条件易证DE是△ACB的中位线，所以DE∥AC，又因为DE＝CF，所以四边形DCFE是平行四边形，进而可证明DC∥EF．【解答】证明：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE∥AC，又∵DE＝CF，∴四边形DCFE是平行四边形，∴DC∥EF．19．（2017秋•岱岳区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．【分析】根据三角形中位线的性质得到FG＝AD，EG＝BC，由AD＝BC，于是得到FG＝GE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴FG＝AD，EG＝BC，∵AD＝BC，∴FG＝GE，∵H是EF的中点，∴GH⊥EF．20．（2022春•东莞市期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【分析】根据三角形中位线定理得到PM＝BC，，PN＝AD，进而得到PM＝PN，根据等腰三角形的概念得出结论．【解答】解：△PMN是等腰三角形，理由如下：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM是△DBC的中位线，∴PM＝BC，同理可得，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形．21．（2022春•江油市期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm．（1）求证：DE＝BF；（2）求四边形DEFB的周长．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据题意得到BF＝BC，等量代换证明结论；（2）根据勾股定理求出DB，证明四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算即可．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝3BF，∴BF＝BC，∴DE＝BF；（2）解：∵点D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD＝6cm，∵DE＝4cm，∴BC＝8cm，由勾股定理得：DB＝＝＝10（cm），∵DE＝BF，DE∥BC，∴四边形DBFE为平行四边形，∴四边形DEFB的周长＝2×（4+10）＝28（cm）．22．（2022春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．（1）求证：AE垂直平分CD；（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．【分析】（1）首先根据题干信息证明出△ACD为等腰三角形，然后即可证明出AE垂直平分CD；（2）在△ABC中利用勾股定理求出AB，进而得到BD，再根据E为CD中点，F为BC中点，即可求出EF的长．【解答】（1）证明：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD+∠DCB＝90°，因为∠ADC+∠DCB＝90°，所以∠ACD＝∠ADC，所以AC＝AD，即△ACD为等腰三角形，因为AE平分∠CAB，所以AE⊥CD，CE＝DE，所以AE垂直平分CD；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝＝10，AD＝AC＝