第02讲 定义与命题（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第2讲定义与命题1.理解定义与命题的概念；2.分清命题的条件和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式，并能判断命题的真假；3.会用反例说明一个命题是假命题。知识点命题、定理、证明【题型1命题的定义】【典例1】（2022秋•市北区校级期末）下列语句属于命题的是（）A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．同位角相等【答案】D【解答】解：A、是问句，未做判断，故本选项错误；B、是祈使句，不符合命题的概念，故本选项错误；C、是描述性语句，未做判断，故本选项错误；D、符合命题的概念，故本选项正确；故选：D．【变式1】（2022秋•平昌县期末）下列句子是命题的是（）A．画∠AOB＝45° B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结CD D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【答案】D【解答】解：A、画∠AOB＝45°，没有对事情做出判断，故不是命题；B、小于直角的角是锐角吗？没有对事情做出判断，故不是命题；C、连结CD，没有对事情做出判断，故不是命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是命题；故选：D．【题型2真假命题的判断】【典例2】（2023春•鄂州期中）下列命题：①同位角相等；②负数没有立方根；③两个无理数的和一定是无理数；④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①同位角不一定相等，所以结论错误，是假命题；②负数有立方根，如﹣1的立方根是﹣1，所以结论错误，是假命题；③两个无理数的不一定是无理数，如与的和是2为有理数，所以结论错误，是假命题；④结论正确，是真命题；⑤a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，结论错误，是假命题．故选：A．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级期中）下列命题为真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．和为180°的两个角互为邻补角 D．邻补角互补【答案】D【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、和为180°的两个角不一定是互为邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、邻补角互补，是真命题，符合题意；故选：D．【变式2-2】（2023春•东莞市校级期中）下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等；②垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①∵同位角不一定是两平行直线被截得到，∴同位角相等错误，故本小题错误；②垂线段最短，故本小题正确；③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；④三条直线两两相交，总有一个或三个交点，故本小题错误；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，正确．综上所述，说法正确的有②⑤共2个．故选：B．【变式2-3】（2023春•彭水县期中）下列命题是假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行【答案】C【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，所以A选项为真命题；B、两直线平行，同位角相等，所以B选项为真命题；C、同旁内角互补，两直线平行，所以C选项为假命题；D、同位角相等，两直线平行，所以D选项为真命题．故选：C．【变式2-4】（2023春•朝阳区校级期中）①大小相等的两个角互为对顶角；②两点之间，线段最短；③两角之和为180°，则这两个角互为邻补角；④点到直线的距离是点到这条直线的垂线段；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑦图形平移的方向一定是水平的；⑧内错角相等；其中是真命题的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故为假命题；②两点之间，线段最短，故为真命题；③两角之和为180°，则这两个角互为补角，故为假命题；④点到直线的距离是点到这条直线的垂线段的长度，故为假命题；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；⑥同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为假命题；⑦图形平移的方向不一定是水平的，有可能是竖直的以及其他方向的，故为假命题；⑧两直线平行，内错角相等，故为假命题；∴真命题有1个，故选：B．【题型3举反例】【典例3】（2023•江北区一模）能说明命题“对于任意实数x，x2＞0”是假命题的一个反例可以是（）A． B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣1【答案】C【解答】解：∵02＝0，∴当x＝0时，该命题是假命题，故选：C．【变式3-1】（2023春•江宁区校级月考）下列选项中，可以用来说明命题“若a＞b，则a2＞b2”属于假命题的反例是（）A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝1【答案】C【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”属于假命题，故选：C．【变式3-2】（2023春•建邺区校级期中）为说明命题“若m＞n，则m2＞n2”是假命题，所列举反例正确的是（）A．m＝3，n＝6 B．m＝6，n＝3C．m＝﹣3，n＝﹣6D．m＝﹣6，n＝﹣3【答案】C【解答】解：A．3＜6，故选项错误，不符合题意；B．6＞3，62＞32，故选项错误，不符合题意；C．﹣3＞﹣6，（﹣3）2＜（﹣6）2，可以推出原命题是假命题，故选项正确，符合题意；D．﹣6＜﹣3，故选项错误，不符合题意；故选：C．【变式3-3】（2023•义乌市校级开学）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（）A．∠A＝20°，∠B＝60° B．∠A＝30°，∠B＝90° C．∠A＝40°，∠B＝50° D．∠A＝50°，∠B＝100°【答案】C【解答】解：例如：若∠A＝40°，∠B＝50°，则∠A+∠B＝90°．故选：C．【题型4命题论证过程】【典例4】（2023春•九龙坡区校级月考）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）所得命题为真命题，理由见解答过程．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CD∥FG，∵CD⊥AB，∴FG⊥AB；（2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴FG∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC．【变式4】（2022秋•惠济区校级期末）如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：（填序号）．结论为：（填序号）．【答案】①②④；③（答案不唯一）；证明过程详见解答部分．【解答】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：DF＝BE．证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∴在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF＝BE．故答案为：①②④；③1．（2022•上海）下列说法正确的是（）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．2．（2022•盘锦）下列命题不正确的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．负数的立方根是负数 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．五边形的外角和是360°【答案】C【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360°，故D正确；故选：C．3．（2022•梧州）下列命题中，假命题是（）A．﹣2的绝对值是﹣2 B．对顶角相等 C．平行四边形是中心对称图形 D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b【答案】A【解答】解：﹣2的绝对值是2，故A是假命题，符合题意；对顶角相等，故B是真命题，不符合题意；平行四边形是中心对称图形，故C是真命题，不符合题意；如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b，故D是真命题，不符合题意；故选：A．4．（2021•浙江）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣【答案】C【解答】解：（﹣1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；（+1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；（3）2＝18，是有理数，符合题意；（﹣）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意；故选：C．5．（2023•九龙坡区模拟）下列命题中，错误的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．三个角是直角的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是菱形【答案】B【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，错误，符合题意；C、三个角是直角的四边形是矩形，正确，不符合题意；D、四边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意．故选：B．6．（2023•曹妃甸区模拟）能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝1，b＝2C．a＝﹣1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣2【答案】A【解答】解：能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例是a＝1，b＝﹣1，a2＝b2，但a＝﹣b，故选：A．7．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题：．【答案】如果b﹣a＜0，那么a＞b．【解答】解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．故答案为：如果b﹣a＜0，那么a＞b．8．（2021•无锡）下列命题中，正确命题的个数为．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【答案】1．【解答】解：①所有的正方形都相似，正确，符合题意；②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，正确的有1个，故答案为：1．9．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．已知：，．求证：．【答案】答案不唯一．已知：BC﹣AD，∠ABC＝∠BAD，求证：AC＝BD【解答】解：答案不唯一．∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．又∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD．1．（2022秋•武义县期末）下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等【答案】C【解答】解：A、两点确定一条直线，是命题，不符合题意；B、垂线段最短，是命题，不符合题意；C、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；D、内错角相等，是命题，不符合题意；故选：C．2．（2022秋•涟源市期末）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A．平行 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线【答案】D【解答】解：命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线都平行于第三条直线，结论是这两条直线平行．故选：D．3．（2023春•牧野区校级期中）下列命题是真命题的是（）A．无理数包括正无理数、零、负无理数 B．内错角相等 C．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．7是49的平方根【答案】D【解答】解：A、无理数包括正无理数、负无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、7是49的平方根，是真命题，符合题意；故选：D．4．（2023春•西城区校级期中）下列命题是假命题的是（）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等 C．垂直于同一直线的两直线平行 D．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除【答案】C【解答】解：A．由∠1＝∠2，∠2＝∠3，得∠1＝∠3，那么A是真命题，故A不符合题意．B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行，则同位角相等，即B是真命题，故B不符合题意．C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，那么C是假命题，故C符合题意．D．若一个数能被4整除，4整除2，那么这个数也能被2整除，那么D是真命题，故D不符合题意．故选：C．5．（2023春•思明区校级期中）下列命题都是真命题，其中逆命题也正确的是（）A．若a+b＝0，则a2＝b2 B．若a＞b＞0，则|a|＞|b| C．若a﹣b＝0，则a2＝b2 D．若a±b＝0，则a2＝b2【答案】D【解答】解：A、若a+b＝0，则a2＝b2的逆命题：是若a2＝b2，则a+b＝0，当a、b均为正数时，此逆命题是假命题，故此选项不符合题意；B、若a＞b＞0，则|a|＞|b|的逆命题是：若|a|＞|b|，则a＞b＞0，当a、b均为负数时，逆命题是假命题，故此选项不符合题意；C、若a﹣b＝0，则a2＝b2的逆命题是：若a2＝b2，则a﹣b＝0，当a、b互为相反数时，逆命题是假命题，故此选项不符合题意；D、若a±b＝0，则a2＝b2的逆命题是：若a2＝b2，则a±b＝0，逆命题是真命题，故此选项符合题意．故选：D．6．（2023春•广州期中）下列命题为真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．如果a2＝b2，那么a＝b C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行【答案】C【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是真命题，符合题意；D、垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．7．（2023春•宁波月考）下列能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝2，b＝1【答案】C【解答】解：A、∵当a＝﹣1，b＝0时，∴a＜b，∴a2＞b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例不可以为：a＝﹣1，b＝0；B、∵当a＝﹣1，b＝﹣1时，∴a＝b，∴a2＝b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例不可以为：a＝﹣1，b＝﹣1；C、∵当a＝﹣1，b＝﹣2时，∴a＞b，∴a2＜b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例可以为：a＝﹣1，b＝﹣2．D、∵当a＝2，b＝1时，∴a＞b，∴a2＞b2，故“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例不可以为：a＝2，b＝1；故选：C．8．（2023春•渝中区校级期中）下列命题，其中正确的命题是（）A．（﹣3）2的平方根是3 B．﹣8的立方根是﹣2 C．的算术平方根是3 D．立方根等于本身的数只有0，1【答案】B【解答】解：A、（﹣3）2的平方根是±3，原命题是假命题，不符合题意；B、﹣8的立方根是﹣2，是真命题，符合题意；C、的算术平方根是，原命题是假命题，不符合题意；D、立方根等于本身的数有0，±1，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．9．（2022秋•海港区期末）下列命题的逆命题一定成立的有（）A．对顶角